Fórmula para série aritméticas

Escrevamos uma sequência
aritmética em termos gerais.

Podemos começar com
um número qualquer a.

E continuamos
adicionando d a ele.

E esse número que
adicionamos,

que poderia ser um número
positivo ou negativo,

chamamos de diferença comum.

O segundo termo da nossa
sequência será a mais d.

O terceiro termo na nossa
sequência será a mais 2d.

E continuamos adicionando
d até o n-ésimo termo

da nossa sequência.

E você pode ver aqui que
no nosso primeiro termo

nós adicionamos d zero vezes.

No segundo termo,
adicionamos d uma vez.

No terceiro termo,
adicionamos d três vezes.

Qualquer que seja o
índice do termo,

estamos adicionando d uma
vez menos vezes que o índice.

Se formos até o n-ésimo termo,

vamos adicionar d uma vez
menos que n vezes.

Então será n menos
um vezes d.

Muito bom.

Deixe-me escrever aquilo.

Isso logo aqui é o
nosso n-ésimo termo.

O que quero fazer agora
é pensar sobre o que

seria a soma dessa
sequência aritmética.

E a soma de uma
sequência aritmética

chamamos de série aritmética.

Deixe-me escrever
isso em amarelo.

Mudança de cores é
difícil algumas vezes.

A séria aritmética é
somente a soma

de uma sequência aritmética.

Chamemos a minha
série aritmética S sub n.

E digamos que essa será
a soma desses termos,

então será a mais d, mais
a mais 2d, mais tudo isso

até o n-ésimo termo, que é
a mais n menos um vezes d.

Agora eu farei o mesmo truque

que eu fiz quando fiz a
sequência aritmética mais básica.

Eu vou adicionar isso
a ele mesmo, mas

vou trocar a ordem em
que eu escrevo a soma.

Então S sub n
pode ser escrito assim,

mas vou escrever
na ordem inversa.

Eu vou escrever o
último termo primeiro.

O n-ésimo termo é a mais
n menos um vezes d.

O penúltimo termo será

a mais n menos dois vezes d.

O antepenúltimo será a
mais n menos três vezes d.

E vamos assim até

o primeiro termo, que é somente a.

Adicionemos estas duas equações.

E vamos obter, no lado
esquerdo, S sub n mais

S sub n.

Você terá duas vezes S sub n.

Bom, qual será a soma
desses dois primeiros termos

logo aqui?

Eu terei a mais a mais
n menos um vezes d.

E será 2a mais n
menos um vezes d.

Adicionemos esses
dois segundo termos.

Se adicionarmos
esses dois segundo termos,

o que obteremos?

Eu terei 2a mais 2a.

E o que será d mais
n menos dois vezes d?

Você poderia ver isso
em diferentes maneiras.

Deixe-me escrever aqui.

O que será d mais n
menos dois vezes d?

Bom, isso é o mesmo que

d mais n menos dois vezes d.

E você poderia somente
adicionar os coeficientes.

E isso será n menos
dois mais um vezes d,

o que é igual a n menos um vezes d.

Então o segundo termo também será
2a mais n menos um vezes d.

Agora adicionemos o terceiro termo.

Eu farei isso em verde.

Os terceiros termos, eu deveria dizer.

E eu acho que você
verá um padrão aqui.

É 2a mais 2a.

E se eu tenho dois mais n menos
três de algo e então adiciono dois,

eu terei n menos um daquela coisa.

Então mais n menos um vezes d.

E você continua fazendo isso até

o seu n-ésimo
par de termos, até

adicionar esses dois
termos aqui, que

será somente 2a mais
n menos um vezes d.

Você tem então esse
2a mais n menos um d

sendo adicionado todas as vezes.

E quantas vezes você fará isso?

Bom, você tinha n pares
de termos quando

você estava adicionando
essas duas equações.

Em cada um deles
você tinha n termos.

Esse é o primeiro termo,
esse é o segundo termo,

esse é o terceiro termo,
até o n-ésimo termo.

Eu posso então reescrever
dois vezes a soma duas vezes

S sub n será n vezes essa quantidade.

Será n vezes 2a mais
n menos um vezes d.

E se quisermos resolver
o problema para S sub n,

você tem só que dividir
ambos os lados por dois.

E se você obtiver S sub n
é igual a, e nós teremos

um ranger de
tambores aqui,

n vezes 2a mais n
menos um vezes d.

Tudo aquilo sobre dois.

Agora nós chegamos
a uma fórmula geral,

somente uma função do que
é o nosso primeiro termo,

o que é a nossa diferença
comum, e quantos termos

estamos adicionando.

Então essa é a soma geral de
uma sequência aritmética,

o que nós chamamos
de série aritmética.

Mas agora, perguntemo-nos
essa pergunta.

Isso é difícil de se lembrar.

O n vezes 2a mais n menos
um vezes d sobre dois.

Mas no vídeo anterior, o que eu fiz
foi um exemplo mais concreto,

eu disse bom, parece que a soma
de uma sequência aritmética

poderia ser talvez
escrita como a média

do primeiro termo a1 mais an.

A média do primeiro
termo e do último termo

vezes o número de
termos que você tem.

Será esse o caso?

Essas coisas serão equivalentes?

Porque isso é muito
fácil de se lembrar --

a média do primeiro e do
último termos multiplicados

pelo número de termos
que você tinha e

é bem intuitivo, porque
você está somente

aumentando com a mesma
quantidade todas as vezes.

Calculemos a média do
primeiro e último termos

e então multipliquemos isso vezes o
número de termos que nós temos.

Bom, tudo o que temos que fazer
é reescrever isso um pouco

para ver que isso é realmente
exatamente o mesmo

que isso aqui.

Tudo o que temos
que fazer é tirar a.

Deixe-me reescrever isso.

Isso poderia ser reescrito como S sub n

igual a n vezes a mais a
mais n menos um vezes d.

Eu só separei 2a em a mais a.

Tudo aquilo sobre dois.

E você pode ver que, baseado
em como nós definimos isso,

o nosso primeiro termo a1 é a.

E o nosso último termo, a sub n,
é a mais n menos 1 vezes d.

E essa coisa toda aqui

é realmente a média do
primeiro e do último termos.

Eu usei o meu primeiro termo,
adicionando-o ao último termo,

dividindo-o por dois.

E então multiplicando pelo número
de termos que tivermos.

E isso será o caso para qualquer sequência aritmética,

como mostramos aqui.

Legendado por [Musa Morena Marcusso Manhães]
Revisado por [Soraia Novaes]