WEBVTT
00:00:00.650 --> 00:00:04.700
Escrevamos uma sequência
aritmética em termos gerais.
00:00:08.230 --> 00:00:11.460
Podemos começar com
um número qualquer a.
00:00:11.460 --> 00:00:13.280
E continuamos
adicionando d a ele.
00:00:13.280 --> 00:00:14.900
E esse número que
adicionamos,
00:00:14.900 --> 00:00:16.950
que poderia ser um número
positivo ou negativo,
00:00:16.950 --> 00:00:18.650
chamamos de diferença comum.
00:00:18.650 --> 00:00:22.100
O segundo termo da nossa
sequência será a mais d.
00:00:22.100 --> 00:00:25.670
O terceiro termo na nossa
sequência será a mais 2d.
00:00:25.670 --> 00:00:29.560
E continuamos adicionando
d até o n-ésimo termo
00:00:29.560 --> 00:00:30.820
da nossa sequência.
00:00:30.820 --> 00:00:33.200
E você pode ver aqui que
no nosso primeiro termo
00:00:33.200 --> 00:00:36.210
nós adicionamos d zero vezes.
00:00:36.210 --> 00:00:39.580
No segundo termo,
adicionamos d uma vez.
00:00:39.580 --> 00:00:42.230
No terceiro termo,
adicionamos d três vezes.
00:00:42.230 --> 00:00:44.470
Qualquer que seja o
índice do termo,
00:00:44.470 --> 00:00:47.650
estamos adicionando d uma
vez menos vezes que o índice.
00:00:47.650 --> 00:00:51.770
Se formos até o n-ésimo termo,
00:00:51.770 --> 00:00:54.315
vamos adicionar d uma vez
menos que n vezes.
00:00:54.315 --> 00:00:58.440
Então será n menos
um vezes d.
00:00:58.440 --> 00:00:59.154
Muito bom.
00:00:59.154 --> 00:01:00.410
Deixe-me escrever aquilo.
00:01:00.410 --> 00:01:03.622
Isso logo aqui é o
nosso n-ésimo termo.
00:01:03.622 --> 00:01:05.330
O que quero fazer agora
é pensar sobre o que
00:01:05.330 --> 00:01:07.750
seria a soma dessa
sequência aritmética.
00:01:07.750 --> 00:01:09.360
E a soma de uma
sequência aritmética
00:01:09.360 --> 00:01:11.590
chamamos de série aritmética.
00:01:11.590 --> 00:01:13.335
Deixe-me escrever
isso em amarelo.
00:01:17.260 --> 00:01:19.390
Mudança de cores é
difícil algumas vezes.
00:01:19.390 --> 00:01:26.310
A séria aritmética é
somente a soma
00:01:26.310 --> 00:01:28.420
de uma sequência aritmética.
00:01:28.420 --> 00:01:31.770
Chamemos a minha
série aritmética S sub n.
00:01:31.770 --> 00:01:34.030
E digamos que essa será
a soma desses termos,
00:01:34.030 --> 00:01:43.780
então será a mais d, mais
a mais 2d, mais tudo isso
00:01:43.780 --> 00:01:52.280
até o n-ésimo termo, que é
a mais n menos um vezes d.
00:01:52.280 --> 00:01:53.690
Agora eu farei o mesmo truque
00:01:53.690 --> 00:01:56.930
que eu fiz quando fiz a
sequência aritmética mais básica.
00:01:56.930 --> 00:01:59.170
Eu vou adicionar isso
a ele mesmo, mas
00:01:59.170 --> 00:02:01.620
vou trocar a ordem em
que eu escrevo a soma.
00:02:01.620 --> 00:02:04.602
Então S sub n
pode ser escrito assim,
00:02:04.602 --> 00:02:06.270
mas vou escrever
na ordem inversa.
00:02:06.270 --> 00:02:08.260
Eu vou escrever o
último termo primeiro.
00:02:08.260 --> 00:02:15.090
O n-ésimo termo é a mais
n menos um vezes d.
00:02:15.090 --> 00:02:17.290
O penúltimo termo será
00:02:17.290 --> 00:02:22.000
a mais n menos dois vezes d.
00:02:22.000 --> 00:02:29.860
O antepenúltimo será a
mais n menos três vezes d.
00:02:29.860 --> 00:02:31.830
E vamos assim até
00:02:31.830 --> 00:02:36.250
o primeiro termo, que é somente a.
00:02:36.250 --> 00:02:38.280
Adicionemos estas duas equações.
00:02:38.280 --> 00:02:42.410
E vamos obter, no lado
esquerdo, S sub n mais
00:02:42.410 --> 00:02:43.230
S sub n.
00:02:43.230 --> 00:02:48.330
Você terá duas vezes S sub n.
00:02:48.330 --> 00:02:52.890
Bom, qual será a soma
desses dois primeiros termos
00:02:52.890 --> 00:02:54.100
logo aqui?
00:02:54.100 --> 00:02:57.140
Eu terei a mais a mais
n menos um vezes d.
00:02:57.140 --> 00:03:03.170
E será 2a mais n
menos um vezes d.
00:03:03.170 --> 00:03:06.070
Adicionemos esses
dois segundo termos.
00:03:06.070 --> 00:03:08.200
Se adicionarmos
esses dois segundo termos,
00:03:08.200 --> 00:03:09.360
o que obteremos?
00:03:09.360 --> 00:03:12.940
Eu terei 2a mais 2a.
00:03:12.940 --> 00:03:16.610
E o que será d mais
n menos dois vezes d?
00:03:16.610 --> 00:03:19.004
Você poderia ver isso
em diferentes maneiras.
00:03:19.004 --> 00:03:20.170
Deixe-me escrever aqui.
00:03:20.170 --> 00:03:24.675
O que será d mais n
menos dois vezes d?
00:03:24.675 --> 00:03:26.050
Bom, isso é o mesmo que
00:03:26.050 --> 00:03:28.559
d mais n menos dois vezes d.
00:03:28.559 --> 00:03:30.980
E você poderia somente
adicionar os coeficientes.
00:03:30.980 --> 00:03:35.100
E isso será n menos
dois mais um vezes d,
00:03:35.100 --> 00:03:39.910
o que é igual a n menos um vezes d.
00:03:39.910 --> 00:03:51.360
Então o segundo termo também será
2a mais n menos um vezes d.
00:03:51.360 --> 00:03:53.030
Agora adicionemos o terceiro termo.
00:03:53.030 --> 00:03:53.910
Eu farei isso em verde.
00:03:53.910 --> 00:03:55.782
Os terceiros termos, eu deveria dizer.
00:03:55.782 --> 00:03:57.740
E eu acho que você
verá um padrão aqui.
00:03:57.740 --> 00:04:01.970
É 2a mais 2a.
00:04:01.970 --> 00:04:06.410
E se eu tenho dois mais n menos
três de algo e então adiciono dois,
00:04:06.410 --> 00:04:08.410
eu terei n menos um daquela coisa.
00:04:08.410 --> 00:04:12.130
Então mais n menos um vezes d.
00:04:12.130 --> 00:04:14.430
E você continua fazendo isso até
00:04:14.430 --> 00:04:16.890
o seu n-ésimo
par de termos, até
00:04:16.890 --> 00:04:19.410
adicionar esses dois
termos aqui, que
00:04:19.410 --> 00:04:25.220
será somente 2a mais
n menos um vezes d.
00:04:25.220 --> 00:04:28.310
Você tem então esse
2a mais n menos um d
00:04:28.310 --> 00:04:30.437
sendo adicionado todas as vezes.
00:04:30.437 --> 00:04:32.020
E quantas vezes você fará isso?
00:04:32.020 --> 00:04:34.110
Bom, você tinha n pares
de termos quando
00:04:34.110 --> 00:04:35.810
você estava adicionando
essas duas equações.
00:04:35.810 --> 00:04:37.700
Em cada um deles
você tinha n termos.
00:04:37.700 --> 00:04:40.140
Esse é o primeiro termo,
esse é o segundo termo,
00:04:40.140 --> 00:04:43.230
esse é o terceiro termo,
até o n-ésimo termo.
00:04:43.230 --> 00:04:48.430
Eu posso então reescrever
dois vezes a soma duas vezes
00:04:48.430 --> 00:04:51.770
S sub n será n vezes essa quantidade.
00:04:51.770 --> 00:05:03.062
Será n vezes 2a mais
n menos um vezes d.
00:05:03.062 --> 00:05:05.160
E se quisermos resolver
o problema para S sub n,
00:05:05.160 --> 00:05:07.340
você tem só que dividir
ambos os lados por dois.
00:05:07.340 --> 00:05:10.190
E se você obtiver S sub n
é igual a, e nós teremos
00:05:10.190 --> 00:05:11.940
um ranger de
tambores aqui,
00:05:11.940 --> 00:05:17.750
n vezes 2a mais n
menos um vezes d.
00:05:17.750 --> 00:05:20.340
Tudo aquilo sobre dois.
00:05:20.340 --> 00:05:23.520
Agora nós chegamos
a uma fórmula geral,
00:05:23.520 --> 00:05:26.169
somente uma função do que
é o nosso primeiro termo,
00:05:26.169 --> 00:05:28.460
o que é a nossa diferença
comum, e quantos termos
00:05:28.460 --> 00:05:29.310
estamos adicionando.
00:05:29.310 --> 00:05:33.980
Então essa é a soma geral de
uma sequência aritmética,
00:05:33.980 --> 00:05:36.089
o que nós chamamos
de série aritmética.
00:05:36.089 --> 00:05:37.880
Mas agora, perguntemo-nos
essa pergunta.
00:05:37.880 --> 00:05:39.460
Isso é difícil de se lembrar.
00:05:39.460 --> 00:05:44.124
O n vezes 2a mais n menos
um vezes d sobre dois.
00:05:44.124 --> 00:05:46.540
Mas no vídeo anterior, o que eu fiz
foi um exemplo mais concreto,
00:05:46.540 --> 00:05:53.210
eu disse bom, parece que a soma
de uma sequência aritmética
00:05:53.210 --> 00:05:58.460
poderia ser talvez
escrita como a média
00:05:58.460 --> 00:06:01.490
do primeiro termo a1 mais an.
00:06:01.490 --> 00:06:06.450
A média do primeiro
termo e do último termo
00:06:06.450 --> 00:06:08.930
vezes o número de
termos que você tem.
00:06:08.930 --> 00:06:11.990
Será esse o caso?
00:06:11.990 --> 00:06:14.780
Essas coisas serão equivalentes?
00:06:14.780 --> 00:06:16.500
Porque isso é muito
fácil de se lembrar --
00:06:16.500 --> 00:06:19.379
a média do primeiro e do
último termos multiplicados
00:06:19.379 --> 00:06:21.420
pelo número de termos
que você tinha e
00:06:21.420 --> 00:06:23.130
é bem intuitivo, porque
você está somente
00:06:23.130 --> 00:06:25.280
aumentando com a mesma
quantidade todas as vezes.
00:06:25.280 --> 00:06:30.580
Calculemos a média do
primeiro e último termos
00:06:30.580 --> 00:06:33.600
e então multipliquemos isso vezes o
número de termos que nós temos.
00:06:33.600 --> 00:06:36.290
Bom, tudo o que temos que fazer
é reescrever isso um pouco
00:06:36.290 --> 00:06:38.700
para ver que isso é realmente
exatamente o mesmo
00:06:38.700 --> 00:06:39.860
que isso aqui.
00:06:39.860 --> 00:06:41.810
Tudo o que temos
que fazer é tirar a.
00:06:41.810 --> 00:06:43.270
Deixe-me reescrever isso.
00:06:43.270 --> 00:06:46.620
Isso poderia ser reescrito como S sub n
00:06:46.620 --> 00:06:57.460
igual a n vezes a mais a
mais n menos um vezes d.
00:06:57.460 --> 00:07:00.030
Eu só separei 2a em a mais a.
00:07:00.030 --> 00:07:04.030
Tudo aquilo sobre dois.
00:07:04.030 --> 00:07:06.690
E você pode ver que, baseado
em como nós definimos isso,
00:07:06.690 --> 00:07:12.180
o nosso primeiro termo a1 é a.
00:07:12.180 --> 00:07:19.930
E o nosso último termo, a sub n,
é a mais n menos 1 vezes d.
00:07:19.930 --> 00:07:26.380
E essa coisa toda aqui
00:07:26.380 --> 00:07:35.040
é realmente a média do
primeiro e do último termos.
00:07:35.040 --> 00:07:37.120
Eu usei o meu primeiro termo,
adicionando-o ao último termo,
00:07:37.120 --> 00:07:38.410
dividindo-o por dois.
00:07:38.410 --> 00:07:41.190
E então multiplicando pelo número
de termos que tivermos.
00:07:41.190 --> 00:07:43.810
E isso será o caso para qualquer sequência aritmética,
00:07:43.810 --> 00:07:45.898
como mostramos aqui.
00:07:45.898 --> 00:07:49.998
Legendado por [Musa Morena Marcusso Manhães]
Revisado por [Soraia Novaes]