Escrevamos uma sequência
aritmética em termos gerais.
Podemos começar com
um número qualquer a.
E continuamos
adicionando d a ele.
E esse número que
adicionamos,
que poderia ser um número
positivo ou negativo,
chamamos de diferença comum.
O segundo termo da nossa
sequência será a mais d.
O terceiro termo na nossa
sequência será a mais 2d.
E continuamos adicionando
d até o n-ésimo termo
da nossa sequência.
E você pode ver aqui que
no nosso primeiro termo
nós adicionamos d zero vezes.
No segundo termo,
adicionamos d uma vez.
No terceiro termo,
adicionamos d três vezes.
Qualquer que seja o
índice do termo,
estamos adicionando d uma
vez menos vezes que o índice.
Se formos até o n-ésimo termo,
vamos adicionar d uma vez
menos que n vezes.
Então será n menos
um vezes d.
Muito bom.
Deixe-me escrever aquilo.
Isso logo aqui é o
nosso n-ésimo termo.
O que quero fazer agora
é pensar sobre o que
seria a soma dessa
sequência aritmética.
E a soma de uma
sequência aritmética
chamamos de série aritmética.
Deixe-me escrever
isso em amarelo.
Mudança de cores é
difícil algumas vezes.
A séria aritmética é
somente a soma
de uma sequência aritmética.
Chamemos a minha
série aritmética S sub n.
E digamos que essa será
a soma desses termos,
então será a mais d, mais
a mais 2d, mais tudo isso
até o n-ésimo termo, que é
a mais n menos um vezes d.
Agora eu farei o mesmo truque
que eu fiz quando fiz a
sequência aritmética mais básica.
Eu vou adicionar isso
a ele mesmo, mas
vou trocar a ordem em
que eu escrevo a soma.
Então S sub n
pode ser escrito assim,
mas vou escrever
na ordem inversa.
Eu vou escrever o
último termo primeiro.
O n-ésimo termo é a mais
n menos um vezes d.
O penúltimo termo será
a mais n menos dois vezes d.
O antepenúltimo será a
mais n menos três vezes d.
E vamos assim até
o primeiro termo, que é somente a.
Adicionemos estas duas equações.
E vamos obter, no lado
esquerdo, S sub n mais
S sub n.
Você terá duas vezes S sub n.
Bom, qual será a soma
desses dois primeiros termos
logo aqui?
Eu terei a mais a mais
n menos um vezes d.
E será 2a mais n
menos um vezes d.
Adicionemos esses
dois segundo termos.
Se adicionarmos
esses dois segundo termos,
o que obteremos?
Eu terei 2a mais 2a.
E o que será d mais
n menos dois vezes d?
Você poderia ver isso
em diferentes maneiras.
Deixe-me escrever aqui.
O que será d mais n
menos dois vezes d?
Bom, isso é o mesmo que
d mais n menos dois vezes d.
E você poderia somente
adicionar os coeficientes.
E isso será n menos
dois mais um vezes d,
o que é igual a n menos um vezes d.
Então o segundo termo também será
2a mais n menos um vezes d.
Agora adicionemos o terceiro termo.
Eu farei isso em verde.
Os terceiros termos, eu deveria dizer.
E eu acho que você
verá um padrão aqui.
É 2a mais 2a.
E se eu tenho dois mais n menos
três de algo e então adiciono dois,
eu terei n menos um daquela coisa.
Então mais n menos um vezes d.
E você continua fazendo isso até
o seu n-ésimo
par de termos, até
adicionar esses dois
termos aqui, que
será somente 2a mais
n menos um vezes d.
Você tem então esse
2a mais n menos um d
sendo adicionado todas as vezes.
E quantas vezes você fará isso?
Bom, você tinha n pares
de termos quando
você estava adicionando
essas duas equações.
Em cada um deles
você tinha n termos.
Esse é o primeiro termo,
esse é o segundo termo,
esse é o terceiro termo,
até o n-ésimo termo.
Eu posso então reescrever
dois vezes a soma duas vezes
S sub n será n vezes essa quantidade.
Será n vezes 2a mais
n menos um vezes d.
E se quisermos resolver
o problema para S sub n,
você tem só que dividir
ambos os lados por dois.
E se você obtiver S sub n
é igual a, e nós teremos
um ranger de
tambores aqui,
n vezes 2a mais n
menos um vezes d.
Tudo aquilo sobre dois.
Agora nós chegamos
a uma fórmula geral,
somente uma função do que
é o nosso primeiro termo,
o que é a nossa diferença
comum, e quantos termos
estamos adicionando.
Então essa é a soma geral de
uma sequência aritmética,
o que nós chamamos
de série aritmética.
Mas agora, perguntemo-nos
essa pergunta.
Isso é difícil de se lembrar.
O n vezes 2a mais n menos
um vezes d sobre dois.
Mas no vídeo anterior, o que eu fiz
foi um exemplo mais concreto,
eu disse bom, parece que a soma
de uma sequência aritmética
poderia ser talvez
escrita como a média
do primeiro termo a1 mais an.
A média do primeiro
termo e do último termo
vezes o número de
termos que você tem.
Será esse o caso?
Essas coisas serão equivalentes?
Porque isso é muito
fácil de se lembrar --
a média do primeiro e do
último termos multiplicados
pelo número de termos
que você tinha e
é bem intuitivo, porque
você está somente
aumentando com a mesma
quantidade todas as vezes.
Calculemos a média do
primeiro e último termos
e então multipliquemos isso vezes o
número de termos que nós temos.
Bom, tudo o que temos que fazer
é reescrever isso um pouco
para ver que isso é realmente
exatamente o mesmo
que isso aqui.
Tudo o que temos
que fazer é tirar a.
Deixe-me reescrever isso.
Isso poderia ser reescrito como S sub n
igual a n vezes a mais a
mais n menos um vezes d.
Eu só separei 2a em a mais a.
Tudo aquilo sobre dois.
E você pode ver que, baseado
em como nós definimos isso,
o nosso primeiro termo a1 é a.
E o nosso último termo, a sub n,
é a mais n menos 1 vezes d.
E essa coisa toda aqui
é realmente a média do
primeiro e do último termos.
Eu usei o meu primeiro termo,
adicionando-o ao último termo,
dividindo-o por dois.
E então multiplicando pelo número
de termos que tivermos.
E isso será o caso para qualquer sequência aritmética,
como mostramos aqui.
Legendado por [Musa Morena Marcusso Manhães]
Revisado por [Soraia Novaes]