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Formula for arithmetic series

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    일반적인 용어로 등차수열을 써봅시다.
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    상수 a를 써서 시작해 볼 수 있겠네요.
  • 0:11 - 0:13
    다음으로 계속 d를 더하면 됩니다.
  • 0:13 - 0:15
    계속 더하고 있는 숫자는
  • 0:15 - 0:17
    양수 또는 음수이며
  • 0:17 - 0:19
    공차라고 부릅니다.
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    그러면 수열의 두번째 항은 +d 입니다.
  • 0:22 - 0:26
    그리고 수열의 세번째 항은 +2d 일 것 입니다.
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    우리는 계속 d를 더하여
  • 0:30 - 0:31
    n 번째 항까지 구할 수 있습니다.
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    본 것처럼 첫번째항에는
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    d를 0번 더했습니다.
  • 0:36 - 0:40
    두번째 항에는 +d를 한번 더했고,
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    세번째 항에는 +d를 두번 더해 주었습니다.
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    보다시피 n이 무엇이든 간에
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    우리는 그보다 하나 적은 d를 더했습니다.
  • 0:48 - 0:52
    마지막 항까지 가보면
  • 0:52 - 0:54
    우리는 d를 n보다 하나 적게 더합니다.
  • 0:54 - 0:59
    그러므로 n-1 곱하기 d입니다.
  • 0:59 - 0:59
    좋습니다.
  • 0:59 - 1:00
    이것을 써보겠습니다.
  • 1:00 - 1:04
    이것은 마지막 항인데요.
  • 1:04 - 1:05
    이제부터는 이 등차수열의
  • 1:05 - 1:08
    합이 무엇일지 생각해보겠습니다.
  • 1:08 - 1:09
    등차수열의 합을
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    등차급수라 하겠습니다.
  • 1:12 - 1:13
    노랑색으로 쓰겠습니다.
  • 1:13 - 1:17
  • 1:17 - 1:19
    색깔 바꾸는 건 가끔 힘듭니다,
  • 1:19 - 1:26
    등차급수는 그냥
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    등차수열의 합입니다,
  • 1:28 - 1:32
    등차급수를 s sub n이라 하겠습니다.
  • 1:32 - 1:34
    등차수열의 합을 구하자면
  • 1:34 - 1:44
    a+d 더하기 a+2d... 이렇게
  • 1:44 - 1:51
    a+(n-1)*d인 n번째 항까지
  • 1:51 - 1:52
    더하는 것입니다.
  • 1:52 - 1:54
    이제 똑같은 방법을 쓸건데요.
  • 1:54 - 1:57
    이것이 등차수열의 기본이라고 할 수 있습니다.
  • 1:57 - 1:59
    저는 이것을 자기자신에 더할 것이지만,
  • 1:59 - 2:02
    쓰는 순서를 바꿀 것입니다.
  • 2:02 - 2:05
    s sub n 은 이렇게 쓸 수 있지만
  • 2:05 - 2:06
    한 번 반대로 써보겠습니다.
  • 2:06 - 2:08
    마지막 항을 먼저 쓰겠습니다.
  • 2:08 - 2:15
    마지막 항은 a+(n-1)*d입니다.
  • 2:15 - 2:17
    마지막에서 두번째 항은
  • 2:17 - 2:22
    a+(n-2)*d입니다.
  • 2:22 - 2:30
    마지막에서 세번째 항은 a+(n-3)*d가 될겁니다.
  • 2:30 - 2:32
    이렇게 첫째항인 a까지
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    계속 쓰겠습니다.
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    이제 이 두 방정식을 더합시다.
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    좌변에는 s sub n 더하기
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    s sub n이 있을 것입니다.
  • 2:43 - 2:48
    s sub n 곱하기 2를 구할 수 있을텐데요.
  • 2:48 - 2:53
    그러면 여기 있는 이 두 항의
  • 2:53 - 2:54
    합은 무엇일까요?
  • 2:54 - 2:57
    a 더하기 a+(n-1)*d를 구할 수 있을 것이고요.
  • 2:57 - 3:03
    그래서 2a+(n-1)*d이 될 것입니다.
  • 3:03 - 3:06
    이제 두 번째 항을 둘 다 더하겠습니다.
  • 3:06 - 3:08
    두 번째 항을 모두 더하면
  • 3:08 - 3:09
    무엇이 나올까요?
  • 3:09 - 3:13
    2a+2a입니다.
  • 3:13 - 3:17
    d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요?
  • 3:17 - 3:19
    여러 방면에서 볼 수 있습니다.
  • 3:19 - 3:20
    여기에 써봅시다.
  • 3:20 - 3:25
    d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요?
  • 3:25 - 3:26
    뭐, 같은 것으로 볼 수 있습니다.
  • 3:26 - 3:29
    d 더하기 (n-2)*d와 같습니다.
  • 3:29 - 3:30
    계수들만 더해도 되는 것입니다.
  • 3:30 - 3:35
    이건 (n-2+1)*d가 될 것이고
  • 3:35 - 3:40
    이건 n-1 곱하기 d와 같습니다.
  • 3:40 - 3:51
    그래서 두번째 항도 2a+(n-1)*d이 될 것입니다.
  • 3:51 - 3:53
    셋째항을 더합시다.
  • 3:53 - 3:54
    녹색으로 쓰겠습니다.
  • 3:54 - 3:56
    셋째항은
  • 3:56 - 3:58
    여기서 규칙을 찾을 수 있습니다.
  • 3:58 - 4:02
    2a+2a입니다.
  • 4:02 - 4:06
    무언가의 2+n-3에다가 2를 더하면
  • 4:06 - 4:08
    무언가의 n-1가 나올 것입니다.
  • 4:08 - 4:12
    결국 n-1곱하기 d입니다.
  • 4:12 - 4:14
    계속 이 방식으로
  • 4:14 - 4:17
    n번째 짝을 구하면서
  • 4:17 - 4:19
    여기 있는 두개를 더하면
  • 4:19 - 4:25
    2a+n-1곱하기 d가 됩니다.
  • 4:25 - 4:28
    2a+n-1 곱하기 d가
  • 4:28 - 4:30
    계속하여 더해지는 것을 구할 수 있습니다.
  • 4:30 - 4:32
    그러면 몇 번을 더해야 할까요?
  • 4:32 - 4:34
    이 두개의 방정식을 더하면서
  • 4:34 - 4:36
    n개의 짝을 가지고 있습니다.
  • 4:36 - 4:38
    n개의 항이 각각 있습니다.
  • 4:38 - 4:40
    이것은 첫째항이고 이것은 둘째 항이며
  • 4:40 - 4:43
    이것은 셋째항이고 이것은 n 번째 항입니다.
  • 4:43 - 4:48
    그래서 2 곱하기 합을 2 곱하기 s sub n으로 고칠 수 있고
  • 4:48 - 4:52
    이 양의 n배가 될 것입니다.
  • 4:52 - 5:03
    n 곱하기 2a 더하기 n-1 곱하기 d가 될 것입니다.
  • 5:03 - 5:05
    s sub n 을 풀고 싶으면
  • 5:05 - 5:07
    두 변을 2로 나누면 됩니다.
  • 5:07 - 5:10
    s sub n은
  • 5:10 - 5:12
    기대해 보세요
  • 5:12 - 5:18
    n(2a+(n-1)d)입니다.
  • 5:18 - 5:20
    그걸 2로 나누면 됩니다.
  • 5:20 - 5:24
    자, 이제 일반항을 도출하였습니다.
  • 5:24 - 5:26
    첫번째 항이 뭔지를
  • 5:26 - 5:28
    공차가 뭔지, 그리고 얼마나 더 많은 항을
  • 5:28 - 5:29
    더해야 하는지 구하였습니다.
  • 5:29 - 5:34
    이것이 등차수열의 합의 일반항이며
  • 5:34 - 5:36
    등차급수라 부릅니다.
  • 5:36 - 5:38
    이제 이 물음을 답하면 됩니다.
  • 5:38 - 5:39
    기억하기 어려운데요.
  • 5:39 - 5:44
    n 곱하기 2a+n-1 곱하기 d 나누기 2인데요.
  • 5:44 - 5:47
    확실한 예를 들었던 마지막 비디오에서 제가
  • 5:47 - 5:53
    등차수열의 합의 일반항은
  • 5:53 - 5:58
    첫째 항 a+an의
  • 5:58 - 6:01
    평균이라고 쓸 수 있다고 했습니다.
  • 6:01 - 6:06
    첫째 항과 마지막 항의 평균에
  • 6:06 - 6:09
    항의 개수를 곱하면 됩니다.
  • 6:09 - 6:12
    이게 맞는 걸까요?
  • 6:12 - 6:15
    이 두개는 정말 같은 걸까요?
  • 6:15 - 6:16
    기억하기 쉽습니다.
  • 6:16 - 6:19
    첫째 항과 마지막 항의 평균을
  • 6:19 - 6:21
    항의 수로 곱하는 것은
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    직감적으로 이해가 됩니다.
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    왜냐하면 그냥 같은 양을 일정하게 늘리고 있기 때문입니다.
  • 6:25 - 6:31
    첫번째 항과 마지막 항의 평균을 구하고
  • 6:31 - 6:34
    그리고 항의 개수만큼 곱합시다.
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    이게 여기 있는 이것과
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    같다는 것을 보기 위해
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    다시 한 번 써보겠습니다.
  • 6:40 - 6:42
    a를 빼내기만 하면 됩니다.
  • 6:42 - 6:43
    다시 써보겠습니다.
  • 6:43 - 6:47
    이것은 s sub n=
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    n(a+a+(n-1)*d)를
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    (2a를 a+a로 쓴겁니다.)
  • 7:00 - 7:04
    2로 나눈 것이라고 쓸 수 있습니다.
  • 7:04 - 7:07
    이것을 어떻게 정의하냐에 따라
  • 7:07 - 7:12
    첫항은 a입니다.
  • 7:12 - 7:20
    마지막 항 a sub n은 a+(n-1)*d입니다.
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    그러니까 여기 있는 이건
  • 7:26 - 7:35
    첫번째 항과 마지막 항의 평균입니다.
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    첫번째 항과 마지막 항을 더하여
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    2로 나눈 것이고
  • 7:38 - 7:41
    그것에 항의 개수를 곱한 것입니다.
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    그리고 이건 여기 보여준 것처럼
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    모든 등차수열에 동일하게 적용됩니다.
Title:
Formula for arithmetic series
Video Language:
English
Duration:
07:47

Korean subtitles

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