일반적인 용어로 등차수열을 써봅시다.
상수 a를 써서 시작해 볼 수 있겠네요.
다음으로 계속 d를 더하면 됩니다.
계속 더하고 있는 숫자는
양수 또는 음수이며
공차라고 부릅니다.
그러면 수열의 두번째 항은 +d 입니다.
그리고 수열의 세번째 항은 +2d 일 것 입니다.
우리는 계속 d를 더하여
n 번째 항까지 구할 수 있습니다.
본 것처럼 첫번째항에는
d를 0번 더했습니다.
두번째 항에는 +d를 한번 더했고,
세번째 항에는 +d를 두번 더해 주었습니다.
보다시피 n이 무엇이든 간에
우리는 그보다 하나 적은 d를 더했습니다.
마지막 항까지 가보면
우리는 d를 n보다 하나 적게 더합니다.
그러므로 n-1 곱하기 d입니다.
좋습니다.
이것을 써보겠습니다.
이것은 마지막 항인데요.
이제부터는 이 등차수열의
합이 무엇일지 생각해보겠습니다.
등차수열의 합을
등차급수라 하겠습니다.
노랑색으로 쓰겠습니다.
색깔 바꾸는 건 가끔 힘듭니다,
등차급수는 그냥
등차수열의 합입니다,
등차급수를 s sub n이라 하겠습니다.
등차수열의 합을 구하자면
a+d 더하기 a+2d... 이렇게
a+(n-1)*d인 n번째 항까지
더하는 것입니다.
이제 똑같은 방법을 쓸건데요.
이것이 등차수열의 기본이라고 할 수 있습니다.
저는 이것을 자기자신에 더할 것이지만,
쓰는 순서를 바꿀 것입니다.
s sub n 은 이렇게 쓸 수 있지만
한 번 반대로 써보겠습니다.
마지막 항을 먼저 쓰겠습니다.
마지막 항은 a+(n-1)*d입니다.
마지막에서 두번째 항은
a+(n-2)*d입니다.
마지막에서 세번째 항은 a+(n-3)*d가 될겁니다.
이렇게 첫째항인 a까지
계속 쓰겠습니다.
이제 이 두 방정식을 더합시다.
좌변에는 s sub n 더하기
s sub n이 있을 것입니다.
s sub n 곱하기 2를 구할 수 있을텐데요.
그러면 여기 있는 이 두 항의
합은 무엇일까요?
a 더하기 a+(n-1)*d를 구할 수 있을 것이고요.
그래서 2a+(n-1)*d이 될 것입니다.
이제 두 번째 항을 둘 다 더하겠습니다.
두 번째 항을 모두 더하면
무엇이 나올까요?
2a+2a입니다.
d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요?
여러 방면에서 볼 수 있습니다.
여기에 써봅시다.
d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요?
뭐, 같은 것으로 볼 수 있습니다.
d 더하기 (n-2)*d와 같습니다.
계수들만 더해도 되는 것입니다.
이건 (n-2+1)*d가 될 것이고
이건 n-1 곱하기 d와 같습니다.
그래서 두번째 항도 2a+(n-1)*d이 될 것입니다.
셋째항을 더합시다.
녹색으로 쓰겠습니다.
셋째항은
여기서 규칙을 찾을 수 있습니다.
2a+2a입니다.
무언가의 2+n-3에다가 2를 더하면
무언가의 n-1가 나올 것입니다.
결국 n-1곱하기 d입니다.
계속 이 방식으로
n번째 짝을 구하면서
여기 있는 두개를 더하면
2a+n-1곱하기 d가 됩니다.
2a+n-1 곱하기 d가
계속하여 더해지는 것을 구할 수 있습니다.
그러면 몇 번을 더해야 할까요?
이 두개의 방정식을 더하면서
n개의 짝을 가지고 있습니다.
n개의 항이 각각 있습니다.
이것은 첫째항이고 이것은 둘째 항이며
이것은 셋째항이고 이것은 n 번째 항입니다.
그래서 2 곱하기 합을 2 곱하기 s sub n으로 고칠 수 있고
이 양의 n배가 될 것입니다.
n 곱하기 2a 더하기 n-1 곱하기 d가 될 것입니다.
s sub n 을 풀고 싶으면
두 변을 2로 나누면 됩니다.
s sub n은
기대해 보세요
n(2a+(n-1)d)입니다.
그걸 2로 나누면 됩니다.
자, 이제 일반항을 도출하였습니다.
첫번째 항이 뭔지를
공차가 뭔지, 그리고 얼마나 더 많은 항을
더해야 하는지 구하였습니다.
이것이 등차수열의 합의 일반항이며
등차급수라 부릅니다.
이제 이 물음을 답하면 됩니다.
기억하기 어려운데요.
n 곱하기 2a+n-1 곱하기 d 나누기 2인데요.
확실한 예를 들었던 마지막 비디오에서 제가
등차수열의 합의 일반항은
첫째 항 a+an의
평균이라고 쓸 수 있다고 했습니다.
첫째 항과 마지막 항의 평균에
항의 개수를 곱하면 됩니다.
이게 맞는 걸까요?
이 두개는 정말 같은 걸까요?
기억하기 쉽습니다.
첫째 항과 마지막 항의 평균을
항의 수로 곱하는 것은
직감적으로 이해가 됩니다.
왜냐하면 그냥 같은 양을 일정하게 늘리고 있기 때문입니다.
첫번째 항과 마지막 항의 평균을 구하고
그리고 항의 개수만큼 곱합시다.
이게 여기 있는 이것과
같다는 것을 보기 위해
다시 한 번 써보겠습니다.
a를 빼내기만 하면 됩니다.
다시 써보겠습니다.
이것은 s sub n=
n(a+a+(n-1)*d)를
(2a를 a+a로 쓴겁니다.)
2로 나눈 것이라고 쓸 수 있습니다.
이것을 어떻게 정의하냐에 따라
첫항은 a입니다.
마지막 항 a sub n은 a+(n-1)*d입니다.
그러니까 여기 있는 이건
첫번째 항과 마지막 항의 평균입니다.
첫번째 항과 마지막 항을 더하여
2로 나눈 것이고
그것에 항의 개수를 곱한 것입니다.
그리고 이건 여기 보여준 것처럼
모든 등차수열에 동일하게 적용됩니다.