WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.720 00:00:00.720 --> 00:00:04.700 일반적인 용어로 등차수열을 써봅시다. 00:00:04.700 --> 00:00:08.230 00:00:08.230 --> 00:00:11.460 상수 a를 써서 시작해 볼 수 있겠네요. 00:00:11.460 --> 00:00:13.280 다음으로 계속 d를 더하면 됩니다. 00:00:13.280 --> 00:00:14.900 계속 더하고 있는 숫자는 00:00:14.900 --> 00:00:16.950 양수 또는 음수이며 00:00:16.950 --> 00:00:18.650 공차라고 부릅니다. 00:00:18.650 --> 00:00:22.100 그러면 수열의 두번째 항은 +d 입니다. 00:00:22.100 --> 00:00:25.670 그리고 수열의 세번째 항은 +2d 일 것 입니다. 00:00:25.670 --> 00:00:29.560 우리는 계속 d를 더하여 00:00:29.560 --> 00:00:30.820 n 번째 항까지 구할 수 있습니다. 00:00:30.820 --> 00:00:33.200 본 것처럼 첫번째항에는 00:00:33.200 --> 00:00:36.210 d를 0번 더했습니다. 00:00:36.210 --> 00:00:39.580 두번째 항에는 +d를 한번 더했고, 00:00:39.580 --> 00:00:42.230 세번째 항에는 +d를 두번 더해 주었습니다. 00:00:42.230 --> 00:00:44.470 보다시피 n이 무엇이든 간에 00:00:44.470 --> 00:00:47.650 우리는 그보다 하나 적은 d를 더했습니다. 00:00:47.650 --> 00:00:51.770 마지막 항까지 가보면 00:00:51.770 --> 00:00:54.315 우리는 d를 n보다 하나 적게 더합니다. 00:00:54.315 --> 00:00:58.620 그러므로 n-1 곱하기 d입니다. 00:00:58.620 --> 00:00:59.324 좋습니다. 00:00:59.324 --> 00:01:00.040 이것을 써보겠습니다. 00:01:00.040 --> 00:01:03.622 이것은 마지막 항인데요. 00:01:03.622 --> 00:01:05.330 이제부터는 이 등차수열의 00:01:05.330 --> 00:01:07.750 합이 무엇일지 생각해보겠습니다. 00:01:07.750 --> 00:01:09.360 등차수열의 합을 00:01:09.360 --> 00:01:11.590 등차급수라 하겠습니다. 00:01:11.590 --> 00:01:12.905 노랑색으로 쓰겠습니다. 00:01:12.905 --> 00:01:17.260 00:01:17.260 --> 00:01:19.390 색깔 바꾸는 건 가끔 힘듭니다, 00:01:19.390 --> 00:01:26.310 등차급수는 그냥 00:01:26.310 --> 00:01:28.420 등차수열의 합입니다, 00:01:28.420 --> 00:01:31.770 등차급수를 s sub n이라 하겠습니다. 00:01:31.770 --> 00:01:34.030 등차수열의 합을 구하자면 00:01:34.030 --> 00:01:43.780 a+d 더하기 a+2d... 이렇게 00:01:43.780 --> 00:01:51.150 a+(n-1)*d인 n번째 항까지 00:01:51.150 --> 00:01:52.274 더하는 것입니다. 00:01:52.274 --> 00:01:53.690 이제 똑같은 방법을 쓸건데요. 00:01:53.690 --> 00:01:56.930 이것이 등차수열의 기본이라고 할 수 있습니다. 00:01:56.930 --> 00:01:59.170 저는 이것을 자기자신에 더할 것이지만, 00:01:59.170 --> 00:02:01.620 쓰는 순서를 바꿀 것입니다. 00:02:01.620 --> 00:02:04.812 s sub n 은 이렇게 쓸 수 있지만 00:02:04.812 --> 00:02:06.270 한 번 반대로 써보겠습니다. 00:02:06.270 --> 00:02:08.120 마지막 항을 먼저 쓰겠습니다. 00:02:08.120 --> 00:02:15.090 마지막 항은 a+(n-1)*d입니다. 00:02:15.090 --> 00:02:17.290 마지막에서 두번째 항은 00:02:17.290 --> 00:02:22.000 a+(n-2)*d입니다. 00:02:22.000 --> 00:02:29.860 마지막에서 세번째 항은 a+(n-3)*d가 될겁니다. 00:02:29.860 --> 00:02:31.830 이렇게 첫째항인 a까지 00:02:31.830 --> 00:02:36.250 계속 쓰겠습니다. 00:02:36.250 --> 00:02:38.280 이제 이 두 방정식을 더합시다. 00:02:38.280 --> 00:02:42.410 좌변에는 s sub n 더하기 00:02:42.410 --> 00:02:43.230 s sub n이 있을 것입니다. 00:02:43.230 --> 00:02:48.330 s sub n 곱하기 2를 구할 수 있을텐데요. 00:02:48.330 --> 00:02:52.890 그러면 여기 있는 이 두 항의 00:02:52.890 --> 00:02:54.100 합은 무엇일까요? 00:02:54.100 --> 00:02:57.140 a 더하기 a+(n-1)*d를 구할 수 있을 것이고요. 00:02:57.140 --> 00:03:03.170 그래서 2a+(n-1)*d이 될 것입니다. 00:03:03.170 --> 00:03:06.070 이제 두 번째 항을 둘 다 더하겠습니다. 00:03:06.070 --> 00:03:08.200 두 번째 항을 모두 더하면 00:03:08.200 --> 00:03:09.360 무엇이 나올까요? 00:03:09.360 --> 00:03:12.940 2a+2a입니다. 00:03:12.940 --> 00:03:16.610 d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요? 00:03:16.610 --> 00:03:19.004 여러 방면에서 볼 수 있습니다. 00:03:19.004 --> 00:03:20.170 여기에 써봅시다. 00:03:20.170 --> 00:03:24.675 d 더하기 (n-2)*d는 무엇일까요? 00:03:24.675 --> 00:03:26.050 뭐, 같은 것으로 볼 수 있습니다. 00:03:26.050 --> 00:03:28.559 d 더하기 (n-2)*d와 같습니다. 00:03:28.559 --> 00:03:30.350 계수들만 더해도 되는 것입니다. 00:03:30.350 --> 00:03:35.100 이건 (n-2+1)*d가 될 것이고 00:03:35.100 --> 00:03:39.910 이건 n-1 곱하기 d와 같습니다. 00:03:39.910 --> 00:03:51.360 그래서 두번째 항도 2a+(n-1)*d이 될 것입니다. 00:03:51.360 --> 00:03:53.030 셋째항을 더합시다. 00:03:53.030 --> 00:03:53.910 녹색으로 쓰겠습니다. 00:03:53.910 --> 00:03:55.782 셋째항은 00:03:55.782 --> 00:03:57.740 여기서 규칙을 찾을 수 있습니다. 00:03:57.740 --> 00:04:01.970 2a+2a입니다. 00:04:01.970 --> 00:04:06.410 무언가의 2+n-3에다가 2를 더하면 00:04:06.410 --> 00:04:08.410 무언가의 n-1가 나올 것입니다. 00:04:08.410 --> 00:04:12.130 결국 n-1곱하기 d입니다. 00:04:12.130 --> 00:04:14.430 계속 이 방식으로 00:04:14.430 --> 00:04:16.890 n번째 짝을 구하면서 00:04:16.890 --> 00:04:19.410 여기 있는 두개를 더하면 00:04:19.410 --> 00:04:25.220 2a+n-1곱하기 d가 됩니다. 00:04:25.220 --> 00:04:28.310 2a+n-1 곱하기 d가 00:04:28.310 --> 00:04:30.437 계속하여 더해지는 것을 구할 수 있습니다. 00:04:30.437 --> 00:04:32.020 그러면 몇 번을 더해야 할까요? 00:04:32.020 --> 00:04:34.110 이 두개의 방정식을 더하면서 00:04:34.110 --> 00:04:35.610 n개의 짝을 가지고 있습니다. 00:04:35.610 --> 00:04:37.700 n개의 항이 각각 있습니다. 00:04:37.700 --> 00:04:39.750 이것은 첫째항이고 이것은 둘째 항이며 00:04:39.750 --> 00:04:43.230 이것은 셋째항이고 이것은 n 번째 항입니다. 00:04:43.230 --> 00:04:48.430 그래서 2 곱하기 합을 2 곱하기 s sub n으로 고칠 수 있고 00:04:48.430 --> 00:04:51.770 이 양의 n배가 될 것입니다. 00:04:51.770 --> 00:05:03.452 n 곱하기 2a 더하기 n-1 곱하기 d가 될 것입니다. 00:05:03.452 --> 00:05:05.160 s sub n 을 풀고 싶으면 00:05:05.160 --> 00:05:07.340 두 변을 2로 나누면 됩니다. 00:05:07.340 --> 00:05:10.190 s sub n은 00:05:10.190 --> 00:05:11.940 기대해 보세요 00:05:11.940 --> 00:05:17.750 n(2a+(n-1)d)입니다. 00:05:17.750 --> 00:05:20.340 그걸 2로 나누면 됩니다. 00:05:20.340 --> 00:05:23.520 자, 이제 일반항을 도출하였습니다. 00:05:23.520 --> 00:05:26.169 첫번째 항이 뭔지를 00:05:26.169 --> 00:05:28.460 공차가 뭔지, 그리고 얼마나 더 많은 항을 00:05:28.460 --> 00:05:29.310 더해야 하는지 구하였습니다. 00:05:29.310 --> 00:05:33.980 이것이 등차수열의 합의 일반항이며 00:05:33.980 --> 00:05:36.089 등차급수라 부릅니다. 00:05:36.089 --> 00:05:37.880 이제 이 물음을 답하면 됩니다. 00:05:37.880 --> 00:05:39.460 기억하기 어려운데요. 00:05:39.460 --> 00:05:44.124 n 곱하기 2a+n-1 곱하기 d 나누기 2인데요. 00:05:44.124 --> 00:05:46.540 확실한 예를 들었던 마지막 비디오에서 제가 00:05:46.540 --> 00:05:53.210 등차수열의 합의 일반항은 00:05:53.210 --> 00:05:58.460 첫째 항 a+an의 00:05:58.460 --> 00:06:01.490 평균이라고 쓸 수 있다고 했습니다. 00:06:01.490 --> 00:06:06.450 첫째 항과 마지막 항의 평균에 00:06:06.450 --> 00:06:08.930 항의 개수를 곱하면 됩니다. 00:06:08.930 --> 00:06:11.990 이게 맞는 걸까요? 00:06:11.990 --> 00:06:14.780 이 두개는 정말 같은 걸까요? 00:06:14.780 --> 00:06:16.500 기억하기 쉽습니다. 00:06:16.500 --> 00:06:19.379 첫째 항과 마지막 항의 평균을 00:06:19.379 --> 00:06:21.420 항의 수로 곱하는 것은 00:06:21.420 --> 00:06:23.130 직감적으로 이해가 됩니다. 00:06:23.130 --> 00:06:25.280 왜냐하면 그냥 같은 양을 일정하게 늘리고 있기 때문입니다. 00:06:25.280 --> 00:06:30.580 첫번째 항과 마지막 항의 평균을 구하고 00:06:30.580 --> 00:06:33.600 그리고 항의 개수만큼 곱합시다. 00:06:33.600 --> 00:06:36.290 이게 여기 있는 이것과 00:06:36.290 --> 00:06:38.700 같다는 것을 보기 위해 00:06:38.700 --> 00:06:39.860 다시 한 번 써보겠습니다. 00:06:39.860 --> 00:06:41.810 a를 빼내기만 하면 됩니다. 00:06:41.810 --> 00:06:43.270 다시 써보겠습니다. 00:06:43.270 --> 00:06:46.620 이것은 s sub n= 00:06:46.620 --> 00:06:57.460 n(a+a+(n-1)*d)를 00:06:57.460 --> 00:07:00.030 (2a를 a+a로 쓴겁니다.) 00:07:00.030 --> 00:07:04.030 2로 나눈 것이라고 쓸 수 있습니다. 00:07:04.030 --> 00:07:06.690 이것을 어떻게 정의하냐에 따라 00:07:06.690 --> 00:07:12.180 첫항은 a입니다. 00:07:12.180 --> 00:07:19.930 마지막 항 a sub n은 a+(n-1)*d입니다. 00:07:19.930 --> 00:07:26.380 그러니까 여기 있는 이건 00:07:26.380 --> 00:07:35.040 첫번째 항과 마지막 항의 평균입니다. 00:07:35.040 --> 00:07:37.120 첫번째 항과 마지막 항을 더하여 00:07:37.120 --> 00:07:38.410 2로 나눈 것이고 00:07:38.410 --> 00:07:41.190 그것에 항의 개수를 곱한 것입니다. 00:07:41.190 --> 00:07:43.810 그리고 이건 여기 보여준 것처럼 00:07:43.810 --> 00:07:46.260 모든 등차수열에 동일하게 적용됩니다.