拉普拉斯变换 5

拉普拉斯变换的实用性质。

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现在是一个好的时机，来看一看

一些有趣又实用的

拉普拉斯变换的性质。

首先来展示它是一个线性算子。

这是什么意思呢？

如果我想求 -

我们将它称为两个函数的加权和

的拉普拉斯变换。

某一个常数，c1，乘以我的第一个函数，f(t)，

加上某个常数，c2，乘以我的第二个函数，

g(t)。

根据拉普拉斯变换的定义，

这就等于从0至无穷，

e^-st，乘以我们将要

进行拉普拉斯变换的函数，

所以就是乘以c1，f(t)，加c2，g(t)，

以上，dt，的反常积分。

然后这个式子就等于，求从0到无穷的反常积分，

让我们将e^-st进行分配，

这等于什么呢？

这就等于c1，e^-st, f(t)，加上

c2，e^-st，g(t)，所有这些乘以dt。

那么根据积分的性质和定义，

我们知道我们可以把它分成

两个积分，对吧？

如果两个函数和的积分等于

这两个函数的积分的和，

其它这些只是常数。

这就等于，c1，乘以从零到无穷的反常积分，

e^-st，乘以f(t)，dt，

加上c2，乘以从零到无穷的反常积分，

e^-st，g(t)，dt。

这是一个非常啰嗦的方式来说明 -

这是什么呢？-

这是f(t)的拉普拉斯变换式，

这是g(t)的拉普拉斯变换式。

所以这就等于，c1乘以f(t)的拉普拉斯变换式，

加上c2乘以，

g(t)的拉普拉斯变换式。

所以，我们刚刚证明了拉普拉斯变换

是一个线性算子，对吗？

这个式子的拉普拉斯变换等于这个。

基本上来说，你可以将这个和分开，提出常数，

然后进行拉普拉斯变换。

这是有用的知识点，你可能

已经猜测到会是这种情况了。

现在你可以确定了。

现在我们做一个更有趣的操作。

这将是一个非常重要的线索，

关于为什么拉普拉斯变换在解

微分方程上非常有用。

那么现在假设我想找到f'(t)的

拉普拉斯变换式。

我有f(t)，对它进行求导之后，

我想求它的拉普拉斯变换。

现在我们看看能不能找到

对函数导数的拉普拉斯变换，和

对原函数的拉普拉斯变换之间的关系。

那么我们需要使用分部积分法。

首先，让我解释一下这是什么。

这等于，从零到无穷的积分，

e^-st，乘以f'(t)，dt。

我们将利用分部积分法来解它。

让我把它写在角落里，这样你可以记住。

我觉得我已经记住了，因为

离录制上一个视频过了没有很久。

我简略写出来一下。

对于uv'的积分，

-和我们的式子更接近一些- 等于

这两个函数，不含有导数，

uv减去，相反的导数的积分。

那么相反来说就是u'v。

那么这里如何替换就很明显了，对吧？

因为我们最终想要得到的是f(x)，是吧？

让我们把v'等于f'，然后u等于

e^-st。

u等于e^-st，v等于

什么？

v等于f'(t)。

然后u'就是-se^-st。

然后v'，-哦抱歉，这里是v‘-

v'是f'(t)，所以v就等于

f(t)。

希望第一次说的时候没有错。

但你可以明白我的意思。

前面的部分是u，后面的部分是v'。

然后如果它是v’，那么你求等式两边

的反导数，就能得到v等于f(t)。

现在我们可以使用分部积分法。

所以这个拉普拉斯变换，也就是这个式子，等于uv，

也就等于e^-st，乘以v，也就是f(t)，

减去积分，-当然，我们需要将这个

从零到无穷进行求值-

我将这个反常积分

一直保留下来。

我不会在定积分和不定积分之间

来回切换。

所以，减去这个部分。

从零到无穷的积分，对于u'，

u'是，-se^-st，乘以v，

v是f(t)，dt。

现在我们看，我们有一个负号，和另一个负号，

让我们把它们都变成加号。

这个s只是一个常数，所以我们可以把它提出来。

所以它就等于，e^-st，f(t)，

从零至无穷，或者说当我们接近无穷的时候，加上s

乘以从零到无穷，对e^-st，

f(t)，dt，的反常积分。

那么这里我们看到，这个是什么？

这就是f(t)的拉普拉斯变换式，对吗？

让我们来算一下这个部分。

那么当我们计算无穷时，当我们接近

无穷时，e的负无穷次方趋近于零。

f(无穷)，这是一个有趣的问题，

f(无穷)，我也不知道。

这个可以是很大的值，也可以是很小的值，

它会趋于某一个值，对吧？

这个是趋于零的，所以我们不知道

如果这个增长的速度大于这里趋于零的速度，那么

结果将会发散。

我不会深入讨论这个是否是

收敛或者发散的数学原理，但是这个我们粗略来说，

如果f(t)增长得比e^-st缩小得慢，那么结果

将会趋于零。

以后也许我们会更严谨地定义

在什么情况下

这个表达式会收敛。

让我们假设f(t)增长得速度比e^-st慢，

或者说是它发散得速度比左边收敛得速度要慢。

或者说它增大的速度比左边缩小得速度慢。

那么，如果它增大得速度比它缩小得速度慢，就意味着

这个表达式将会趋于零。

然后你需要用它减去这个表达式

在0处的值。

所以，e^0等于1，乘以f(0)，

加上s乘以 --我们说过了， 这个是f(t)的拉普拉斯变换式，

这是我们的定义-- 所以，就是f(t)的

拉普拉斯变换式。

然后现在我们有一个有趣的性质了。

我们所作的一切的左式（原式）是什么？

是f'(t)的拉普拉斯变换式。

那么让我把这些都重新写一遍。

我来换一个颜色。

f'(t)的拉普拉斯变换式，等于s乘以

f(t)的拉普拉斯变换式，减去f(0)。

那么现在，让我们更进一步看看。

拉普拉斯变换 --这是一个

很有用的知识点--f''(t)的拉普拉斯变换式

是什么呢？

我们在这里可以找找规律对吧？

这就等于，s乘以它的

反导数的拉普拉斯变换式，也就是乘以f'(t)的

拉普拉斯变换式，对吧？

从左边到右边，这是找它的反导数，

这个式子的左边到右边，也是一次反导数。

减去f'(0)。

那么它的拉普拉斯变换是什么呢？

这里就等于s乘以，f'(t)的拉普拉斯变换，

那么这是什么呢？

它等于这个式子，对吧？

它是s乘以f(t)的拉普拉斯变换式，减去

f(0)，对吧？

我只是将这一部分替换了。

减去f'(0)。

然后我们就得到，第二次导数的拉普拉斯变换式

等于s^2乘以

我们的函数f(t)的拉普拉斯变换式，减去s乘以f(0)。

减去f'(0)。

我想你已经开始看到一些规律了。

这是f''(t)的拉普拉斯变换式。

我想你已经开始看到为什么

拉普拉斯变换是很有用的了。

它将导数变成了对s的乘法。

后面你也将会看到，它将积分变成

对于s的除法。

你可以进行任意次导数的计算，

只需要不断地乘以s。

你可以看到这个规律。

我的时间有限，

但是我留给你自己来计算一下，

f的三阶导数的拉普拉斯变换式是什么。

下个视频见。