拉普拉斯变换 5

现在是一个好的时机，来看一看

一些有趣又实用的

拉普拉斯变换的性质。

首先来展示它是一个线性算子。

这是什么意思呢？

如果我想求 -

我们将它称为两个函数的加权和

的拉普拉斯变换。

某一个常数，c1，乘以我的第一个函数，f(t)，

加上某个常数，c2，乘以我的第二个函数，

g(t)。

根据拉普拉斯变换的定义，

这就等于从0至无穷，

-e^-st，乘以我们将要

进行拉普拉斯变换的函数，

所以就是乘以c1，f(t)，加c2，g(t)，

以上，dt，的反常积分。

然后这个式子就等于，求从0到无穷的反常积分，

让我们将e^-st进行分配，

这等于什么呢？

这就等于c1，e^-st, f(t)，加上

c2，e^-st，g(t)，所有这些乘以dt。

那么根据积分的性质和定义，

我们知道我们可以把它分成

两个积分，对吧？

如果两个函数和的积分等于

这两个函数的积分的和，

其它这些只是常数。

这就等于，c1，乘以从零到无穷的反常积分，

e^-st，乘以f(t)，dt，

加上c2，乘以从零到无穷的反常积分，

e^-st，g(t)，dt。

这是一个非常啰嗦的方式来说明 -

这是什么呢？-

这是f(t)的拉普拉斯变换式，

这是g(t)的拉普拉斯变换式。

所以这就等于，c1乘以f(t)的拉普拉斯变换式，

加上c2乘以，

g(t)的拉普拉斯变换式。

所以，我们刚刚证明了拉普拉斯变换

是一个线性算子，对吗？

这个式子的拉普拉斯变换等于这个。

基本上来说，你可以将这个和分开，提出常数，

然后进行拉普拉斯变换。

这是有用的知识点，你可能

已经猜测到会是这种情况了。

现在你可以确定了。

现在我们做一个更有趣的操作。

这将是一个非常重要的线索，

关于为什么拉普拉斯变换在解

微分方程上非常有用。

那么现在假设我想找到f'(t)的

拉普拉斯变换式。

我有f(t)，对它进行求导之后，

我想求它的拉普拉斯变换。

现在我们看看能不能找到

对函数导数的拉普拉斯变换，和

对原函数的拉普拉斯变换之间的关系。

那么我们需要使用分部积分法。

首先，让我解释一下这是什么。

这等于，从零到无穷的积分，

e^-st，乘以f'(t)，dt。

我们将利用分部积分法来解它。

让我把它写在角落里，这样你可以记住。

我觉得我已经记住了，因为

离录制上一个视频过了没有很久。

我简略写出来一下。

对于uv'的积分，

-和我们的式子更接近一些- 等于

这两个函数，不含有导数，

uv减去，相反的导数的积分。

那么相反来说就是u'v。

那么这里如何替换就很明显了，对吧？

因为我们最终想要得到的是f(x)，是吧？

让我们把v'等于f'，然后u等于

e^-st。

u等于e^-st，v等于

什么？

v等于f'(t)。

然后u'就是-se^-st。

然后v'，-哦抱歉，这里是v‘-

v'是f'，所以v就等于

f(t)。

希望我之前第一次说的时候没有错。

但你可以明白我的意思。

前面的部分是u，后面的部分是v'。

然后如果它是v’，那么你求等式两边

的反导数，就能得到v等于f(t)。

现在我们可以使用分部积分法。

所以这个拉普拉斯变换，也就是这个式子，等于uv，

也就是e^-st，乘以v，也就是f(t)，

减去积分，-当然，我们需要将这个

从零到无穷进行求值-

我将这个反常积分

一直保留下来。