-
-
Вече знаем, че правилото за
произведение ни казва,
-
че ако имаме произведение от
две функции... Да кажем
-
f(x) и g(x)... и искаме да намерим
-
производната на това,
тя ще бъде
-
равна на производната
-
на първата функция,
f прим от х, по
-
втората функция, g(х),
плюс първата функция,
-
без да взимаме нейната
производна, т.е плюс f(x),
-
по производната на
втората функция.
-
Две събираеми, в едното от тях взимаме производната на една
-
от функциите и другата,
и после ги разменяме.
-
Тук е само производната на f,
без тази на g.
-
Тук е производната само на g,
без тази на f.
-
Надявам се, че това е малко
като преговор.
-
Това е правилото за
производна на произведение.
-
По същество ще приложим
отново
-
правилото за произведение,
за да получим
-
това, което учебниците наричат
правило за производна на частно.
-
Имам смесени чувства за
правилото за производна на частно.
-
Ако го знаеш, може да направи
някои операции малко по-бързи,
-
но всъщност се извежда от
правилото за произведение.
-
Честно казано винаги забравям
правилото за частно
-
и просто го извеждам от
правилото за произведение.
-
Да видим за какво говорим.
-
Нека си представим, че
имаме израз, който
-
може да се запише като
f(x) делено на g(x),
-
и искаме да сметнем
производната на това,
-
производната на f(x) върху g(x).
-
Важното нещо е да осъзнаем,
-
че това е същото нещо като
производната...
-
Вместо да запишем f(x) върху g(x),
-
можем да запишем това като
f(x) по g(x) на степен –1.
-
Сега можем да използваме
правилото за производна на произведение
-
и малко от верижното правило.
-
На какво ще е равно това?
-
Просто използваме правилото
за производна на произведение.
-
То е производната на първата
функция тук...
-
Ще бъде f прим от х
-
по втората функция, която
е просто
-
g(x) на степен –1, плюс
първата функция,
-
която е просто f(x), по
производната
-
на втората функция.
-
Тук трябва да използваме
верижното правило.
-
Производната на външната функция,
която
-
можем да разглеждаме
като нещо
-
на степен –1, спрямо това нещо,
ще бъде –1 по това нещо,
-
което в този случай е g(x),
на степен –2.
-
После смятаме производната на
-
вътрешната функция спрямо х,
-
което е просто g прим от х.
-
Готово.
-
Намерихме производната
на това,
-
използвайки правилото за произведение
и верижното правило.
-
Това не е формулировката, която
-
ще видиш, когато се говори
-
за правилото за производна на частно
в учебниците по математика.
-
Да видим дали можем
да опростим това малко.
-
Всичко това ще бъде равно на...
Можем да запишем това
-
тук като f прим от х върху g(x).
-
Можем да запишем
всичко това като...
-
Можем да сложим този
минус отпред.
-
Получаваме –f(x) по g прим от х.
-
После цялото това върху
g(x) на квадрат.
-
Нека запиша това
малко по-ясно.
-
Цялото това върху
g(x) на квадрат.
-
Все още не е във вида, който
обикновено
-
се вижда в учебниците.
-
За да стигнем до там, просто трябва
да съберем тези две дроби.
-
Нека умножим числителя и
знаменателя тук
-
по g(x), за да имаме навсякъде
-
g(x) на квадрат в знаменател.
-
Ако умножим числителя по g(x),
-
ще получим g(x) тук и после
-
знаменателят ще стане
g(x) на квадрат.
-
Сега сме готови за събиране.
-
Получаваме, че производната на f(x)
-
върху g(x) е равна на
производната на f(x) по g(x)
-
минус... вече не е плюс...
нека го запиша в бяло...
-
f(х) по g прим х,
-
цялото върху g(x) на квадрат.
-
Отново казвам, че винаги
можеш да изведеш това
-
от правилото за произведение
и верижното правило.
-
Понякога може да е удобно
да го помним, за да
-
решим някоя задача в този вид
малко по-бързо.
-
Ако искаме да видим връзката
между правилото за произведение
-
и правилото за частно:
производната на едната
-
функция по другата функция.
-
Вместо да добавяме
производната
-
на втората функция
по първата функция,
-
сега изваждаме.
-
И всичко е върху
втората функция на квадрат.
-
Каквото е имало в знаменател,
цялото е на квадрат.
-
Когато говорим за производната
-
на функцията в знаменател
тук горе,
-
има изваждане, а после
слагаме всичко
-
върху втората функция
на квадрат.
Khan Academy
