WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.670


00:00:00.670 --> 00:00:02.790
Вече знаем, че правилото за 
произведение ни казва,

00:00:02.790 --> 00:00:06.510
че ако имаме произведение от 
две функции... Да кажем

00:00:06.510 --> 00:00:10.200
f(x) и g(x)... и искаме да намерим

00:00:10.200 --> 00:00:15.520
производната на това, 
тя ще бъде

00:00:15.520 --> 00:00:16.980
равна на производната

00:00:16.980 --> 00:00:20.280
на първата функция, 
f прим от х, по

00:00:20.280 --> 00:00:27.950
втората функция, g(х), 
плюс първата функция,

00:00:27.950 --> 00:00:30.830
без да взимаме нейната 
производна, т.е плюс f(x),

00:00:30.830 --> 00:00:37.040
по производната на 
втората функция.

00:00:37.220 --> 00:00:39.870
Две събираеми, в едното от тях взимаме производната на една

00:00:39.870 --> 00:00:42.370
от функциите и другата, 
и после ги разменяме.

00:00:42.370 --> 00:00:45.340
Тук е само производната на f, 
без тази на g.

00:00:45.340 --> 00:00:47.522
Тук е производната само на g,
без тази на f.

00:00:47.522 --> 00:00:49.230
Надявам се, че това е малко 
като преговор.

00:00:49.230 --> 00:00:50.790
Това е правилото за 
производна на произведение.

00:00:50.790 --> 00:00:52.373
По същество ще приложим
отново

00:00:52.373 --> 00:00:53.780
правилото за произведение, 
за да получим

00:00:53.780 --> 00:00:56.754
това, което учебниците наричат
правило за производна на частно.

00:00:56.754 --> 00:00:58.670
Имам смесени чувства за
правилото за производна на частно.

00:00:58.670 --> 00:01:01.086
Ако го знаеш, може да направи 
някои операции малко по-бързи,

00:01:01.086 --> 00:01:04.300
но всъщност се извежда от 
правилото за произведение.

00:01:04.379 --> 00:01:06.320
Честно казано винаги забравям 
правилото за частно

00:01:06.320 --> 00:01:09.230
и просто го извеждам от
правилото за произведение.

00:01:09.230 --> 00:01:10.970
Да видим за какво говорим.

00:01:10.970 --> 00:01:14.650
Нека си представим, че 
имаме израз, който

00:01:14.650 --> 00:01:19.140
може да се запише като 
f(x) делено на g(x),

00:01:19.140 --> 00:01:21.990
и искаме да сметнем 
производната на това,

00:01:21.990 --> 00:01:26.700
производната на f(x) върху g(x).

00:01:26.700 --> 00:01:29.610
Важното нещо е да осъзнаем,

00:01:29.610 --> 00:01:32.990
че това е същото нещо като
производната...

00:01:32.990 --> 00:01:34.610
Вместо да запишем f(x) върху g(x),

00:01:34.610 --> 00:01:43.960
можем да запишем това като
f(x) по g(x) на степен –1.

00:01:44.160 --> 00:01:45.620
Сега можем да използваме 
правилото за производна на произведение

00:01:45.620 --> 00:01:47.910
и малко от верижното правило.

00:01:47.910 --> 00:01:50.520
На какво ще е равно това?

00:01:50.520 --> 00:01:52.030
Просто използваме правилото
за производна на произведение.

00:01:52.030 --> 00:01:54.970
То е производната на първата
функция тук...

00:01:54.970 --> 00:01:59.880
Ще бъде f прим от х

00:01:59.880 --> 00:02:03.780
по втората функция, която
е просто

00:02:03.780 --> 00:02:13.460
g(x) на степен –1, плюс
първата функция,

00:02:13.460 --> 00:02:17.960
която е просто f(x), по 
производната

00:02:17.960 --> 00:02:19.439
на втората функция.

00:02:19.439 --> 00:02:22.600
Тук трябва да използваме 
верижното правило.

00:02:22.640 --> 00:02:24.434
Производната на външната функция, 
която

00:02:24.434 --> 00:02:25.850
можем да разглеждаме
като нещо

00:02:25.850 --> 00:02:31.600
на степен –1, спрямо това нещо, 
ще бъде –1 по това нещо,

00:02:31.700 --> 00:02:34.525
което в този случай е g(x), 
на степен –2.

00:02:34.525 --> 00:02:36.150
После смятаме производната на

00:02:36.150 --> 00:02:37.740
вътрешната функция спрямо х,

00:02:37.740 --> 00:02:41.880
което е просто g прим от х.

00:02:41.880 --> 00:02:42.890
Готово.

00:02:42.890 --> 00:02:44.490
Намерихме производната
на това,

00:02:44.490 --> 00:02:46.750
използвайки правилото за произведение 
и верижното правило.

00:02:46.750 --> 00:02:48.260
Това не е формулировката, която

00:02:48.260 --> 00:02:49.660
ще видиш, когато се говори

00:02:49.660 --> 00:02:51.410
за правилото за производна на частно
в учебниците по математика.

00:02:51.410 --> 00:02:53.620
Да видим дали можем
да опростим това малко.

00:02:53.620 --> 00:02:57.480
Всичко това ще бъде равно на... 
Можем да запишем това

00:02:57.480 --> 00:03:07.600
тук като f прим от х върху g(x).

00:03:07.720 --> 00:03:10.160
Можем да запишем 
всичко това като...

00:03:10.160 --> 00:03:12.020
Можем да сложим този
минус отпред.

00:03:12.020 --> 00:03:24.420
Получаваме –f(x) по g прим от х.

00:03:24.620 --> 00:03:28.555
После цялото това върху
g(x) на квадрат.

00:03:28.555 --> 00:03:30.650
Нека запиша това 
малко по-ясно.

00:03:30.650 --> 00:03:36.660
Цялото това върху 
g(x) на квадрат.

00:03:36.780 --> 00:03:38.820
Все още не е във вида, който 
обикновено

00:03:38.830 --> 00:03:40.240
се вижда в учебниците.

00:03:40.240 --> 00:03:42.855
За да стигнем до там, просто трябва 
да съберем тези две дроби.

00:03:42.855 --> 00:03:44.980
Нека умножим числителя и 
знаменателя тук

00:03:44.980 --> 00:03:47.720
по g(x), за да имаме навсякъде

00:03:47.720 --> 00:03:49.810
g(x) на квадрат в знаменател.

00:03:49.810 --> 00:03:52.430
Ако умножим числителя по g(x),

00:03:52.430 --> 00:03:54.740
ще получим g(x) тук и после

00:03:54.740 --> 00:03:57.530
знаменателят ще стане 
g(x) на квадрат.

00:03:57.530 --> 00:03:59.050
Сега сме готови за събиране.

00:03:59.050 --> 00:04:02.450
Получаваме, че производната на f(x)

00:04:02.450 --> 00:04:08.910
върху g(x) е равна на 
производната на f(x) по g(x)

00:04:08.910 --> 00:04:15.460
минус... вече не е плюс... 
нека го запиша в бяло...

00:04:15.460 --> 00:04:28.020
f(х) по g прим х,

00:04:28.020 --> 00:04:34.320
цялото върху g(x) на квадрат.

00:04:34.320 --> 00:04:36.410
Отново казвам, че винаги
можеш да изведеш това

00:04:36.410 --> 00:04:38.420
от правилото за произведение
и верижното правило.

00:04:38.420 --> 00:04:41.150
Понякога може да е удобно
да го помним, за да

00:04:41.150 --> 00:04:45.110
решим някоя задача в този вид
малко по-бързо.

00:04:45.110 --> 00:04:48.010
Ако искаме да видим връзката 
между правилото за произведение

00:04:48.010 --> 00:04:50.430
и правилото за частно: 
производната на едната

00:04:50.430 --> 00:04:53.050
функция по другата функция.

00:04:53.050 --> 00:04:55.710
Вместо да добавяме
производната

00:04:55.710 --> 00:04:57.860
на втората функция 
по първата функция,

00:04:57.860 --> 00:04:59.140
сега изваждаме.

00:04:59.140 --> 00:05:02.190
И всичко е върху 
втората функция на квадрат.

00:05:02.190 --> 00:05:05.212
Каквото е имало в знаменател, 
цялото е на квадрат.

00:05:05.212 --> 00:05:06.670
Когато говорим за производната

00:05:06.670 --> 00:05:08.720
на функцията в знаменател 
тук горе,

00:05:08.720 --> 00:05:12.070
има изваждане, а после 
слагаме всичко

00:05:12.070 --> 00:05:14.930
върху втората функция
на квадрат.