0:00:00.000,0:00:00.670


0:00:00.670,0:00:02.790
Вече знаем, че правилото за [br]произведение ни казва,

0:00:02.790,0:00:06.510
че ако имаме произведение от [br]две функции... Да кажем

0:00:06.510,0:00:10.200
f(x) и g(x)... и искаме да намерим

0:00:10.200,0:00:15.520
производната на това, [br]тя ще бъде

0:00:15.520,0:00:16.980
равна на производната

0:00:16.980,0:00:20.280
на първата функция, [br]f прим от х, по

0:00:20.280,0:00:27.950
втората функция, g(х), [br]плюс първата функция,

0:00:27.950,0:00:30.830
без да взимаме нейната [br]производна, т.е плюс f(x),

0:00:30.830,0:00:37.040
по производната на [br]втората функция.

0:00:37.220,0:00:39.870
Две събираеми, в едното от тях взимаме производната на една

0:00:39.870,0:00:42.370
от функциите и другата, [br]и после ги разменяме.

0:00:42.370,0:00:45.340
Тук е само производната на f, [br]без тази на g.

0:00:45.340,0:00:47.522
Тук е производната само на g,[br]без тази на f.

0:00:47.522,0:00:49.230
Надявам се, че това е малко [br]като преговор.

0:00:49.230,0:00:50.790
Това е правилото за [br]производна на произведение.

0:00:50.790,0:00:52.373
По същество ще приложим[br]отново

0:00:52.373,0:00:53.780
правилото за произведение, [br]за да получим

0:00:53.780,0:00:56.754
това, което учебниците наричат[br]правило за производна на частно.

0:00:56.754,0:00:58.670
Имам смесени чувства за[br]правилото за производна на частно.

0:00:58.670,0:01:01.086
Ако го знаеш, може да направи [br]някои операции малко по-бързи,

0:01:01.086,0:01:04.300
но всъщност се извежда от [br]правилото за произведение.

0:01:04.379,0:01:06.320
Честно казано винаги забравям [br]правилото за частно

0:01:06.320,0:01:09.230
и просто го извеждам от[br]правилото за произведение.

0:01:09.230,0:01:10.970
Да видим за какво говорим.

0:01:10.970,0:01:14.650
Нека си представим, че [br]имаме израз, който

0:01:14.650,0:01:19.140
може да се запише като [br]f(x) делено на g(x),

0:01:19.140,0:01:21.990
и искаме да сметнем [br]производната на това,

0:01:21.990,0:01:26.700
производната на f(x) върху g(x).

0:01:26.700,0:01:29.610
Важното нещо е да осъзнаем,

0:01:29.610,0:01:32.990
че това е същото нещо като[br]производната...

0:01:32.990,0:01:34.610
Вместо да запишем f(x) върху g(x),

0:01:34.610,0:01:43.960
можем да запишем това като[br]f(x) по g(x) на степен –1.

0:01:44.160,0:01:45.620
Сега можем да използваме [br]правилото за производна на произведение

0:01:45.620,0:01:47.910
и малко от верижното правило.

0:01:47.910,0:01:50.520
На какво ще е равно това?

0:01:50.520,0:01:52.030
Просто използваме правилото[br]за производна на произведение.

0:01:52.030,0:01:54.970
То е производната на първата[br]функция тук...

0:01:54.970,0:01:59.880
Ще бъде f прим от х

0:01:59.880,0:02:03.780
по втората функция, която[br]е просто

0:02:03.780,0:02:13.460
g(x) на степен –1, плюс[br]първата функция,

0:02:13.460,0:02:17.960
която е просто f(x), по [br]производната

0:02:17.960,0:02:19.439
на втората функция.

0:02:19.439,0:02:22.600
Тук трябва да използваме [br]верижното правило.

0:02:22.640,0:02:24.434
Производната на външната функция, [br]която

0:02:24.434,0:02:25.850
можем да разглеждаме[br]като нещо

0:02:25.850,0:02:31.600
на степен –1, спрямо това нещо, [br]ще бъде –1 по това нещо,

0:02:31.700,0:02:34.525
което в този случай е g(x), [br]на степен –2.

0:02:34.525,0:02:36.150
После смятаме производната на

0:02:36.150,0:02:37.740
вътрешната функция спрямо х,

0:02:37.740,0:02:41.880
което е просто g прим от х.

0:02:41.880,0:02:42.890
Готово.

0:02:42.890,0:02:44.490
Намерихме производната[br]на това,

0:02:44.490,0:02:46.750
използвайки правилото за произведение [br]и верижното правило.

0:02:46.750,0:02:48.260
Това не е формулировката, която

0:02:48.260,0:02:49.660
ще видиш, когато се говори

0:02:49.660,0:02:51.410
за правилото за производна на частно[br]в учебниците по математика.

0:02:51.410,0:02:53.620
Да видим дали можем[br]да опростим това малко.

0:02:53.620,0:02:57.480
Всичко това ще бъде равно на... [br]Можем да запишем това

0:02:57.480,0:03:07.600
тук като f прим от х върху g(x).

0:03:07.720,0:03:10.160
Можем да запишем [br]всичко това като...

0:03:10.160,0:03:12.020
Можем да сложим този[br]минус отпред.

0:03:12.020,0:03:24.420
Получаваме –f(x) по g прим от х.

0:03:24.620,0:03:28.555
После цялото това върху[br]g(x) на квадрат.

0:03:28.555,0:03:30.650
Нека запиша това [br]малко по-ясно.

0:03:30.650,0:03:36.660
Цялото това върху [br]g(x) на квадрат.

0:03:36.780,0:03:38.820
Все още не е във вида, който [br]обикновено

0:03:38.830,0:03:40.240
се вижда в учебниците.

0:03:40.240,0:03:42.855
За да стигнем до там, просто трябва [br]да съберем тези две дроби.

0:03:42.855,0:03:44.980
Нека умножим числителя и [br]знаменателя тук

0:03:44.980,0:03:47.720
по g(x), за да имаме навсякъде

0:03:47.720,0:03:49.810
g(x) на квадрат в знаменател.

0:03:49.810,0:03:52.430
Ако умножим числителя по g(x),

0:03:52.430,0:03:54.740
ще получим g(x) тук и после

0:03:54.740,0:03:57.530
знаменателят ще стане [br]g(x) на квадрат.

0:03:57.530,0:03:59.050
Сега сме готови за събиране.

0:03:59.050,0:04:02.450
Получаваме, че производната на f(x)

0:04:02.450,0:04:08.910
върху g(x) е равна на [br]производната на f(x) по g(x)

0:04:08.910,0:04:15.460
минус... вече не е плюс... [br]нека го запиша в бяло...

0:04:15.460,0:04:28.020
f(х) по g прим х,

0:04:28.020,0:04:34.320
цялото върху g(x) на квадрат.

0:04:34.320,0:04:36.410
Отново казвам, че винаги[br]можеш да изведеш това

0:04:36.410,0:04:38.420
от правилото за произведение[br]и верижното правило.

0:04:38.420,0:04:41.150
Понякога може да е удобно[br]да го помним, за да

0:04:41.150,0:04:45.110
решим някоя задача в този вид[br]малко по-бързо.

0:04:45.110,0:04:48.010
Ако искаме да видим връзката [br]между правилото за произведение

0:04:48.010,0:04:50.430
и правилото за частно: [br]производната на едната

0:04:50.430,0:04:53.050
функция по другата функция.

0:04:53.050,0:04:55.710
Вместо да добавяме[br]производната

0:04:55.710,0:04:57.860
на втората функция [br]по първата функция,

0:04:57.860,0:04:59.140
сега изваждаме.

0:04:59.140,0:05:02.190
И всичко е върху [br]втората функция на квадрат.

0:05:02.190,0:05:05.212
Каквото е имало в знаменател, [br]цялото е на квадрат.

0:05:05.212,0:05:06.670
Когато говорим за производната

0:05:06.670,0:05:08.720
на функцията в знаменател [br]тук горе,

0:05:08.720,0:05:12.070
има изваждане, а после [br]слагаме всичко

0:05:12.070,0:05:14.930
върху втората функция[br]на квадрат.