< Return to Video

L'Hopital's Rule Example 3

  • 0:01 - 0:08
    เราอยากหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ
  • 0:08 - 0:15
    พจน์ x ส่วน x ลบ 1 ลบ 1 ส่วน
  • 0:15 - 0:18
    ลอกธรรมชาติของ x
  • 0:18 - 0:20
    งั้นลองดูก่อนว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรา
  • 0:20 - 0:21
    พยายามแทนค่า 1
  • 0:21 - 0:25
    เกิดอะไรขึ้นหากเราแทนค่าพจน์นี้ด้วย 1?
  • 0:25 - 0:30
    ทีนี้ เราจะได้ หนึ่งตรงนี้ ส่วน 1 ลบ 1
  • 0:30 - 0:35
    และนั่นจะได้อะไรสักอย่างเช่น 1 ส่วน 0 ลบ 1
  • 0:35 - 0:38
    ส่วน แล้วลอกธรรมชาติของ 1 คืออะไร?
  • 0:38 - 0:40
    e ยกกำลังอะไรได้หนึ่ง?
  • 0:40 - 0:43
    อะไรก็ตามยกกำลังศูนย์ได้ 1 ดังนั้น e
  • 0:43 - 0:45
    ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับ 1 ดังนั้นลอก
  • 0:45 - 0:49
    ธรรมชาติของ 1 จะเท่ากับ 0
  • 0:49 - 0:52
    เราเลยได้เลขที่นิยามไม่ได้ 1 ส่วน
  • 0:52 - 0:54
    0 ลบ 1 ส่วน 0
  • 0:54 - 0:56
    มันเป็นรูปที่นิยามไม่ได้แถมน่าเกลียดอีก
  • 0:56 - 0:59
    แต่มันไม่ใช่รูปแบบที่ยังไม่สรุปไม่ได้ หากเรามอง
  • 0:59 - 1:00
    ตามกฏของโลปิตาล
  • 1:00 - 1:03
    เรายังไม่ได้ 0 ส่วน 0 เราไม่ได้
  • 1:03 - 1:04
    อนันต์ส่่วนอนันต์
  • 1:04 - 1:07
    คุณอาจบอกว่า เฮ้ โอเค นี่ไม่ใช่โจทย์ที่ใช้
  • 1:07 - 1:07
    กฏของโลปิตาล
  • 1:07 - 1:10
    เราต้องหาลิมิตนี้ด้วยวิธีอื่น
  • 1:10 - 1:13
    และผมก็บอกว่า อย่าเพิ่งยอมแพ้สิ
  • 1:13 - 1:17
    บางทีเราอาจจัดรูปด้วยเลขคณิตสักทาง
  • 1:17 - 1:20
    โดยมันจะกลายเป็นรูปที่ยังสรุปไม่ได้แบบโลปิตาล แล้ว
  • 1:20 - 1:23
    เราค่อยใช้กฏ
  • 1:23 - 1:25
    เพื่อทำอย่างนั้น ลองดู เกิดอะไรขึ้นหากเรา
  • 1:25 - 1:26
    บวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกัน?
  • 1:26 - 1:30
    หากเรารวมมัน เทอมนี้ก็ หากเรารวมัน มันจะ
  • 1:30 - 1:32
    เป็น ทีนี้ ตัวส่วนร่วม จะเป็น x
  • 1:32 - 1:37
    ลบ 1 คูณลอกธรรมชาติของ x
  • 1:37 - 1:39
    ผมแค่คูณตัวส่วน
  • 1:39 - 1:43
    แล้วตัวเศษจะเป็น ทีนี้ หากผม
  • 1:43 - 1:46
    คูณเทอมทั้งหมดนี่ด้วยลอกธรรมชาติของ x มันจะ
  • 1:46 - 1:51
    เท่ากับ x ลอกธรรมชาติของ x แล้วก็เทอมทั้งหมดนี่ที่ผม
  • 1:51 - 1:53
    จะคูณมันด้วย x ลบหนึ่ง
  • 1:53 - 1:55
    ดังนั้น ลบ x ลบ 1
  • 1:55 - 1:59
    และคุณสามารถแยกมันออกและเห็นว่าพจน์นี้
  • 2:01 - 2:03
    กับพจน์นี้เหมือนกัน
  • 2:10 - 2:12
    ขอผมลบมันไปนะ
  • 2:12 - 2:18
    แล้วนี่ตรงนี้ ก็เหมือนกับ 1 ส่วนลอกธรรมชาติ
  • 2:18 - 2:22
    ของ x เพราะ x ลบ 1 ตัดกัน
  • 2:22 - 2:24
    หวังว่าคุณคงเห็น ที่ผมทำก็แค่ผมบวก
  • 2:24 - 2:25
    สองพจน์นี้เข้าด้วยกัน
  • 2:25 - 2:29
    จากนั้น ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อผมใส่ลิมิต
  • 2:29 - 2:32
    เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของสิ่งนี้
  • 2:32 - 2:33
    เพราะนี่มันเหมือนกัน
  • 2:33 - 2:35
    เราได้อะไรที่น่าสนใจไหม?
  • 2:35 - 2:36
    แล้วเรามีอะไรตรงนี้?
  • 2:36 - 2:39
    เราได้ หนึ่ง คูณลอกธรรมชาติของ 1
  • 2:39 - 2:44
    ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0 เราเลยได้ 0 ตรงนี้ งั้นนั่นคือ 0
  • 2:44 - 2:47
    ลบ 1 ลบ 0 แล้วนั่นจะเป็น 0 อีกตัว ลบ 0
  • 2:56 - 3:00
    ลอกธรรมชาติของ 1 ซึ่งก็คือ 0 ดังนั้น 0 คูณ 0 ได้ 0
  • 3:00 - 3:01
    แล้วคุณก็ได้แล้ว
  • 3:01 - 3:05
    เราได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้ ที่เราต้องการในกฏของโลปิตาล
  • 3:05 - 3:07
    ถือว่าหากเราหาอนุพันธ์ของมัน และใส่มัน
  • 3:07 - 3:09
    ส่วนอนุพันธ์ของอันนั้น ลิมิตนั้นมีอยู่จริง
  • 3:09 - 3:11
    งั้นลองทำดู
  • 3:11 - 3:15
    นี่จะเท่ากับ หากลิมิตมีจริง นี่จะ
  • 3:15 - 3:19
    เท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1
  • 3:19 - 3:22
    และลองหาอนุพันธ์ในสีม่วง ผมจะ
  • 3:22 - 3:26
    หาอนุพันธ์ของตัวส่วนตรงนี้
  • 3:26 - 3:29
    และสำหรับเทอมแรก แค่ใช้กฏผลคูณ
  • 3:29 - 3:33
    อนุพันธ์ของ x คือหนึ่ง แล้วก็ 1 คูณลอกธรรมชาติ
  • 3:33 - 3:36
    ของ x อนุพันธ์ของเทอมแรก คูณ
  • 3:36 - 3:37
    เทอมที่สอง
  • 3:37 - 3:40
    แล้วเราจะมี บวกอนุพันธ์ของเทอม
  • 3:40 - 3:44
    ที่สอง บวก 1 ส่วน x คูณเทอมแรก
  • 3:44 - 3:45
    มันก็แค่กฏผลคูณ
  • 3:45 - 3:48
    งั้น 1 ส่วน x คูณ x เราก็เห็น ว่ามันคือ 1
  • 3:48 - 3:54
    แล้วเราก็มมีลบ อนุพันธ์ของ x ลบ 1
  • 3:54 - 3:58
    ทีนี้ อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1 ดังนั้นมันก็
  • 3:58 - 4:01
    จะเท่ากับ ลบ 1
  • 4:01 - 4:09
    แล้วก็ ทั้งหมดนั่นส่วนอนุพันธ์ของสิ่งนี้
  • 4:09 - 4:11
    ลองหาอนุพันธ์ของอันนี้ ตรงนี้
  • 4:11 - 4:17
    อนุพันธ์ของเทอมแรก ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1
  • 4:17 - 4:20
    คูณด้วยเทอมที่สอง คุณได้ลอกธรรมชาติของ x
  • 4:20 - 4:24
    แล้วก็บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง อนุพันธ์
  • 4:24 - 4:28
    ของลอกธรรมชาติของ x คือ หนึ่งส่วน x คูณ x ลบ 1
  • 4:28 - 4:32
    ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมันได้หน่อย
  • 4:34 - 4:37
    1 ส่วน x นี่คูณ x นั่นคือ 1
  • 4:37 - 4:39
    เราจะลบมันออกไป
  • 4:39 - 4:41
    นี่หักล้างกันตรงนี้
  • 4:41 - 4:46
    ดังนั้นพจน์นี้ทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น ลิมิต
  • 4:46 - 4:51
    เมื่อเข้าใกล้ 1 ตัวเศษก็แค่ลอกธรรมชาติของ x เขียน
  • 4:51 - 4:57
    ด้วยสีม่วง และตัวส่วนคือลอกธรรมชาติของ
  • 4:57 - 5:04
    x บวก x ลบ 1 ส่วน x
  • 5:04 - 5:05
    ลองแทนค่าลิมิตนี้ดู
  • 5:05 - 5:09
    หากเราให้ x เข้าใกล้หนึ่ง ของ ลอกธรรมชาติของ x
  • 5:09 - 5:14
    นั่นจะทำให้เราได้ ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0
  • 5:14 - 5:20
    และตรงนี้ เราได้ ลอกธรรมชาติอขง 1 ซึ่งเท่ากับ 0
  • 5:20 - 5:28
    แล้วก็บวก 1 ลบ 1 ส่วน บวก 1 ลบ 1 ส่วน 1
  • 5:28 - 5:29
    นั่นก็เท่ากับ 0 อีกตัว
  • 5:29 - 5:30
    1 ลบ 1 ได้ศูนย์
  • 5:30 - 5:31
    คุณจะได้ 0 บวก 0
  • 5:31 - 5:34
    คุณจะได้ 0 ส่วน 0 อีก
  • 5:34 - 5:36
    0 ส่วน 0
  • 5:36 - 5:38
    และอีกครั้ง ลองใช้กฏของโลปิตาล
  • 5:38 - 5:40
    ลองหาอนุพันธ์ของอันนั้น ใส่มันส่วน
  • 5:40 - 5:41
    อนุพันธ์ของอันนั้้น
  • 5:41 - 5:44
    งั้นนี่ หากเราอยากได้ลิมิต ม้นจะ
  • 5:44 - 5:52
    เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของอนุพันธ์
  • 5:52 - 5:56
    ของตัวเศษ 1 ส่วน x ใช่ อนุพันธ์ของ ln ของ
  • 5:56 - 6:00
    x คือ 1/x ส่วนอนุพันธ์ของตัวส่วน
  • 6:00 - 6:01
    และนั่นคืออะไร?
  • 6:01 - 6:07
    อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x คือ 1 ส่วน x บวก
  • 6:07 - 6:10
    อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ส่วน x
  • 6:10 - 6:13
    คุณอาจมองมันอย่างนี้ ว่า 1 ส่วน x คูณ x ลบ 1
  • 6:13 - 6:17
    ทีนี้ อนุพันธ์ของ x กำลังลบ 1 เราก็หา
  • 6:17 - 6:19
    อนุพันธ์ของอันแรก คูณอันที่สอง แล้วก็
  • 6:19 - 6:21
    อนุพันธ์ของอันที่สอง คูณ
  • 6:21 - 6:22
    อันแรก
  • 6:22 - 6:25
    ดังนั้นอนุพันธ์ของเทอมแรก x กำลังลบ 1
  • 6:25 - 6:30
    เท่ากับลบ x กำลังลบ 2 คูณเทอมที่สอง คูณ x
  • 6:30 - 6:35
    ลบ 1 บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง ซึ่งก็คือ
  • 6:35 - 6:40
    1 คูณเทอมแรก บวก 1 ส่วน x
  • 6:40 - 6:45
    นี่จะเท่ากับ ผมมีอะไรสุ่ม ๆ
  • 6:45 - 6:46
    โผล่หน้าคอมพิวเตอร์ผม
  • 6:46 - 6:48
    ขอโทษทีสำหรับเสียงเบา ๆ นั่นหากคุณได้ยินนะ
  • 6:48 - 6:49
    ผมถึงไหนแล้วเนี่ย?
  • 6:49 - 6:51
    โอ้ ลองจัดรูปพวกนี้หน่อย
  • 6:51 - 6:52
    เรากำลังใช้กฏของโลปิตาล
  • 6:52 - 6:58
    นี่จะเท่ากับ ขอผม นี่จะ
  • 6:58 - 7:03
    เท่ากับ หากเราแทนค่า x เท่ากับ 1 ตัวเศษ
  • 7:03 - 7:06
    ก็แค่ 1/1 ซึ่งเท่ากับ 1
  • 7:06 - 7:07
    เราเลยไม่มีทางได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้
  • 7:07 - 7:09
    หรืออย่างน้อยรุป 0/0 อีกแล้ว
  • 7:09 - 7:12
    และตัวส่วนจะเท่ากับ หากคุณหาค่ามันที่ 1
  • 7:12 - 7:18
    นี่คือ 1/1 ซึ่งก็คือ 1 บวก ลบ 1 กำลังลบ 2
  • 7:18 - 7:21
    หรือคุรอาจบอกว่า 1 กำลังลบ 2 ก็แค่ 1 มัน
  • 7:21 - 7:22
    เลยเป็นลบหนึ่ง
  • 7:22 - 7:25
    แต่คุณคูณมันด้วย 1 ลบ 1
  • 7:25 - 7:27
    ก็คือ 0 เทอมนี้ทั้งหมดเลยหักล้างกัน
  • 7:27 - 7:30
    แล้วคุณก็ได้ บวก 1 ส่วน 1 อีกตัว
  • 7:30 - 7:34
    ได้ บวก 1 และนี่จะเท่ากับ 1/2
  • 7:34 - 7:35
    และคุณก็ได้แล้ว
  • 7:35 - 7:38
    การใช้กฏลูกโซ่และขั้นตอนนิดหน่อย เราก็แก้
  • 7:38 - 7:39
    หาอะไรที่อย่างน้อยตอนแรกไม่ได้ดุ
  • 7:39 - 7:40
    เหมือน 0/0
  • 7:40 - 7:44
    เราบวก 2 เทอมด้วยกัน ได้ 0/0 หาอนุพันธ์ของทั้ง
  • 7:44 - 7:46
    เศษและส่วน 2 ครั้งรวด
  • 7:46 - 7:49
    และได้ลิมิตมานที่สุด
  • 7:49 - 7:49
    -
Title:
L'Hopital's Rule Example 3
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:50

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.