0:00:00.510,0:00:08.060
เราอยากหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ

0:00:08.060,0:00:14.570
พจน์ x ส่วน x ลบ 1 ลบ 1 ส่วน

0:00:14.570,0:00:17.930
ลอกธรรมชาติของ x

0:00:17.930,0:00:19.900
งั้นลองดูก่อนว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรา

0:00:19.900,0:00:21.230
พยายามแทนค่า 1

0:00:21.230,0:00:24.630
เกิดอะไรขึ้นหากเราแทนค่าพจน์นี้ด้วย 1?

0:00:24.630,0:00:30.050
ทีนี้ เราจะได้ หนึ่งตรงนี้ ส่วน 1 ลบ 1

0:00:30.050,0:00:35.040
และนั่นจะได้อะไรสักอย่างเช่น 1 ส่วน 0 ลบ 1

0:00:35.040,0:00:37.520
ส่วน แล้วลอกธรรมชาติของ 1 คืออะไร?

0:00:37.520,0:00:40.250
e ยกกำลังอะไรได้หนึ่ง?

0:00:40.250,0:00:43.140
อะไรก็ตามยกกำลังศูนย์ได้ 1 ดังนั้น e

0:00:43.140,0:00:45.420
ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับ 1 ดังนั้นลอก

0:00:45.420,0:00:49.350
ธรรมชาติของ 1 จะเท่ากับ 0

0:00:49.350,0:00:51.820
เราเลยได้เลขที่นิยามไม่ได้ 1 ส่วน

0:00:51.820,0:00:54.300
0 ลบ 1 ส่วน 0

0:00:54.300,0:00:56.370
มันเป็นรูปที่นิยามไม่ได้แถมน่าเกลียดอีก

0:00:56.370,0:00:58.820
แต่มันไม่ใช่รูปแบบที่ยังไม่สรุปไม่ได้ หากเรามอง

0:00:58.820,0:00:59.880
ตามกฏของโลปิตาล

0:00:59.880,0:01:02.625
เรายังไม่ได้ 0 ส่วน 0 เราไม่ได้

0:01:02.625,0:01:03.750
อนันต์ส่่วนอนันต์

0:01:03.750,0:01:06.640
คุณอาจบอกว่า เฮ้ โอเค นี่ไม่ใช่โจทย์ที่ใช้

0:01:06.640,0:01:07.150
กฏของโลปิตาล

0:01:07.150,0:01:09.910
เราต้องหาลิมิตนี้ด้วยวิธีอื่น

0:01:09.910,0:01:13.210
และผมก็บอกว่า อย่าเพิ่งยอมแพ้สิ

0:01:13.210,0:01:16.880
บางทีเราอาจจัดรูปด้วยเลขคณิตสักทาง

0:01:16.880,0:01:20.380
โดยมันจะกลายเป็นรูปที่ยังสรุปไม่ได้แบบโลปิตาล แล้ว

0:01:20.380,0:01:23.040
เราค่อยใช้กฏ

0:01:23.040,0:01:24.790
เพื่อทำอย่างนั้น ลองดู เกิดอะไรขึ้นหากเรา

0:01:24.790,0:01:26.470
บวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกัน?

0:01:26.470,0:01:29.865
หากเรารวมมัน เทอมนี้ก็ หากเรารวมัน มันจะ

0:01:29.865,0:01:32.160
เป็น ทีนี้ ตัวส่วนร่วม จะเป็น x

0:01:32.160,0:01:36.850
ลบ 1 คูณลอกธรรมชาติของ x

0:01:36.850,0:01:38.740
ผมแค่คูณตัวส่วน

0:01:38.740,0:01:43.420
แล้วตัวเศษจะเป็น ทีนี้ หากผม

0:01:43.420,0:01:46.436
คูณเทอมทั้งหมดนี่ด้วยลอกธรรมชาติของ x มันจะ

0:01:46.436,0:01:51.317
เท่ากับ x ลอกธรรมชาติของ x แล้วก็เทอมทั้งหมดนี่ที่ผม

0:01:51.317,0:01:52.930
จะคูณมันด้วย x ลบหนึ่ง

0:01:52.930,0:01:54.955
ดังนั้น ลบ x ลบ 1

0:01:54.955,0:01:58.510
และคุณสามารถแยกมันออกและเห็นว่าพจน์นี้

0:02:00.540,0:02:02.870
กับพจน์นี้เหมือนกัน

0:02:10.310,0:02:12.220
ขอผมลบมันไปนะ

0:02:12.220,0:02:18.430
แล้วนี่ตรงนี้ ก็เหมือนกับ 1 ส่วนลอกธรรมชาติ

0:02:18.430,0:02:21.510
ของ x เพราะ x ลบ 1 ตัดกัน

0:02:21.510,0:02:23.630
หวังว่าคุณคงเห็น ที่ผมทำก็แค่ผมบวก

0:02:23.630,0:02:25.120
สองพจน์นี้เข้าด้วยกัน

0:02:25.120,0:02:29.110
จากนั้น ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อผมใส่ลิมิต

0:02:29.110,0:02:31.600
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของสิ่งนี้

0:02:31.600,0:02:33.010
เพราะนี่มันเหมือนกัน

0:02:33.010,0:02:35.320
เราได้อะไรที่น่าสนใจไหม?

0:02:35.320,0:02:36.360
แล้วเรามีอะไรตรงนี้?

0:02:36.360,0:02:38.810
เราได้ หนึ่ง คูณลอกธรรมชาติของ 1

0:02:38.810,0:02:43.650
ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0 เราเลยได้ 0 ตรงนี้ งั้นนั่นคือ 0

0:02:43.650,0:02:47.200
ลบ 1 ลบ 0 แล้วนั่นจะเป็น 0 อีกตัว ลบ 0

0:02:55.570,0:03:00.100
ลอกธรรมชาติของ 1 ซึ่งก็คือ 0 ดังนั้น 0 คูณ 0 ได้ 0

0:03:00.100,0:03:00.960
แล้วคุณก็ได้แล้ว

0:03:00.960,0:03:04.940
เราได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้ ที่เราต้องการในกฏของโลปิตาล

0:03:04.940,0:03:07.110
ถือว่าหากเราหาอนุพันธ์ของมัน และใส่มัน

0:03:07.110,0:03:09.360
ส่วนอนุพันธ์ของอันนั้น ลิมิตนั้นมีอยู่จริง

0:03:09.360,0:03:11.130
งั้นลองทำดู

0:03:11.130,0:03:15.340
นี่จะเท่ากับ หากลิมิตมีจริง นี่จะ

0:03:15.340,0:03:19.200
เท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1

0:03:19.200,0:03:22.490
และลองหาอนุพันธ์ในสีม่วง ผมจะ

0:03:22.490,0:03:26.190
หาอนุพันธ์ของตัวส่วนตรงนี้

0:03:26.190,0:03:28.590
และสำหรับเทอมแรก แค่ใช้กฏผลคูณ

0:03:28.590,0:03:32.970
อนุพันธ์ของ x คือหนึ่ง แล้วก็ 1 คูณลอกธรรมชาติ

0:03:32.970,0:03:35.920
ของ x อนุพันธ์ของเทอมแรก คูณ

0:03:35.920,0:03:36.930
เทอมที่สอง

0:03:36.930,0:03:39.570
แล้วเราจะมี บวกอนุพันธ์ของเทอม

0:03:39.570,0:03:43.820
ที่สอง บวก 1 ส่วน x คูณเทอมแรก

0:03:43.820,0:03:45.430
มันก็แค่กฏผลคูณ

0:03:45.430,0:03:47.920
งั้น 1 ส่วน x คูณ x เราก็เห็น ว่ามันคือ 1

0:03:47.920,0:03:54.390
แล้วเราก็มมีลบ อนุพันธ์ของ x ลบ 1

0:03:54.390,0:03:58.450
ทีนี้ อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1 ดังนั้นมันก็

0:03:58.450,0:04:01.090
จะเท่ากับ ลบ 1

0:04:01.090,0:04:08.710
แล้วก็ ทั้งหมดนั่นส่วนอนุพันธ์ของสิ่งนี้

0:04:08.710,0:04:11.340
ลองหาอนุพันธ์ของอันนี้ ตรงนี้

0:04:11.340,0:04:16.600
อนุพันธ์ของเทอมแรก ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1

0:04:16.600,0:04:20.330
คูณด้วยเทอมที่สอง คุณได้ลอกธรรมชาติของ x

0:04:20.330,0:04:23.520
แล้วก็บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง อนุพันธ์

0:04:23.520,0:04:28.350
ของลอกธรรมชาติของ x คือ หนึ่งส่วน x คูณ x ลบ 1

0:04:28.350,0:04:32.140
ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมันได้หน่อย

0:04:34.240,0:04:37.270
1 ส่วน x นี่คูณ x นั่นคือ 1

0:04:37.270,0:04:38.580
เราจะลบมันออกไป

0:04:38.580,0:04:40.910
นี่หักล้างกันตรงนี้

0:04:40.910,0:04:45.710
ดังนั้นพจน์นี้ทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น ลิมิต

0:04:45.710,0:04:51.260
เมื่อเข้าใกล้ 1 ตัวเศษก็แค่ลอกธรรมชาติของ x เขียน

0:04:51.260,0:04:57.160
ด้วยสีม่วง และตัวส่วนคือลอกธรรมชาติของ

0:04:57.160,0:05:03.600
x บวก x ลบ 1 ส่วน x

0:05:03.600,0:05:05.250
ลองแทนค่าลิมิตนี้ดู

0:05:05.250,0:05:09.060
หากเราให้ x เข้าใกล้หนึ่ง ของ ลอกธรรมชาติของ x

0:05:09.060,0:05:13.640
นั่นจะทำให้เราได้ ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0

0:05:13.640,0:05:19.720
และตรงนี้ เราได้ ลอกธรรมชาติอขง 1 ซึ่งเท่ากับ 0

0:05:19.720,0:05:27.920
แล้วก็บวก 1 ลบ 1 ส่วน บวก 1 ลบ 1 ส่วน 1

0:05:27.920,0:05:28.900
นั่นก็เท่ากับ 0 อีกตัว

0:05:28.900,0:05:29.810
1 ลบ 1 ได้ศูนย์

0:05:29.810,0:05:30.680
คุณจะได้ 0 บวก 0

0:05:30.680,0:05:34.140
คุณจะได้ 0 ส่วน 0 อีก

0:05:34.140,0:05:35.740
0 ส่วน 0

0:05:35.740,0:05:38.230
และอีกครั้ง ลองใช้กฏของโลปิตาล

0:05:38.230,0:05:39.890
ลองหาอนุพันธ์ของอันนั้น ใส่มันส่วน

0:05:39.890,0:05:41.240
อนุพันธ์ของอันนั้้น

0:05:41.240,0:05:44.210
งั้นนี่ หากเราอยากได้ลิมิต ม้นจะ

0:05:44.210,0:05:51.950
เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของอนุพันธ์

0:05:51.950,0:05:56.320
ของตัวเศษ 1 ส่วน x ใช่ อนุพันธ์ของ ln ของ

0:05:56.320,0:06:00.340
x คือ 1/x ส่วนอนุพันธ์ของตัวส่วน

0:06:00.340,0:06:01.160
และนั่นคืออะไร?

0:06:01.160,0:06:06.950
อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x คือ 1 ส่วน x บวก

0:06:06.950,0:06:09.590
อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ส่วน x

0:06:09.590,0:06:13.120
คุณอาจมองมันอย่างนี้ ว่า 1 ส่วน x คูณ x ลบ 1

0:06:13.120,0:06:16.730
ทีนี้ อนุพันธ์ของ x กำลังลบ 1 เราก็หา

0:06:16.730,0:06:19.280
อนุพันธ์ของอันแรก คูณอันที่สอง แล้วก็

0:06:19.280,0:06:20.670
อนุพันธ์ของอันที่สอง คูณ

0:06:20.670,0:06:21.610
อันแรก

0:06:21.610,0:06:24.980
ดังนั้นอนุพันธ์ของเทอมแรก x กำลังลบ 1

0:06:24.980,0:06:30.030
เท่ากับลบ x กำลังลบ 2 คูณเทอมที่สอง คูณ x

0:06:30.030,0:06:34.830
ลบ 1 บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง ซึ่งก็คือ

0:06:34.830,0:06:39.780
1 คูณเทอมแรก บวก 1 ส่วน x

0:06:39.780,0:06:45.060
นี่จะเท่ากับ ผมมีอะไรสุ่ม ๆ

0:06:45.060,0:06:45.860
โผล่หน้าคอมพิวเตอร์ผม

0:06:45.860,0:06:47.730
ขอโทษทีสำหรับเสียงเบา ๆ นั่นหากคุณได้ยินนะ

0:06:47.730,0:06:48.780
ผมถึงไหนแล้วเนี่ย?

0:06:48.780,0:06:50.710
โอ้ ลองจัดรูปพวกนี้หน่อย

0:06:50.710,0:06:52.210
เรากำลังใช้กฏของโลปิตาล

0:06:52.210,0:06:58.010
นี่จะเท่ากับ ขอผม นี่จะ

0:06:58.010,0:07:02.870
เท่ากับ หากเราแทนค่า x เท่ากับ 1 ตัวเศษ

0:07:02.870,0:07:05.610
ก็แค่ 1/1 ซึ่งเท่ากับ 1

0:07:05.610,0:07:07.406
เราเลยไม่มีทางได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้

0:07:07.406,0:07:09.480
หรืออย่างน้อยรุป 0/0 อีกแล้ว

0:07:09.480,0:07:12.080
และตัวส่วนจะเท่ากับ หากคุณหาค่ามันที่ 1

0:07:12.080,0:07:18.180
นี่คือ 1/1 ซึ่งก็คือ 1 บวก ลบ 1 กำลังลบ 2

0:07:18.180,0:07:21.490
หรือคุรอาจบอกว่า 1 กำลังลบ 2 ก็แค่ 1 มัน

0:07:21.490,0:07:22.445
เลยเป็นลบหนึ่ง

0:07:22.445,0:07:24.820
แต่คุณคูณมันด้วย 1 ลบ 1

0:07:24.820,0:07:27.100
ก็คือ 0 เทอมนี้ทั้งหมดเลยหักล้างกัน

0:07:27.100,0:07:29.890
แล้วคุณก็ได้ บวก 1 ส่วน 1 อีกตัว

0:07:29.890,0:07:34.090
ได้ บวก 1 และนี่จะเท่ากับ 1/2

0:07:34.090,0:07:34.990
และคุณก็ได้แล้ว

0:07:34.990,0:07:37.620
การใช้กฏลูกโซ่และขั้นตอนนิดหน่อย เราก็แก้

0:07:37.620,0:07:39.050
หาอะไรที่อย่างน้อยตอนแรกไม่ได้ดุ

0:07:39.050,0:07:40.260
เหมือน 0/0

0:07:40.260,0:07:44.110
เราบวก 2 เทอมด้วยกัน ได้ 0/0 หาอนุพันธ์ของทั้ง

0:07:44.110,0:07:46.460
เศษและส่วน 2 ครั้งรวด

0:07:46.460,0:07:49.180
และได้ลิมิตมานที่สุด

0:07:49.180,0:07:49.333
-