เราอยากหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ
พจน์ x ส่วน x ลบ 1 ลบ 1 ส่วน
ลอกธรรมชาติของ x
งั้นลองดูก่อนว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรา
พยายามแทนค่า 1
เกิดอะไรขึ้นหากเราแทนค่าพจน์นี้ด้วย 1?
ทีนี้ เราจะได้ หนึ่งตรงนี้ ส่วน 1 ลบ 1
และนั่นจะได้อะไรสักอย่างเช่น 1 ส่วน 0 ลบ 1
ส่วน แล้วลอกธรรมชาติของ 1 คืออะไร?
e ยกกำลังอะไรได้หนึ่ง?
อะไรก็ตามยกกำลังศูนย์ได้ 1 ดังนั้น e
ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับ 1 ดังนั้นลอก
ธรรมชาติของ 1 จะเท่ากับ 0
เราเลยได้เลขที่นิยามไม่ได้ 1 ส่วน
0 ลบ 1 ส่วน 0
มันเป็นรูปที่นิยามไม่ได้แถมน่าเกลียดอีก
แต่มันไม่ใช่รูปแบบที่ยังไม่สรุปไม่ได้ หากเรามอง
ตามกฏของโลปิตาล
เรายังไม่ได้ 0 ส่วน 0 เราไม่ได้
อนันต์ส่่วนอนันต์
คุณอาจบอกว่า เฮ้ โอเค นี่ไม่ใช่โจทย์ที่ใช้
กฏของโลปิตาล
เราต้องหาลิมิตนี้ด้วยวิธีอื่น
และผมก็บอกว่า อย่าเพิ่งยอมแพ้สิ
บางทีเราอาจจัดรูปด้วยเลขคณิตสักทาง
โดยมันจะกลายเป็นรูปที่ยังสรุปไม่ได้แบบโลปิตาล แล้ว
เราค่อยใช้กฏ
เพื่อทำอย่างนั้น ลองดู เกิดอะไรขึ้นหากเรา
บวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกัน?
หากเรารวมมัน เทอมนี้ก็ หากเรารวมัน มันจะ
เป็น ทีนี้ ตัวส่วนร่วม จะเป็น x
ลบ 1 คูณลอกธรรมชาติของ x
ผมแค่คูณตัวส่วน
แล้วตัวเศษจะเป็น ทีนี้ หากผม
คูณเทอมทั้งหมดนี่ด้วยลอกธรรมชาติของ x มันจะ
เท่ากับ x ลอกธรรมชาติของ x แล้วก็เทอมทั้งหมดนี่ที่ผม
จะคูณมันด้วย x ลบหนึ่ง
ดังนั้น ลบ x ลบ 1
และคุณสามารถแยกมันออกและเห็นว่าพจน์นี้
กับพจน์นี้เหมือนกัน
ขอผมลบมันไปนะ
แล้วนี่ตรงนี้ ก็เหมือนกับ 1 ส่วนลอกธรรมชาติ
ของ x เพราะ x ลบ 1 ตัดกัน
หวังว่าคุณคงเห็น ที่ผมทำก็แค่ผมบวก
สองพจน์นี้เข้าด้วยกัน
จากนั้น ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อผมใส่ลิมิต
เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของสิ่งนี้
เพราะนี่มันเหมือนกัน
เราได้อะไรที่น่าสนใจไหม?
แล้วเรามีอะไรตรงนี้?
เราได้ หนึ่ง คูณลอกธรรมชาติของ 1
ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0 เราเลยได้ 0 ตรงนี้ งั้นนั่นคือ 0
ลบ 1 ลบ 0 แล้วนั่นจะเป็น 0 อีกตัว ลบ 0
ลอกธรรมชาติของ 1 ซึ่งก็คือ 0 ดังนั้น 0 คูณ 0 ได้ 0
แล้วคุณก็ได้แล้ว
เราได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้ ที่เราต้องการในกฏของโลปิตาล
ถือว่าหากเราหาอนุพันธ์ของมัน และใส่มัน
ส่วนอนุพันธ์ของอันนั้น ลิมิตนั้นมีอยู่จริง
งั้นลองทำดู
นี่จะเท่ากับ หากลิมิตมีจริง นี่จะ
เท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1
และลองหาอนุพันธ์ในสีม่วง ผมจะ
หาอนุพันธ์ของตัวส่วนตรงนี้
และสำหรับเทอมแรก แค่ใช้กฏผลคูณ
อนุพันธ์ของ x คือหนึ่ง แล้วก็ 1 คูณลอกธรรมชาติ
ของ x อนุพันธ์ของเทอมแรก คูณ
เทอมที่สอง
แล้วเราจะมี บวกอนุพันธ์ของเทอม
ที่สอง บวก 1 ส่วน x คูณเทอมแรก
มันก็แค่กฏผลคูณ
งั้น 1 ส่วน x คูณ x เราก็เห็น ว่ามันคือ 1
แล้วเราก็มมีลบ อนุพันธ์ของ x ลบ 1
ทีนี้ อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1 ดังนั้นมันก็
จะเท่ากับ ลบ 1
แล้วก็ ทั้งหมดนั่นส่วนอนุพันธ์ของสิ่งนี้
ลองหาอนุพันธ์ของอันนี้ ตรงนี้
อนุพันธ์ของเทอมแรก ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1
คูณด้วยเทอมที่สอง คุณได้ลอกธรรมชาติของ x
แล้วก็บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง อนุพันธ์
ของลอกธรรมชาติของ x คือ หนึ่งส่วน x คูณ x ลบ 1
ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมันได้หน่อย
1 ส่วน x นี่คูณ x นั่นคือ 1
เราจะลบมันออกไป
นี่หักล้างกันตรงนี้
ดังนั้นพจน์นี้ทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น ลิมิต
เมื่อเข้าใกล้ 1 ตัวเศษก็แค่ลอกธรรมชาติของ x เขียน
ด้วยสีม่วง และตัวส่วนคือลอกธรรมชาติของ
x บวก x ลบ 1 ส่วน x
ลองแทนค่าลิมิตนี้ดู
หากเราให้ x เข้าใกล้หนึ่ง ของ ลอกธรรมชาติของ x
นั่นจะทำให้เราได้ ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0
และตรงนี้ เราได้ ลอกธรรมชาติอขง 1 ซึ่งเท่ากับ 0
แล้วก็บวก 1 ลบ 1 ส่วน บวก 1 ลบ 1 ส่วน 1
นั่นก็เท่ากับ 0 อีกตัว
1 ลบ 1 ได้ศูนย์
คุณจะได้ 0 บวก 0
คุณจะได้ 0 ส่วน 0 อีก
0 ส่วน 0
และอีกครั้ง ลองใช้กฏของโลปิตาล
ลองหาอนุพันธ์ของอันนั้น ใส่มันส่วน
อนุพันธ์ของอันนั้้น
งั้นนี่ หากเราอยากได้ลิมิต ม้นจะ
เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของอนุพันธ์
ของตัวเศษ 1 ส่วน x ใช่ อนุพันธ์ของ ln ของ
x คือ 1/x ส่วนอนุพันธ์ของตัวส่วน
และนั่นคืออะไร?
อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x คือ 1 ส่วน x บวก
อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ส่วน x
คุณอาจมองมันอย่างนี้ ว่า 1 ส่วน x คูณ x ลบ 1
ทีนี้ อนุพันธ์ของ x กำลังลบ 1 เราก็หา
อนุพันธ์ของอันแรก คูณอันที่สอง แล้วก็
อนุพันธ์ของอันที่สอง คูณ
อันแรก
ดังนั้นอนุพันธ์ของเทอมแรก x กำลังลบ 1
เท่ากับลบ x กำลังลบ 2 คูณเทอมที่สอง คูณ x
ลบ 1 บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง ซึ่งก็คือ
1 คูณเทอมแรก บวก 1 ส่วน x
นี่จะเท่ากับ ผมมีอะไรสุ่ม ๆ
โผล่หน้าคอมพิวเตอร์ผม
ขอโทษทีสำหรับเสียงเบา ๆ นั่นหากคุณได้ยินนะ
ผมถึงไหนแล้วเนี่ย?
โอ้ ลองจัดรูปพวกนี้หน่อย
เรากำลังใช้กฏของโลปิตาล
นี่จะเท่ากับ ขอผม นี่จะ
เท่ากับ หากเราแทนค่า x เท่ากับ 1 ตัวเศษ
ก็แค่ 1/1 ซึ่งเท่ากับ 1
เราเลยไม่มีทางได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้
หรืออย่างน้อยรุป 0/0 อีกแล้ว
และตัวส่วนจะเท่ากับ หากคุณหาค่ามันที่ 1
นี่คือ 1/1 ซึ่งก็คือ 1 บวก ลบ 1 กำลังลบ 2
หรือคุรอาจบอกว่า 1 กำลังลบ 2 ก็แค่ 1 มัน
เลยเป็นลบหนึ่ง
แต่คุณคูณมันด้วย 1 ลบ 1
ก็คือ 0 เทอมนี้ทั้งหมดเลยหักล้างกัน
แล้วคุณก็ได้ บวก 1 ส่วน 1 อีกตัว
ได้ บวก 1 และนี่จะเท่ากับ 1/2
และคุณก็ได้แล้ว
การใช้กฏลูกโซ่และขั้นตอนนิดหน่อย เราก็แก้
หาอะไรที่อย่างน้อยตอนแรกไม่ได้ดุ
เหมือน 0/0
เราบวก 2 เทอมด้วยกัน ได้ 0/0 หาอนุพันธ์ของทั้ง
เศษและส่วน 2 ครั้งรวด
และได้ลิมิตมานที่สุด
-