เราอยากหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ

พจน์ x ส่วน x ลบ 1 ลบ 1 ส่วน

ลอกธรรมชาติของ x

งั้นลองดูก่อนว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรา

พยายามแทนค่า 1

เกิดอะไรขึ้นหากเราแทนค่าพจน์นี้ด้วย 1?

ทีนี้ เราจะได้ หนึ่งตรงนี้ ส่วน 1 ลบ 1

และนั่นจะได้อะไรสักอย่างเช่น 1 ส่วน 0 ลบ 1

ส่วน แล้วลอกธรรมชาติของ 1 คืออะไร?

e ยกกำลังอะไรได้หนึ่ง?

อะไรก็ตามยกกำลังศูนย์ได้ 1 ดังนั้น e

ยกกำลังศูนย์จะเท่ากับ 1 ดังนั้นลอก

ธรรมชาติของ 1 จะเท่ากับ 0

เราเลยได้เลขที่นิยามไม่ได้ 1 ส่วน

0 ลบ 1 ส่วน 0

มันเป็นรูปที่นิยามไม่ได้แถมน่าเกลียดอีก

แต่มันไม่ใช่รูปแบบที่ยังไม่สรุปไม่ได้ หากเรามอง

ตามกฏของโลปิตาล

เรายังไม่ได้ 0 ส่วน 0 เราไม่ได้

อนันต์ส่่วนอนันต์

คุณอาจบอกว่า เฮ้ โอเค นี่ไม่ใช่โจทย์ที่ใช้

กฏของโลปิตาล

เราต้องหาลิมิตนี้ด้วยวิธีอื่น

และผมก็บอกว่า อย่าเพิ่งยอมแพ้สิ

บางทีเราอาจจัดรูปด้วยเลขคณิตสักทาง

โดยมันจะกลายเป็นรูปที่ยังสรุปไม่ได้แบบโลปิตาล แล้ว

เราค่อยใช้กฏ

เพื่อทำอย่างนั้น ลองดู เกิดอะไรขึ้นหากเรา

บวกสองเทอมนี้เข้าด้วยกัน?

หากเรารวมมัน เทอมนี้ก็ หากเรารวมัน มันจะ

เป็น ทีนี้ ตัวส่วนร่วม จะเป็น x

ลบ 1 คูณลอกธรรมชาติของ x

ผมแค่คูณตัวส่วน

แล้วตัวเศษจะเป็น ทีนี้ หากผม

คูณเทอมทั้งหมดนี่ด้วยลอกธรรมชาติของ x มันจะ

เท่ากับ x ลอกธรรมชาติของ x แล้วก็เทอมทั้งหมดนี่ที่ผม

จะคูณมันด้วย x ลบหนึ่ง

ดังนั้น ลบ x ลบ 1

และคุณสามารถแยกมันออกและเห็นว่าพจน์นี้

กับพจน์นี้เหมือนกัน

ขอผมลบมันไปนะ

แล้วนี่ตรงนี้ ก็เหมือนกับ 1 ส่วนลอกธรรมชาติ

ของ x เพราะ x ลบ 1 ตัดกัน

หวังว่าคุณคงเห็น ที่ผมทำก็แค่ผมบวก

สองพจน์นี้เข้าด้วยกัน

จากนั้น ลองดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อผมใส่ลิมิต

เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของสิ่งนี้

เพราะนี่มันเหมือนกัน

เราได้อะไรที่น่าสนใจไหม?

แล้วเรามีอะไรตรงนี้?

เราได้ หนึ่ง คูณลอกธรรมชาติของ 1

ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0 เราเลยได้ 0 ตรงนี้ งั้นนั่นคือ 0

ลบ 1 ลบ 0 แล้วนั่นจะเป็น 0 อีกตัว ลบ 0

ลอกธรรมชาติของ 1 ซึ่งก็คือ 0 ดังนั้น 0 คูณ 0 ได้ 0

แล้วคุณก็ได้แล้ว

เราได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้ ที่เราต้องการในกฏของโลปิตาล

ถือว่าหากเราหาอนุพันธ์ของมัน และใส่มัน

ส่วนอนุพันธ์ของอันนั้น ลิมิตนั้นมีอยู่จริง

งั้นลองทำดู

นี่จะเท่ากับ หากลิมิตมีจริง นี่จะ

เท่ากับ ลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1

และลองหาอนุพันธ์ในสีม่วง ผมจะ

หาอนุพันธ์ของตัวส่วนตรงนี้

และสำหรับเทอมแรก แค่ใช้กฏผลคูณ

อนุพันธ์ของ x คือหนึ่ง แล้วก็ 1 คูณลอกธรรมชาติ

ของ x อนุพันธ์ของเทอมแรก คูณ

เทอมที่สอง

แล้วเราจะมี บวกอนุพันธ์ของเทอม

ที่สอง บวก 1 ส่วน x คูณเทอมแรก

มันก็แค่กฏผลคูณ

งั้น 1 ส่วน x คูณ x เราก็เห็น ว่ามันคือ 1

แล้วเราก็มมีลบ อนุพันธ์ของ x ลบ 1

ทีนี้ อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1 ดังนั้นมันก็

จะเท่ากับ ลบ 1

แล้วก็ ทั้งหมดนั่นส่วนอนุพันธ์ของสิ่งนี้

ลองหาอนุพันธ์ของอันนี้ ตรงนี้

อนุพันธ์ของเทอมแรก ของ x ลบ 1 ก็แค่ 1

คูณด้วยเทอมที่สอง คุณได้ลอกธรรมชาติของ x

แล้วก็บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง อนุพันธ์

ของลอกธรรมชาติของ x คือ หนึ่งส่วน x คูณ x ลบ 1

ผมว่าคุณสามารถจัดรูปมันได้หน่อย

1 ส่วน x นี่คูณ x นั่นคือ 1

เราจะลบมันออกไป

นี่หักล้างกันตรงนี้

ดังนั้นพจน์นี้ทั้งหมดสามารถเขียนใหม่เป็น ลิมิต

เมื่อเข้าใกล้ 1 ตัวเศษก็แค่ลอกธรรมชาติของ x เขียน

ด้วยสีม่วง และตัวส่วนคือลอกธรรมชาติของ

x บวก x ลบ 1 ส่วน x

ลองแทนค่าลิมิตนี้ดู

หากเราให้ x เข้าใกล้หนึ่ง ของ ลอกธรรมชาติของ x

นั่นจะทำให้เราได้ ลอกธรรมชาติของ 1 คือ 0

และตรงนี้ เราได้ ลอกธรรมชาติอขง 1 ซึ่งเท่ากับ 0

แล้วก็บวก 1 ลบ 1 ส่วน บวก 1 ลบ 1 ส่วน 1

นั่นก็เท่ากับ 0 อีกตัว

1 ลบ 1 ได้ศูนย์

คุณจะได้ 0 บวก 0

คุณจะได้ 0 ส่วน 0 อีก

0 ส่วน 0

และอีกครั้ง ลองใช้กฏของโลปิตาล

ลองหาอนุพันธ์ของอันนั้น ใส่มันส่วน

อนุพันธ์ของอันนั้้น

งั้นนี่ หากเราอยากได้ลิมิต ม้นจะ

เท่ากับลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของอนุพันธ์

ของตัวเศษ 1 ส่วน x ใช่ อนุพันธ์ของ ln ของ

x คือ 1/x ส่วนอนุพันธ์ของตัวส่วน

และนั่นคืออะไร?

อนุพันธ์ของลอกธรรมชาติของ x คือ 1 ส่วน x บวก

อนุพันธ์ของ x ลบ 1 ส่วน x

คุณอาจมองมันอย่างนี้ ว่า 1 ส่วน x คูณ x ลบ 1

ทีนี้ อนุพันธ์ของ x กำลังลบ 1 เราก็หา

อนุพันธ์ของอันแรก คูณอันที่สอง แล้วก็

อนุพันธ์ของอันที่สอง คูณ

อันแรก

ดังนั้นอนุพันธ์ของเทอมแรก x กำลังลบ 1

เท่ากับลบ x กำลังลบ 2 คูณเทอมที่สอง คูณ x

ลบ 1 บวกอนุพันธ์ของเทอมที่สอง ซึ่งก็คือ

1 คูณเทอมแรก บวก 1 ส่วน x

นี่จะเท่ากับ ผมมีอะไรสุ่ม ๆ

โผล่หน้าคอมพิวเตอร์ผม

ขอโทษทีสำหรับเสียงเบา ๆ นั่นหากคุณได้ยินนะ

ผมถึงไหนแล้วเนี่ย?

โอ้ ลองจัดรูปพวกนี้หน่อย

เรากำลังใช้กฏของโลปิตาล

นี่จะเท่ากับ ขอผม นี่จะ

เท่ากับ หากเราแทนค่า x เท่ากับ 1 ตัวเศษ

ก็แค่ 1/1 ซึ่งเท่ากับ 1

เราเลยไม่มีทางได้รูปที่ยังสรุปไม่ได้

หรืออย่างน้อยรุป 0/0 อีกแล้ว

และตัวส่วนจะเท่ากับ หากคุณหาค่ามันที่ 1

นี่คือ 1/1 ซึ่งก็คือ 1 บวก ลบ 1 กำลังลบ 2

หรือคุรอาจบอกว่า 1 กำลังลบ 2 ก็แค่ 1 มัน

เลยเป็นลบหนึ่ง

แต่คุณคูณมันด้วย 1 ลบ 1

ก็คือ 0 เทอมนี้ทั้งหมดเลยหักล้างกัน

แล้วคุณก็ได้ บวก 1 ส่วน 1 อีกตัว

ได้ บวก 1 และนี่จะเท่ากับ 1/2

และคุณก็ได้แล้ว

การใช้กฏลูกโซ่และขั้นตอนนิดหน่อย เราก็แก้

หาอะไรที่อย่างน้อยตอนแรกไม่ได้ดุ

เหมือน 0/0

เราบวก 2 เทอมด้วยกัน ได้ 0/0 หาอนุพันธ์ของทั้ง

เศษและส่วน 2 ครั้งรวด

และได้ลิมิตมานที่สุด

-