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Queremos encontrar el límite cuando x tiende a 1 de la
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expresión x entre (x-1) menos 1 sobre el
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logaritmo natural de x.
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Tan sólo veamos lo que sucede cuando
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intentemos reemplazar el 1.
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¿Qué sucede si evaluamos esta expresión en 1?
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Pues bien, vamos a conseguir un 1 aquí, sobre 1 menos 1.
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Así que vamos a conseguir algo parecido a un 1 entre 0, menos 1
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entre, ¿cuál es el logaritmo natural de 1?
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¿e elevado a qué potencia es igual a uno?
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Pues bien, cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1, entonces e elevado
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a la potencia 0 va a ser igual a 1, entonces el logaritmo natural
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de 1 va a ser 0.
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Así obtenemos la extraña e indefinida expresión 1 entre
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0 menos 1 entre 0.
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Es esta forma indefinida de extraño aspecto.
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Pero no es de la forma indeterminada que hemos analizado
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para la regla de l'Hopital.
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No estamos obteniendo un 0 entre 0, no estamos obteniendo un
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infinito sobre infinito.
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Por lo que se podría decir, bueno, OK, esto no es un problema de regla de l'Hopital.
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Vamos a tener que averiguar este límite de alguna otra manera.
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Y yo diría no renuncies aún!
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Quizás podemos manipular esto algebraicamente de alguna forma para que
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nos diera la forma indeterminada de l'Hopital y luego
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podríamos sólo aplicar la regla.
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Y para hacerlo, sólo lo veamos, ¿qué sucede si
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sumamos estas dos expresiones?
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Así que si las sumamos, esta expresión, si la sumamos
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será, pues, el denominador común va a ser x
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menos 1 por el logaritmo natural de x.
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sólo he multiplicado los denominadores.
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Y luego el numerador va ser, bueno, si multiplico
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todo este término por el logaritmo natural de x, por lo que
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será x logaritmo natural de x y luego todo este término lo voy
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a multiplicar por x menos 1.
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Entonces menos x menos 1.
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Pueden separar esta expresión
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y ver que esta expresión y esta otra expresión son lo mismo.
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Esta de aquí,
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esta de acá
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es lo mismo que x entre x-1
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porque los logaritmos naturales de x se cancelan
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Permítanme deshacerme de esto.
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Y entonces esto de aquí es lo mismo que 1 sobre
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el logaritmo natural de x, porque se cancelan los x menos 1.
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Así que esperemos te das cuenta, todo lo que hice es agregar
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estas dos expresiones.
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Así que dado que vamos a ver qué pasa si tomo el límite como
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x acerca a 1 de esta cosa.
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Porque son la misma cosa.
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¿Obtenemos algo más interesante?
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¿Así que qué tenemos aquí?
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Tenemos una veces el registro natural de 1.
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El registro natural de 1 es 0, así que tenemos 0 aquí, así es un 0.
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Por lo tanto menos 1 menos 0, va a ser otro 0, menos 0.
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el registro natural de 1, que es 0, 0 veces 0, que es 0.
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Y ahí lo tienen.
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Tenemos forma indeterminada que necesitamos para la regla de l'Hopital,
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Suponiendo que si tomamos la derivada de y ponerlo
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sobre el derivado de ello, que ese límite existe.
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Así que vamos a intentar hacerlo.
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Así que esto va a ser igual, si el límite existe, esto
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va a ser igual al límite cuando x aproxima 1.
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Y tomemos la derivada en magenta, voy a tomar
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la derivada de este numerador por aquí.
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Y para este primer periodo, sólo hago la regla del producto.
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Derivado de x es uno y luego lo 1 veces el registro natural
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de x, la derivada de las primeras veces de término
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el segundo término.
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Y, a continuación, vamos a tener además la derivada de la
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segundo término más 1 sobre x veces el primer término.
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Es simplemente la regla del producto.
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1 Sobre x veces x, vamos a ver, que sólo 1,
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y, a continuación, tenemos menos la derivada de x menos 1.
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Así, la derivada de x menos 1 es sólo 1, por lo que es justo
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va a ser menos 1.
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Y entonces, todo eso es sobre la derivada de esta cosa.
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Así que vamos a tomar la derivada de ello, aquí.
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Por lo que la derivada del primer término, de x menos 1, es sólo 1.
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Multiplicar veces el segundo término, obtener registro natural de x.
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Y entonces además la derivada de la segunda legislatura, derivado
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registro natural de x es uno sobre x, tiempos x menos 1.
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88 00:04:32, 14--> 00:04:34, 24 creo podemos simplificar esto un poco.
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Este 1 sobre x veces x, que es un 1.
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Vamos a restar uno de ella.
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Por lo tanto estos cancelan, allí.
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Así que esta expresión toda puede ser reescrita como límite
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como se acerca a 1, el numerador es sólo natural registro de x, hacer
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en magenta y el denominador es el registro natural
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de x más x menos 1 sobre x
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Así que vamos a intentar evaluar este límite aquí.
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Así que si tomamos x enfoques uno de registro natural de x, que
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nos dará una, así, el registro natural de 1 es 0.
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Y aquí, obtenemos registro natural de 1, que es 0.
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Y entonces plus 1 menos 1 sobre plus 1 1 menos 1, bueno,
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sólo va a ser otro 0.
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1 menos 1 es cero.
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Por lo que vas a tener 0 y 0.
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Por lo que vas a obtener nuevamente un 0 a 0.
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0 a 0.
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Así una vez más, vamos a aplicar la regla de l'Hopital nuevo.
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Tomemos la derivada de coloque sobre
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derivado de ello.
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Por lo tanto, si nunca vamos a llegar a un límite, va a ser
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igual al límite cuando x aproxima 1 de la derivada
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del dividendo, 1 sobre x, derecha, la derivada de ln de
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x es 1 / x, sobre la derivada del denominador.
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Y ¿qué es eso?
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Bueno, derivado del registro natural de x es 1 sobre x plus
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derivado de x menos 1 sobre x.
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Se podría ver de esta forma, como 1 sobre x veces x menos 1.
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Así, tomaremos el derivado de x 1 negativo, el
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derivado de las primeras veces lo segundo, y
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entonces la derivada de los tiempos de lo segundo
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la primera cosa.
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Por lo tanto la derivada del primer término, x 1 negativo, es
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x negativo a lo negativo 2 veces el segundo término, tiempos x
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menos 1, más la derivada de la segunda legislatura, que es
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sólo 1 veces el primer término, más 1 sobre x.
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Así que esto va a ser igual, sólo tenía una cosa aleatoria
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pop up en mi equipo.
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Perdón por ese sonido poco, si lo conoces.
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¿Pero donde estaba yo?
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Ah, vamos a simplemente simplificar esto aquí.
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Estábamos haciendo regla de nuestra l'Hopital.
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Así que esto va a ser igual a, permítanme, esto va a ser
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igual, si evaluamos x como igual a 1, el numerador es
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solo 1 por 1, que es sólo 1.
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Así que definitivamente no vamos a tener un indeterminado o
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al menos un formulario ya de 0/0.
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Y el denominador va a ser, si se evalúa en 1,
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se trata de 1/1, que es 1 más negativo 1 a la 2 negativos.
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Por lo tanto, o que dices, 1 a la 2 negativo sólo es 1, es
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sólo una negativa.
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Pero, a continuación, se multiplica el momento 1 menos 1, que es
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0, por lo que este término todo va a cancelar.
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Y tienes un plus 1 otro 1.
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Así plus 1 Y así esto va a ser igual a 1/2.
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Y ahí lo tienen.
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Utilizando la regla de L'Hopital y un par de pasos, resolvimos
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algo que por lo menos inicialmente no parecen
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como era 0/0.
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Solo agrega los 2 términos, consiguió 0/0, tomó derivados de la
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numeradores y los denominadores 2 veces en una fila
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finalmente obtener nuestro límite.
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