Queremos encontrar el límite cuando x tiende a 1 de la expresión x entre (x-1) menos 1 sobre el logaritmo natural de x. Tan sólo veamos lo que sucede cuando intentemos reemplazar el 1. ¿Qué sucede si evaluamos esta expresión en 1? Pues bien, vamos a conseguir un 1 aquí, sobre 1 menos 1. Así que vamos a conseguir algo parecido a un 1 entre 0, menos 1 entre, ¿cuál es el logaritmo natural de 1? ¿e elevado a qué potencia es igual a uno? Pues bien, cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1, entonces e elevado a la potencia 0 va a ser igual a 1, entonces el logaritmo natural de 1 va a ser 0. Así obtenemos la extraña e indefinida expresión 1 entre 0 menos 1 entre 0. Es esta forma indefinida de extraño aspecto. Pero no es de la forma indeterminada que hemos analizado para la regla de l'Hopital. No estamos obteniendo un 0 entre 0, no estamos obteniendo un infinito sobre infinito. Por lo que se podría decir, bueno, OK, esto no es un problema de regla de l'Hopital. Vamos a tener que averiguar este límite de alguna otra manera. Y yo diría no renuncies aún! Quizás podemos manipular esto algebraicamente de alguna forma para que nos diera la forma indeterminada de l'Hopital y luego podríamos sólo aplicar la regla. Y para hacerlo, sólo lo veamos, ¿qué sucede si sumamos estas dos expresiones? Así que si las sumamos, esta expresión, si la sumamos será, pues, el denominador común va a ser x menos 1 por el logaritmo natural de x. sólo he multiplicado los denominadores. Y luego el numerador va ser, bueno, si multiplico todo este término por el logaritmo natural de x, por lo que será x logaritmo natural de x y luego todo este término lo voy a multiplicar por x menos 1. Entonces menos x menos 1. Pueden separar esta expresión y ver que esta expresión y esta otra expresión son lo mismo. Esta de aquí, esta de acá es lo mismo que x entre x-1 porque los logaritmos naturales de x se cancelan Permítanme deshacerme de esto. Y entonces esto de aquí es lo mismo que 1 sobre el logaritmo natural de x, porque se cancelan los x menos 1. Así que esperemos te das cuenta, todo lo que hice es agregar estas dos expresiones. Así que dado que vamos a ver qué pasa si tomo el límite como x acerca a 1 de esta cosa. Porque son la misma cosa. ¿Obtenemos algo más interesante? ¿Así que qué tenemos aquí? Tenemos una veces el registro natural de 1. El registro natural de 1 es 0, así que tenemos 0 aquí, así es un 0. Por lo tanto menos 1 menos 0, va a ser otro 0, menos 0. el registro natural de 1, que es 0, 0 veces 0, que es 0. Y ahí lo tienen. Tenemos forma indeterminada que necesitamos para la regla de l'Hopital, Suponiendo que si tomamos la derivada de y ponerlo sobre el derivado de ello, que ese límite existe. Así que vamos a intentar hacerlo. Así que esto va a ser igual, si el límite existe, esto va a ser igual al límite cuando x aproxima 1. Y tomemos la derivada en magenta, voy a tomar la derivada de este numerador por aquí. Y para este primer periodo, sólo hago la regla del producto. Derivado de x es uno y luego lo 1 veces el registro natural de x, la derivada de las primeras veces de término el segundo término. Y, a continuación, vamos a tener además la derivada de la segundo término más 1 sobre x veces el primer término. Es simplemente la regla del producto. 1 Sobre x veces x, vamos a ver, que sólo 1, y, a continuación, tenemos menos la derivada de x menos 1. Así, la derivada de x menos 1 es sólo 1, por lo que es justo va a ser menos 1. Y entonces, todo eso es sobre la derivada de esta cosa. Así que vamos a tomar la derivada de ello, aquí. Por lo que la derivada del primer término, de x menos 1, es sólo 1. Multiplicar veces el segundo término, obtener registro natural de x. Y entonces además la derivada de la segunda legislatura, derivado registro natural de x es uno sobre x, tiempos x menos 1. 88 00:04:32, 14--> 00:04:34, 24 creo podemos simplificar esto un poco. Este 1 sobre x veces x, que es un 1. Vamos a restar uno de ella. Por lo tanto estos cancelan, allí. Así que esta expresión toda puede ser reescrita como límite como se acerca a 1, el numerador es sólo natural registro de x, hacer en magenta y el denominador es el registro natural de x más x menos 1 sobre x Así que vamos a intentar evaluar este límite aquí. Así que si tomamos x enfoques uno de registro natural de x, que nos dará una, así, el registro natural de 1 es 0. Y aquí, obtenemos registro natural de 1, que es 0. Y entonces plus 1 menos 1 sobre plus 1 1 menos 1, bueno, sólo va a ser otro 0. 1 menos 1 es cero. Por lo que vas a tener 0 y 0. Por lo que vas a obtener nuevamente un 0 a 0. 0 a 0. Así una vez más, vamos a aplicar la regla de l'Hopital nuevo. Tomemos la derivada de coloque sobre derivado de ello. Por lo tanto, si nunca vamos a llegar a un límite, va a ser igual al límite cuando x aproxima 1 de la derivada del dividendo, 1 sobre x, derecha, la derivada de ln de x es 1 / x, sobre la derivada del denominador. Y ¿qué es eso? Bueno, derivado del registro natural de x es 1 sobre x plus derivado de x menos 1 sobre x. Se podría ver de esta forma, como 1 sobre x veces x menos 1. Así, tomaremos el derivado de x 1 negativo, el derivado de las primeras veces lo segundo, y entonces la derivada de los tiempos de lo segundo la primera cosa. Por lo tanto la derivada del primer término, x 1 negativo, es x negativo a lo negativo 2 veces el segundo término, tiempos x menos 1, más la derivada de la segunda legislatura, que es sólo 1 veces el primer término, más 1 sobre x. Así que esto va a ser igual, sólo tenía una cosa aleatoria pop up en mi equipo. Perdón por ese sonido poco, si lo conoces. ¿Pero donde estaba yo? Ah, vamos a simplemente simplificar esto aquí. Estábamos haciendo regla de nuestra l'Hopital. Así que esto va a ser igual a, permítanme, esto va a ser igual, si evaluamos x como igual a 1, el numerador es solo 1 por 1, que es sólo 1. Así que definitivamente no vamos a tener un indeterminado o al menos un formulario ya de 0/0. Y el denominador va a ser, si se evalúa en 1, se trata de 1/1, que es 1 más negativo 1 a la 2 negativos. Por lo tanto, o que dices, 1 a la 2 negativo sólo es 1, es sólo una negativa. Pero, a continuación, se multiplica el momento 1 menos 1, que es 0, por lo que este término todo va a cancelar. Y tienes un plus 1 otro 1. Así plus 1 Y así esto va a ser igual a 1/2. Y ahí lo tienen. Utilizando la regla de L'Hopital y un par de pasos, resolvimos algo que por lo menos inicialmente no parecen como era 0/0. Solo agrega los 2 términos, consiguió 0/0, tomó derivados de la numeradores y los denominadores 2 veces en una fila finalmente obtener nuestro límite.