L'Hopital's Rule Example 3

Limit x yaxınlaşır 1-ə

x böl x çıx 1,

çıx 1 böl lnx-i tapmaq istəyirik.

Əvvəlcə, 1-i ifadədə yerinə

qoyduqda nə baş verdiyinə baxaq.

Bu ifadədə x-in yerinə 1 qoysaq,
nə baş verəcək?

1 böl 1, çıx 1.

1 böl 0 alırıq.
1 böl 0, çıx 1 böl,

ln1 neçədir?

e üstü neçə 1-ə bərabərdir?

İstənilən ədədin 0-ıncı dərəcədən
qüvvəti 1-ə bərabərdir.

e üstü 0 1-ə bərabərdir.
Onda ln1

0-a bərabərdir.

Deməli, 1 böl 0 çıx, 1 böl 0 kimi

qeyri-müəyyən ifadə əldə etdik.

Bu, qeyri-müəyyən formadır.

Lakin bu, Lopital qaydasını
tətbiq etdiyimiz

qeyri-müəyyən limit forması deyil.

Biz 0 böl 0, yaxud

sonsuzluq böl sonsuzluq əldə etmədik.

Bu, Lopital qaydasının tətbiq olunduğu

qeyri-müəyyən forma deyil.

Onda bu limiti həll etməyin başqa
yolunu tapacağıq.

Davam edək.

Bəlkə də bu ifadəni
cəbri olaraq dəyişə bilərik.

Onda Lopital qaydasının tətbiq olunacağı
qeyri-müəyyən forma alınacaq və

bu qaydanı tətbiq edə biləcəyik.

Baxaq görək bu iki ifadəni toplasaq,

nə baş verəcək?

Bu iki ifadəni toplasaq,

bunlar üçün ortaq məxrəc

x çıx 1, vur lnx olacaq.

Məxrəcləri vurduq.

Surət isə,
bu ifadəni

lnx-ə vursam,

bu, x vur lnx olacaq.
Bu ifadəni isə

x çıx 1-ə vuraq.

Çıx x çıx 1.

Yenidən məxrəcləri ayırsaq,

bu ifadələrin eyni olduğunu görərik.

Bu,

x böl x çıx 1 ilə eynidir.
Çünki burda lnx-lər ixtisar gedir.

Bunu silək.

Həmçinin 1 böl

lnx bu ifadə ilə eynidir,
çünki x çıx 1-lər ixtisar gedir.

Yəqin ki, bu iki ifadəni
necə topladığımı

başa düşdünüz.

İndi isə baxaq görək
limit x

1-ə yaxınlaşdıqda burada
nə baş verir?

Çünki bunlar eynidir.

Maraqlı nəsə alındı?

Burada nə etdik?

1 vur ln1.

ln1 0-a bərabərdir.
Burada 0 yazırıq.

Çıx 1 çıx 0.
Bu da 0 edəcək.

Deməli, surətdə 0 aldıq.

Məxrəcdə isə
1 çıx 1, 0,

vur ln1, yəni vur 0, o da
bərabərdir 0 alırıq.

Alındı.

Lopital qaydası üçün
qeyri-müəyyən limit formasını aldıq.

Əgər törəməni alıb
qiyməti yerinə qoysaq,

limit mövcud olacaq.

Davam edək.

Əgər limit mövcuddursa,
onda bu, bərabər olacaq,

limit x yaxınlaşır 1-ə.

Tünd qırmızı rəngi seçək,

surətin törəməsini alaq.

Birinci hədd üçün törəmənin
hasil qaydasını tətbiq edəcəyik.

x-in törəməsi 1, 1 vur lnx,

birinci həddin törəməsi vur

ikinci hədd.

Üzərinə ikinci həddin

törəməsini gələk. Üstəgəl 1 böl
x vur birinci hədd.

Bu, sadəcə törəmənin hasil qaydasıdır.

1 böl x vur x 1-ə bərabərdir.

Çıx x çıx 1-in törəməsi.

x çıx 1-in törəməsi 1-dir.
Bu, 1-ə

bərabər olacaq.

Bütöv bu ifadəni
məxrəcin törəməsinə bölürük.

Məxrəcin törəməsini tapaq.

Birinci həddin törəməsi,
x çıx 1-in törəməsi 1-dir.

Vur ikinci hədd.
lnx.

Üstəgəl ikinci həddin törəməsi,

lnx-in törəməsi 1 böl x, vur
x çıx 1.

Bir az sadələşdirək.

1 böl x vur x, 1-ə bərabərdir.

1-dən bunu çıxaq.

Bunlar ixtisar gedəcək.

İfadəni yenidən yazaq.
Limit x

yaxınlaşır 1-ə, surət lnx-dir--

tünd qırmızı ilə yazaq--
məxrəc isə lnx

üstəgəl x çıx 1, böl x-ə bərabərdir.

Limiti qiymətləndirək.

x 1-ə yaxınlaşanda lnx

ln1-ə bərabər olur,
o da bərabərdir 0-a.

Böl ln1, yəni 0.

Üstəgəl 1 çıx 1,
böl 1.

Bu da 0-a bərabər olacaq.

1 çıx 1 bərabərdir 0.

0 üstəgəl 0 alınır.

Yenidən 0 böl 0

aldıq.

Yenidən Lopital qaydasını tətbiq edək.

Surətin törəməsini

alaq.

Limit

x yaxınlaşır 1-ə,

surətin törəməsi,
lnx -in

törəməsi 1 böl x,
böl məxrəcin törəməsi.

Məxrəcin törəməsi nəyə bərabərdir?

lnx-in törəməsi 1 böl x,
üstəgəl

x çıx 1, böl x-in törəməsi.

Buna 1 böl x vur, x çıx 1
kimi baxa bilərik.

x üzəri mənfi 1-in törəməsi,

birincinin törəməsi vur ikinci.

Üstəgəl ikincinin törəməsi

vur birinci.

Birinci həddin törəməsi,
x üstü mənfi 1-in törəməsi,

o da mənfi x üstü mənfi 2-yə bərabərdir.
Vur ikinci hədd, x çıx 1.

Üstəgəl ikincinin törəməsi,

1.
Vur birinci hədd, üstəgəl 1 böl x.

Bu, bərabər olacaq-- kompüterimdə

təsadüfi nəsə açıldı.

Səsə görə üzr istəyirəm,
əgər onu eşitdinizsə.

Harda qalmışdıq?

Sadələşdirək.

Lopital qaydasını tətbiq edək.

x 1-ə yaxınlaşanda

surətdə

1 böl 1 qalacaq, bu da 1-ə bərabərdir.

Artıq burada
qeyri-müəyyən forma, yaxud

0 böl 0 alınmayacaq.

Məxrəc isə, yerinə 1 qoysaq,

1 böl 1, 1 üstəgəl mənfi 1, yəni
mənfi 1 üstü mənfi 1-ə bərabər olacaq.

1 üstü mənfi 2,

mənfi 1-ə bərabərdir.

Bunu 1 çıx 1-ə vursaq,

0 edəcək.
Onda bu bütöv ifadə islah olunacaq.

Üstəgəl 1 böl 1.

Üstəgəl 1, bu da
1 böl 2-yə bərabər olacaq.

Alındı.

Lopital qaydası vasitəsilə və
bir neçə addımla, həll etdik.

İlkin olaraq nəticəmiz

0 böl 0 şəklində alınmadı.

Sadəcə iki həddi topladıq,
0 böl 0 alındı, daha sonra

surət və məxrəcdən törəmə aldıq və

nəhayət, ardıcıl iki mərhələdən sonra
limitə qiymət verə bildik.