Limit x yaxınlaşır 1-ə
x böl x çıx 1,
çıx 1 böl lnx-i tapmaq istəyirik.
Əvvəlcə, 1-i ifadədə yerinə
qoyduqda nə baş verdiyinə baxaq.
Bu ifadədə x-in yerinə 1 qoysaq, nə baş verəcək?
1 böl 1, çıx 1.
1 böl 0 alırıq. 1 böl 0, çıx 1 böl,
ln1 neçədir?
e üstü neçə 1-ə bərabərdir?
İstənilən ədədin 0-ıncı dərəcədən qüvvəti 1-ə bərabərdir.
e üstü 0 1-ə bərabərdir. Onda ln1
0-a bərabərdir.
Deməli, 1 böl 0 çıx, 1 böl 0 kimi
qeyri-müəyyən ifadə əldə etdik.
Bu, qeyri-müəyyən formadır.
Lakin bu, Lopital qaydasını tətbiq etdiyimiz
qeyri-müəyyən limit forması deyil.
Biz 0 böl 0, yaxud
sonsuzluq böl sonsuzluq əldə etmədik.
Bu, Lopital qaydasının tətbiq olunduğu
qeyri-müəyyən forma deyil.
Onda bu limiti həll etməyin başqa yolunu tapacağıq.
Davam edək.
Bəlkə də bu ifadəni cəbri olaraq dəyişə bilərik.
Onda Lopital qaydasının tətbiq olunacağı qeyri-müəyyən forma alınacaq və
bu qaydanı tətbiq edə biləcəyik.
Baxaq görək bu iki ifadəni toplasaq,
nə baş verəcək?
Bu iki ifadəni toplasaq,
bunlar üçün ortaq məxrəc
x çıx 1, vur lnx olacaq.
Məxrəcləri vurduq.
Surət isə, bu ifadəni
lnx-ə vursam,
bu, x vur lnx olacaq. Bu ifadəni isə
x çıx 1-ə vuraq.
Çıx x çıx 1.
Yenidən məxrəcləri ayırsaq,
bu ifadələrin eyni olduğunu görərik.
Bu,
x böl x çıx 1 ilə eynidir. Çünki burda lnx-lər ixtisar gedir.
Bunu silək.
Həmçinin 1 böl
lnx bu ifadə ilə eynidir, çünki x çıx 1-lər ixtisar gedir.
Yəqin ki, bu iki ifadəni necə topladığımı
başa düşdünüz.
İndi isə baxaq görək limit x
1-ə yaxınlaşdıqda burada nə baş verir?
Çünki bunlar eynidir.
Maraqlı nəsə alındı?
Burada nə etdik?
1 vur ln1.
ln1 0-a bərabərdir. Burada 0 yazırıq.
Çıx 1 çıx 0. Bu da 0 edəcək.
Deməli, surətdə 0 aldıq.
Məxrəcdə isə 1 çıx 1, 0,
vur ln1, yəni vur 0, o da bərabərdir 0 alırıq.
Alındı.
Lopital qaydası üçün qeyri-müəyyən limit formasını aldıq.
Əgər törəməni alıb qiyməti yerinə qoysaq,
limit mövcud olacaq.
Davam edək.
Əgər limit mövcuddursa, onda bu, bərabər olacaq,
limit x yaxınlaşır 1-ə.
Tünd qırmızı rəngi seçək,
surətin törəməsini alaq.
Birinci hədd üçün törəmənin hasil qaydasını tətbiq edəcəyik.
x-in törəməsi 1, 1 vur lnx,
birinci həddin törəməsi vur
ikinci hədd.
Üzərinə ikinci həddin
törəməsini gələk. Üstəgəl 1 böl x vur birinci hədd.
Bu, sadəcə törəmənin hasil qaydasıdır.
1 böl x vur x 1-ə bərabərdir.
Çıx x çıx 1-in törəməsi.
x çıx 1-in törəməsi 1-dir. Bu, 1-ə
bərabər olacaq.
Bütöv bu ifadəni məxrəcin törəməsinə bölürük.
Məxrəcin törəməsini tapaq.
Birinci həddin törəməsi, x çıx 1-in törəməsi 1-dir.
Vur ikinci hədd. lnx.
Üstəgəl ikinci həddin törəməsi,
lnx-in törəməsi 1 böl x, vur x çıx 1.
Bir az sadələşdirək.
1 böl x vur x, 1-ə bərabərdir.
1-dən bunu çıxaq.
Bunlar ixtisar gedəcək.
İfadəni yenidən yazaq. Limit x
yaxınlaşır 1-ə, surət lnx-dir--
tünd qırmızı ilə yazaq-- məxrəc isə lnx
üstəgəl x çıx 1, böl x-ə bərabərdir.
Limiti qiymətləndirək.
x 1-ə yaxınlaşanda lnx
ln1-ə bərabər olur, o da bərabərdir 0-a.
Böl ln1, yəni 0.
Üstəgəl 1 çıx 1, böl 1.
Bu da 0-a bərabər olacaq.
1 çıx 1 bərabərdir 0.
0 üstəgəl 0 alınır.
Yenidən 0 böl 0
aldıq.
Yenidən Lopital qaydasını tətbiq edək.
Surətin törəməsini
alaq.
Limit
x yaxınlaşır 1-ə,
surətin törəməsi, lnx -in
törəməsi 1 böl x, böl məxrəcin törəməsi.
Məxrəcin törəməsi nəyə bərabərdir?
lnx-in törəməsi 1 böl x, üstəgəl
x çıx 1, böl x-in törəməsi.
Buna 1 böl x vur, x çıx 1 kimi baxa bilərik.
x üzəri mənfi 1-in törəməsi,
birincinin törəməsi vur ikinci.
Üstəgəl ikincinin törəməsi
vur birinci.
Birinci həddin törəməsi, x üstü mənfi 1-in törəməsi,
o da mənfi x üstü mənfi 2-yə bərabərdir. Vur ikinci hədd, x çıx 1.
Üstəgəl ikincinin törəməsi,
1. Vur birinci hədd, üstəgəl 1 böl x.
Bu, bərabər olacaq-- kompüterimdə
təsadüfi nəsə açıldı.
Səsə görə üzr istəyirəm, əgər onu eşitdinizsə.
Harda qalmışdıq?
Sadələşdirək.
Lopital qaydasını tətbiq edək.
x 1-ə yaxınlaşanda
surətdə
1 böl 1 qalacaq, bu da 1-ə bərabərdir.
Artıq burada qeyri-müəyyən forma, yaxud
0 böl 0 alınmayacaq.
Məxrəc isə, yerinə 1 qoysaq,
1 böl 1, 1 üstəgəl mənfi 1, yəni mənfi 1 üstü mənfi 1-ə bərabər olacaq.
1 üstü mənfi 2,
mənfi 1-ə bərabərdir.
Bunu 1 çıx 1-ə vursaq,
0 edəcək. Onda bu bütöv ifadə islah olunacaq.
Üstəgəl 1 böl 1.
Üstəgəl 1, bu da 1 böl 2-yə bərabər olacaq.
Alındı.
Lopital qaydası vasitəsilə və bir neçə addımla, həll etdik.
İlkin olaraq nəticəmiz
0 böl 0 şəklində alınmadı.
Sadəcə iki həddi topladıq, 0 böl 0 alındı, daha sonra
surət və məxrəcdən törəmə aldıq və
nəhayət, ardıcıl iki mərhələdən sonra limitə qiymət verə bildik.