Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

Máme tady žlutě nakreslený
graf funkce y rovná se f(x).

Dále tu je světle fialový graf funkce
y rovná se derivace f,

tedy y rovná se
f(x) s čárkou,

a poté je tu v modré barvě graf funkce
y rovná se druhá derivace f.

Toto je tedy derivace
téhle první derivace.

Už jsme viděli, jak lze najít lokální
minima a maxima funkce.

Samozřejmě, pokud před
sebou máme graf,

tak lehce poznáme, že zde má
funkce lokální maximum.

Funkce pak dále může
nabývat ještě vyšších hodnot.

Rovněž snadno nahlédneme,
že zde má funkce lokální minimum.

Funkce pak tady může
nabývat ještě nižších hodnot.

Viděli jsme ale, že i když
před sebou nemáme graf,

ale máme předpis funkce,
který jsme schopni zderivovat,

tak můžeme...

Možná i když funkci
nedokážeme zderivovat.

...tak můžeme zjistit, že tohle jsou body
lokálního minima nebo maxima.

Dělali jsme to tak, že jsme nejprve
našli stacionární body funkce.

To jsou body, ve kterých derivace funkce
buď není definovaná, nebo se rovná nule.

Tohle je derivace
naší funkce.

Nule se rovná tady a tady,
takže to budou stacionární body.

Nevidím žádný bod,
ve kterém by derivace nebyla definovaná.

Tyto dva body jsou
tedy stacionární body.

Jde o podezřelé body, ve kterých má funkce
nejspíš lokální minimum nebo maximum.

Zda jde o lokální minimum
nebo maximum jsme zjistili tak,

že jsme se podívali na chování
derivace na okolí daného bodu.

V tomto případě vidíme, že derivace
je kladná, když se k bodu blížíme zleva,

a pak se
stává zápornou.

Derivace se tedy změnila z kladné na
zápornou při průchodu tímto bodem,

což znamená,
že funkce byla rostoucí...

Derivace je kladná, takže funkce roste,
jak se k bodu blížíme zleva,

a pak funkce klesá,
jak jdeme napravo od tohoto bodu.

To znamená, že jde o bod
lokálního maxima.

Když se k bodu blížíme zleva, funkce
roste, a když jdeme doprava, tak klesá.

Tohle je tedy určitě
lokální maximum.

Podobně, když se podíváme sem,
tak vidíme, že derivace je záporná,

jak se k tomu bodu blížíme zleva,
což znamená, že funkce klesá.

Vidíme, že když jdeme od tohoto
bodu doprava, tak je derivace kladná.

Derivace se změnila
ze záporné na kladnou,

což znamená, že funkce se v tomto bodě
změnila z klesající na rostoucí,

což nám říká, že v tomto stacionárním
bodě má funkce lokální minimum.

Rád bych teď naše znalosti
rozšířil o konvexitu funkce.

Vím, že to možná
špatně vyslovuji.

Abychom pochopili konvexitu funkce,
podívejme se na druhou derivaci a na to,

jak díky ní namísto těchto změn
při průchodu bodem poznáme,

zda má funkce v daném bodě
lokální minimum nebo maximum.

Zamysleme se nejdřív,
co se děje v této části grafu.

Máme tu část křivky, která vypadá trochu
jako oblouk, jenž se otevírá směrem dolů.

Vypadá to trochu jako A bez čáry
uprostřed nebo jako obrácené U.

Pak se podíváme na to, co se děje v této
části, kde má křivka tvar písmene U.

Když začneme v tomto prvním intervalu,
vidíme, že je sklon velmi...

Udělám to tou samou barvou,
kterou jsem použil pro derivaci.

...sklon je velmi kladný.

Poté je čím dál tím míň kladný,
až se nakonec rovná nule,

načež neustále klesá a stává se
trochu záporným, pak je víc a víc záporný

a nakonec někde
tady přestává klesat.

Sklon funkce tady
přestane klesat.

Vidíme to i
na grafu derivace.

Sklon klesá a klesá
až do tohoto bodu,

načež začíná růst.

V celé této části tedy
sklon funkce klesá.

Vidíme to i
v grafu derivace.

Derivace na celém
tomto intervalu klesá.

Co vidíme, když se podíváme
na druhou derivaci?

Když první
derivace klesá,

tak je druhá derivace,
tedy derivace derivace, záporná.

Vidíme, že to tak
opravdu je.

Na celém tomto intervalu je
druhá derivace skutečně záporná.

Co se teď stane, když přejdeme do
části, kde křivka vypadá jako U?

Zde je derivace poměrně záporná,
ale pak se začíná...

Sice je pořád záporná, ale stává se
čím dál tím méně zápornou,

až se nakonec
v tomto bodě rovná nule,

načež je stále více kladná,
jak je tady vidět.

Na celém tomhle intervalu
sklon funkce, tedy její derivace, roste.

Sklon roste.

Můžeme zde vidět,
že v tomhle bodě je sklon nulový.

Sklon derivace je nula, samotná
derivace se v tuto chvíli nemění.

Následně vidíme,
že sklon roste.

Opět se můžeme podívat, jak bude vypadat
druhá derivace, tedy derivace derivace.

Když je první derivace rostoucí,
druhá derivace musí být kladná.

Druhá derivace je
zde skutečně kladná.

Existuje speciální název
pro části grafu,

které vypadají jako převrácené
nebo normální písmeno U.

Řekneme, že v této části
je funkce konkávní

a že zde je funkce
konvexní.

Pojďme si zopakovat, jak určíme intervaly,
na kterých je funkce konkávní či konvexní.

Když máme interval, na kterém je
funkce konkávní, tak vidíme několik věcí.

Vidíme, že sklon
funkce je klesající,

což je totéž jako říci,
že derivace funkce f je klesající,

a to jinak řečeno znamená,
že druhá derivace musí být záporná.

Jestliže první derivace klesá,
druhá derivace musí být záporná.

Tohle je tedy
totéž jako říci,

že druhá derivace musí být
na daném intervalu záporná.

Je-li tedy
druhá derivace záporná,

tak je funkce na
daném intervalu konkávní.

Obdobně...

Dělá mi potíže
to slovo vyslovit.

...obdobně se podívejme na interval,
na němž je funkce konvexní,

tedy kde má graf
funkce tvar U.

Konvexní.

Na těchto intervalech
je sklon rostoucí.

Sklon je záporný, pak méně záporný,
ještě méně záporný, nulový, kladný,

kladnější,
ještě kladnější...

Sklon je
tedy rostoucí,

což znamená, že derivace
funkce je rostoucí.

To můžeme
vidět zde.

Hodnota derivace roste.

Tohle pak znamená,

že na intervalu, kde je funkce konvexní,
musí být druhá derivace větší než nula.

Když je druhá derivace větší než nula,
tak je první derivace rostoucí,

a tudíž i sklon
funkce je rostoucí.

Funkce je na daném
intervalu konvexní.

Když už jsme si teď zadefinovali,
kdy je funkce konkávní a konvexní,

dokážeme vymyslet
jiný způsob, jak zjistit,

zda má funkce v stacionárním bodě
lokální minimum nebo maximum?

Když má funkce
lokální maximum...

Máme-li stacionární bod,
okolo něhož je funkce konkávní,

tak jde o bod
lokálního maxima.

Funkce musí
být konkávní.

Ještě to
ujasním.

Konkávní znamená,
že graf se takhle otevírá dolů.

Když máme
stacionární bod...

Předpokládejme, že funkce je konkávní a
diferencovatelná na celém tomto intervalu.

Ve stacionárním bodě
bude sklon roven nule,

takže to je
tento bod.

Když máme konkávní funkci a bod ‚a‘,
ve kterém je derivace rovna nula,

tak je bod ‚a‘
bodem lokálního maxima.

Podobně to platí i tehdy,
když je funkce konvexní,

což znamená,
že její graf vypadá nějak takto.

Pokud jsme našli
nějaký bod...

Stacionární bod může být samozřejmě také
bod, ve kterém derivace není definovaná,

ale když předpokládáme,
že první i druhá derivace jsou definované,

tak bude stacionárním bodem ten bod,
ve kterém je první derivace rovna nule,

neboli pro který platí,
že f s čárkou v bodě ‚a‘ se rovná nule.

Když je f s čárkou
v bodě ‚a‘ rovno nule

a funkce je na intervalu
okolo bodu ‚a‘ konvexní,

tedy když je
druhá derivace větší než 0,

tak je celkem zřejmé,
že se jedná o lokální minimum,

tedy že funkce má v bodě ‚a‘
svoje lokální minimum.