WEBVTT

00:00:00.369 --> 00:00:04.191
Máme tady žlutě nakreslený
graf funkce y rovná se f(x).

00:00:04.191 --> 00:00:09.228
Dále tu je světle fialový graf funkce
y rovná se derivace f,

00:00:09.228 --> 00:00:10.778
tedy y rovná se
f(x) s čárkou,

00:00:10.778 --> 00:00:15.659
a poté je tu v modré barvě graf funkce
y rovná se druhá derivace f.

00:00:15.659 --> 00:00:21.437
Toto je tedy derivace
téhle první derivace.

00:00:21.437 --> 00:00:25.385
Už jsme viděli, jak lze najít lokální 
minima a maxima funkce.

00:00:25.385 --> 00:00:27.203
Samozřejmě, pokud před
sebou máme graf,

00:00:27.203 --> 00:00:31.443
tak lehce poznáme, že zde má
funkce lokální maximum.

00:00:31.443 --> 00:00:34.369
Funkce pak dále může
nabývat ještě vyšších hodnot.

00:00:34.369 --> 00:00:37.463
Rovněž snadno nahlédneme,
že zde má funkce lokální minimum.

00:00:37.463 --> 00:00:40.313
Funkce pak tady může
nabývat ještě nižších hodnot.

00:00:40.313 --> 00:00:42.649
Viděli jsme ale, že i když
před sebou nemáme graf,

00:00:42.649 --> 00:00:45.419
ale máme předpis funkce,
který jsme schopni zderivovat,

00:00:45.419 --> 00:00:46.139
tak můžeme...

00:00:46.139 --> 00:00:48.089
Možná i když funkci
nedokážeme zderivovat.

00:00:48.089 --> 00:00:51.522
...tak můžeme zjistit, že tohle jsou body
lokálního minima nebo maxima.

00:00:51.522 --> 00:00:54.950
Dělali jsme to tak, že jsme nejprve
našli stacionární body funkce.

00:00:54.950 --> 00:01:00.100
To jsou body, ve kterých derivace funkce
buď není definovaná, nebo se rovná nule.

00:01:00.100 --> 00:01:01.912
Tohle je derivace
naší funkce.

00:01:01.912 --> 00:01:05.751
Nule se rovná tady a tady,
takže to budou stacionární body.

00:01:05.751 --> 00:01:10.501
Nevidím žádný bod,
ve kterém by derivace nebyla definovaná.

00:01:10.501 --> 00:01:15.374
Tyto dva body jsou
tedy stacionární body.

00:01:15.374 --> 00:01:22.009
Jde o podezřelé body, ve kterých má funkce
nejspíš lokální minimum nebo maximum.

00:01:22.009 --> 00:01:25.030
Zda jde o lokální minimum
nebo maximum jsme zjistili tak,

00:01:25.030 --> 00:01:29.061
že jsme se podívali na chování
derivace na okolí daného bodu.

00:01:29.061 --> 00:01:41.121
V tomto případě vidíme, že derivace
je kladná, když se k bodu blížíme zleva,

00:01:41.121 --> 00:01:42.691
a pak se
stává zápornou.

00:01:42.691 --> 00:01:46.404
Derivace se tedy změnila z kladné na
zápornou při průchodu tímto bodem,

00:01:46.404 --> 00:01:49.205
což znamená,
že funkce byla rostoucí...

00:01:49.205 --> 00:01:53.649
Derivace je kladná, takže funkce roste,
jak se k bodu blížíme zleva,

00:01:53.649 --> 00:01:56.139
a pak funkce klesá,
jak jdeme napravo od tohoto bodu.

00:01:56.139 --> 00:01:59.050
To znamená, že jde o bod
lokálního maxima.

00:01:59.050 --> 00:02:02.613
Když se k bodu blížíme zleva, funkce
roste, a když jdeme doprava, tak klesá.

00:02:02.613 --> 00:02:06.375
Tohle je tedy určitě
lokální maximum.

00:02:06.375 --> 00:02:12.752
Podobně, když se podíváme sem,
tak vidíme, že derivace je záporná,

00:02:12.752 --> 00:02:17.307
jak se k tomu bodu blížíme zleva,
což znamená, že funkce klesá.

00:02:17.307 --> 00:02:20.920
Vidíme, že když jdeme od tohoto
bodu doprava, tak je derivace kladná.

00:02:20.920 --> 00:02:24.178
Derivace se změnila
ze záporné na kladnou,

00:02:24.178 --> 00:02:29.228
což znamená, že funkce se v tomto bodě
změnila z klesající na rostoucí,

00:02:29.228 --> 00:02:38.474
což nám říká, že v tomto stacionárním
bodě má funkce lokální minimum.

00:02:38.474 --> 00:02:46.533
Rád bych teď naše znalosti
rozšířil o konvexitu funkce.

00:02:46.533 --> 00:02:49.774
Vím, že to možná
špatně vyslovuji.

00:02:49.774 --> 00:02:54.212
Abychom pochopili konvexitu funkce,
podívejme se na druhou derivaci a na to,

00:02:54.212 --> 00:02:57.556
jak díky ní namísto těchto změn
při průchodu bodem poznáme,

00:02:57.556 --> 00:03:01.206
zda má funkce v daném bodě
lokální minimum nebo maximum.

00:03:01.206 --> 00:03:04.286
Zamysleme se nejdřív,
co se děje v této části grafu.

00:03:04.286 --> 00:03:10.279
Máme tu část křivky, která vypadá trochu
jako oblouk, jenž se otevírá směrem dolů.

00:03:10.279 --> 00:03:13.743
Vypadá to trochu jako A bez čáry
uprostřed nebo jako obrácené U.

00:03:13.743 --> 00:03:19.852
Pak se podíváme na to, co se děje v této
části, kde má křivka tvar písmene U.

00:03:19.852 --> 00:03:25.473
Když začneme v tomto prvním intervalu,
vidíme, že je sklon velmi...

00:03:25.473 --> 00:03:30.034
Udělám to tou samou barvou,
kterou jsem použil pro derivaci.

00:03:30.034 --> 00:03:33.080
...sklon je velmi kladný.

00:03:33.080 --> 00:03:42.940
Poté je čím dál tím míň kladný,
až se nakonec rovná nule,

00:03:42.940 --> 00:03:50.968
načež neustále klesá a stává se
trochu záporným, pak je víc a víc záporný

00:03:50.968 --> 00:03:56.401
a nakonec někde
tady přestává klesat.

00:03:56.401 --> 00:03:58.107
Sklon funkce tady
přestane klesat.

00:03:58.107 --> 00:03:59.517
Vidíme to i
na grafu derivace.

00:03:59.517 --> 00:04:02.818
Sklon klesá a klesá
až do tohoto bodu,

00:04:02.818 --> 00:04:04.810
načež začíná růst.

00:04:04.810 --> 00:04:18.517
V celé této části tedy
sklon funkce klesá.

00:04:18.517 --> 00:04:21.010
Vidíme to i
v grafu derivace.

00:04:21.010 --> 00:04:27.230
Derivace na celém
tomto intervalu klesá.

00:04:27.230 --> 00:04:29.569
Co vidíme, když se podíváme
na druhou derivaci?

00:04:29.569 --> 00:04:31.469
Když první
derivace klesá,

00:04:31.469 --> 00:04:34.919
tak je druhá derivace,
tedy derivace derivace, záporná.

00:04:34.919 --> 00:04:38.149
Vidíme, že to tak
opravdu je.

00:04:38.149 --> 00:04:45.617
Na celém tomto intervalu je
druhá derivace skutečně záporná.

00:04:45.617 --> 00:04:51.087
Co se teď stane, když přejdeme do
části, kde křivka vypadá jako U?

00:04:51.087 --> 00:04:57.567
Zde je derivace poměrně záporná,
ale pak se začíná...

00:04:57.567 --> 00:05:04.544
Sice je pořád záporná, ale stává se
čím dál tím méně zápornou,

00:05:04.544 --> 00:05:07.924
až se nakonec
v tomto bodě rovná nule,

00:05:07.924 --> 00:05:12.783
načež je stále více kladná,
jak je tady vidět.

00:05:12.783 --> 00:05:18.401
Na celém tomhle intervalu
sklon funkce, tedy její derivace, roste.

00:05:18.401 --> 00:05:24.944
Sklon roste.

00:05:24.944 --> 00:05:27.464
Můžeme zde vidět,
že v tomhle bodě je sklon nulový.

00:05:27.464 --> 00:05:32.210
Sklon derivace je nula, samotná
derivace se v tuto chvíli nemění.

00:05:32.210 --> 00:05:37.007
Následně vidíme,
že sklon roste.

00:05:37.007 --> 00:05:40.766
Opět se můžeme podívat, jak bude vypadat
druhá derivace, tedy derivace derivace.

00:05:40.766 --> 00:05:44.571
Když je první derivace rostoucí,
druhá derivace musí být kladná.

00:05:44.571 --> 00:05:49.070
Druhá derivace je
zde skutečně kladná.

00:05:49.070 --> 00:05:51.877
Existuje speciální název
pro části grafu,

00:05:51.877 --> 00:05:55.275
které vypadají jako převrácené
nebo normální písmeno U.

00:05:55.275 --> 00:06:07.978
Řekneme, že v této části
je funkce konkávní

00:06:07.978 --> 00:06:13.168
a že zde je funkce
konvexní.

00:06:13.168 --> 00:06:18.530
Pojďme si zopakovat, jak určíme intervaly,
na kterých je funkce konkávní či konvexní.

00:06:18.530 --> 00:06:27.646
Když máme interval, na kterém je
funkce konkávní, tak vidíme několik věcí.

00:06:27.646 --> 00:06:37.479
Vidíme, že sklon
funkce je klesající,

00:06:37.479 --> 00:06:51.677
což je totéž jako říci,
že derivace funkce f je klesající,

00:06:51.677 --> 00:06:55.336
a to jinak řečeno znamená,
že druhá derivace musí být záporná.

00:06:55.336 --> 00:07:00.043
Jestliže první derivace klesá,
druhá derivace musí být záporná.

00:07:00.043 --> 00:07:01.927
Tohle je tedy
totéž jako říci,

00:07:01.927 --> 00:07:07.887
že druhá derivace musí být
na daném intervalu záporná.

00:07:07.887 --> 00:07:10.899
Je-li tedy
druhá derivace záporná,

00:07:10.899 --> 00:07:14.030
tak je funkce na
daném intervalu konkávní.

00:07:14.030 --> 00:07:16.590
Obdobně...

00:07:16.590 --> 00:07:18.230
Dělá mi potíže
to slovo vyslovit.

00:07:18.230 --> 00:07:21.523
...obdobně se podívejme na interval,
na němž je funkce konvexní,

00:07:21.523 --> 00:07:23.774
tedy kde má graf
funkce tvar U.

00:07:23.774 --> 00:07:25.534
Konvexní.

00:07:25.534 --> 00:07:28.224
Na těchto intervalech
je sklon rostoucí.

00:07:28.224 --> 00:07:31.556
Sklon je záporný, pak méně záporný,
ještě méně záporný, nulový, kladný,

00:07:31.556 --> 00:07:33.983
kladnější,
ještě kladnější...

00:07:33.983 --> 00:07:41.823
Sklon je
tedy rostoucí,

00:07:41.823 --> 00:07:50.667
což znamená, že derivace
funkce je rostoucí.

00:07:50.667 --> 00:07:52.646
To můžeme
vidět zde.

00:07:52.646 --> 00:07:55.486
Hodnota derivace roste.

00:07:55.486 --> 00:07:56.783
Tohle pak znamená,

00:07:56.783 --> 00:08:03.353
že na intervalu, kde je funkce konvexní,
musí být druhá derivace větší než nula.

00:08:03.353 --> 00:08:07.440
Když je druhá derivace větší než nula,
tak je první derivace rostoucí,

00:08:07.440 --> 00:08:09.215
a tudíž i sklon
funkce je rostoucí.

00:08:09.215 --> 00:08:14.575
Funkce je na daném
intervalu konvexní.

00:08:14.575 --> 00:08:20.067
Když už jsme si teď zadefinovali,
kdy je funkce konkávní a konvexní,

00:08:20.067 --> 00:08:22.077
dokážeme vymyslet
jiný způsob, jak zjistit,

00:08:22.077 --> 00:08:26.250
zda má funkce v stacionárním bodě
lokální minimum nebo maximum?

00:08:26.250 --> 00:08:28.365
Když má funkce
lokální maximum...

00:08:28.365 --> 00:08:34.395
Máme-li stacionární bod,
okolo něhož je funkce konkávní,

00:08:34.405 --> 00:08:35.898
tak jde o bod
lokálního maxima.

00:08:35.898 --> 00:08:37.158
Funkce musí
být konkávní.

00:08:37.163 --> 00:08:38.068
Ještě to
ujasním.

00:08:38.068 --> 00:08:42.575
Konkávní znamená,
že graf se takhle otevírá dolů.

00:08:42.575 --> 00:08:44.003
Když máme
stacionární bod...

00:08:44.003 --> 00:08:48.958
Předpokládejme, že funkce je konkávní a
diferencovatelná na celém tomto intervalu.

00:08:48.958 --> 00:08:52.268
Ve stacionárním bodě
bude sklon roven nule,

00:08:52.268 --> 00:08:54.698
takže to je
tento bod.

00:08:54.698 --> 00:09:02.200
Když máme konkávní funkci a bod ‚a‘,
ve kterém je derivace rovna nula,

00:09:02.200 --> 00:09:11.392
tak je bod ‚a‘
bodem lokálního maxima.

00:09:11.392 --> 00:09:14.146
Podobně to platí i tehdy,
když je funkce konvexní,

00:09:14.146 --> 00:09:17.106
což znamená,
že její graf vypadá nějak takto.

00:09:17.106 --> 00:09:18.837
Pokud jsme našli
nějaký bod...

00:09:18.837 --> 00:09:22.648
Stacionární bod může být samozřejmě také
bod, ve kterém derivace není definovaná,

00:09:22.648 --> 00:09:26.436
ale když předpokládáme,
že první i druhá derivace jsou definované,

00:09:26.436 --> 00:09:31.222
tak bude stacionárním bodem ten bod,
ve kterém je první derivace rovna nule,

00:09:31.222 --> 00:09:35.022
neboli pro který platí,
že f s čárkou v bodě ‚a‘ se rovná nule.

00:09:35.022 --> 00:09:38.092
Když je f s čárkou
v bodě ‚a‘ rovno nule

00:09:38.092 --> 00:09:42.010
a funkce je na intervalu
okolo bodu ‚a‘ konvexní,

00:09:42.010 --> 00:09:44.360
tedy když je
druhá derivace větší než 0,

00:09:44.360 --> 00:09:49.585
tak je celkem zřejmé,
že se jedná o lokální minimum,

00:09:49.585 --> 00:09:53.505
tedy že funkce má v bodě ‚a‘
svoje lokální minimum.