1
00:00:00,369 --> 00:00:04,191
Máme tady žlutě nakreslený
graf funkce y rovná se f(x).

2
00:00:04,191 --> 00:00:09,228
Dále tu je světle fialový graf funkce
y rovná se derivace f,

3
00:00:09,228 --> 00:00:10,778
tedy y rovná se
f(x) s čárkou,

4
00:00:10,778 --> 00:00:15,659
a poté je tu v modré barvě graf funkce
y rovná se druhá derivace f.

5
00:00:15,659 --> 00:00:21,437
Toto je tedy derivace
téhle první derivace.

6
00:00:21,437 --> 00:00:25,385
Už jsme viděli, jak lze najít lokální 
minima a maxima funkce.

7
00:00:25,385 --> 00:00:27,203
Samozřejmě, pokud před
sebou máme graf,

8
00:00:27,203 --> 00:00:31,443
tak lehce poznáme, že zde má
funkce lokální maximum.

9
00:00:31,443 --> 00:00:34,369
Funkce pak dále může
nabývat ještě vyšších hodnot.

10
00:00:34,369 --> 00:00:37,463
Rovněž snadno nahlédneme,
že zde má funkce lokální minimum.

11
00:00:37,463 --> 00:00:40,313
Funkce pak tady může
nabývat ještě nižších hodnot.

12
00:00:40,313 --> 00:00:42,649
Viděli jsme ale, že i když
před sebou nemáme graf,

13
00:00:42,649 --> 00:00:45,419
ale máme předpis funkce,
který jsme schopni zderivovat,

14
00:00:45,419 --> 00:00:46,139
tak můžeme...

15
00:00:46,139 --> 00:00:48,089
Možná i když funkci
nedokážeme zderivovat.

16
00:00:48,089 --> 00:00:51,522
...tak můžeme zjistit, že tohle jsou body
lokálního minima nebo maxima.

17
00:00:51,522 --> 00:00:54,950
Dělali jsme to tak, že jsme nejprve
našli stacionární body funkce.

18
00:00:54,950 --> 00:01:00,100
To jsou body, ve kterých derivace funkce
buď není definovaná, nebo se rovná nule.

19
00:01:00,100 --> 00:01:01,912
Tohle je derivace
naší funkce.

20
00:01:01,912 --> 00:01:05,751
Nule se rovná tady a tady,
takže to budou stacionární body.

21
00:01:05,751 --> 00:01:10,501
Nevidím žádný bod,
ve kterém by derivace nebyla definovaná.

22
00:01:10,501 --> 00:01:15,374
Tyto dva body jsou
tedy stacionární body.

23
00:01:15,374 --> 00:01:22,009
Jde o podezřelé body, ve kterých má funkce
nejspíš lokální minimum nebo maximum.

24
00:01:22,009 --> 00:01:25,030
Zda jde o lokální minimum
nebo maximum jsme zjistili tak,

25
00:01:25,030 --> 00:01:29,061
že jsme se podívali na chování
derivace na okolí daného bodu.

26
00:01:29,061 --> 00:01:41,121
V tomto případě vidíme, že derivace
je kladná, když se k bodu blížíme zleva,

27
00:01:41,121 --> 00:01:42,691
a pak se
stává zápornou.

28
00:01:42,691 --> 00:01:46,404
Derivace se tedy změnila z kladné na
zápornou při průchodu tímto bodem,

29
00:01:46,404 --> 00:01:49,205
což znamená,
že funkce byla rostoucí...

30
00:01:49,205 --> 00:01:53,649
Derivace je kladná, takže funkce roste,
jak se k bodu blížíme zleva,

31
00:01:53,649 --> 00:01:56,139
a pak funkce klesá,
jak jdeme napravo od tohoto bodu.

32
00:01:56,139 --> 00:01:59,050
To znamená, že jde o bod
lokálního maxima.

33
00:01:59,050 --> 00:02:02,613
Když se k bodu blížíme zleva, funkce
roste, a když jdeme doprava, tak klesá.

34
00:02:02,613 --> 00:02:06,375
Tohle je tedy určitě
lokální maximum.

35
00:02:06,375 --> 00:02:12,752
Podobně, když se podíváme sem,
tak vidíme, že derivace je záporná,

36
00:02:12,752 --> 00:02:17,307
jak se k tomu bodu blížíme zleva,
což znamená, že funkce klesá.

37
00:02:17,307 --> 00:02:20,920
Vidíme, že když jdeme od tohoto
bodu doprava, tak je derivace kladná.

38
00:02:20,920 --> 00:02:24,178
Derivace se změnila
ze záporné na kladnou,

39
00:02:24,178 --> 00:02:29,228
což znamená, že funkce se v tomto bodě
změnila z klesající na rostoucí,

40
00:02:29,228 --> 00:02:38,474
což nám říká, že v tomto stacionárním
bodě má funkce lokální minimum.

41
00:02:38,474 --> 00:02:46,533
Rád bych teď naše znalosti
rozšířil o konvexitu funkce.

42
00:02:46,533 --> 00:02:49,774
Vím, že to možná
špatně vyslovuji.

43
00:02:49,774 --> 00:02:54,212
Abychom pochopili konvexitu funkce,
podívejme se na druhou derivaci a na to,

44
00:02:54,212 --> 00:02:57,556
jak díky ní namísto těchto změn
při průchodu bodem poznáme,

45
00:02:57,556 --> 00:03:01,206
zda má funkce v daném bodě
lokální minimum nebo maximum.

46
00:03:01,206 --> 00:03:04,286
Zamysleme se nejdřív,
co se děje v této části grafu.

47
00:03:04,286 --> 00:03:10,279
Máme tu část křivky, která vypadá trochu
jako oblouk, jenž se otevírá směrem dolů.

48
00:03:10,279 --> 00:03:13,743
Vypadá to trochu jako A bez čáry
uprostřed nebo jako obrácené U.

49
00:03:13,743 --> 00:03:19,852
Pak se podíváme na to, co se děje v této
části, kde má křivka tvar písmene U.

50
00:03:19,852 --> 00:03:25,473
Když začneme v tomto prvním intervalu,
vidíme, že je sklon velmi...

51
00:03:25,473 --> 00:03:30,034
Udělám to tou samou barvou,
kterou jsem použil pro derivaci.

52
00:03:30,034 --> 00:03:33,080
...sklon je velmi kladný.

53
00:03:33,080 --> 00:03:42,940
Poté je čím dál tím míň kladný,
až se nakonec rovná nule,

54
00:03:42,940 --> 00:03:50,968
načež neustále klesá a stává se
trochu záporným, pak je víc a víc záporný

55
00:03:50,968 --> 00:03:56,401
a nakonec někde
tady přestává klesat.

56
00:03:56,401 --> 00:03:58,107
Sklon funkce tady
přestane klesat.

57
00:03:58,107 --> 00:03:59,517
Vidíme to i
na grafu derivace.

58
00:03:59,517 --> 00:04:02,818
Sklon klesá a klesá
až do tohoto bodu,

59
00:04:02,818 --> 00:04:04,810
načež začíná růst.

60
00:04:04,810 --> 00:04:18,517
V celé této části tedy
sklon funkce klesá.

61
00:04:18,517 --> 00:04:21,010
Vidíme to i
v grafu derivace.

62
00:04:21,010 --> 00:04:27,230
Derivace na celém
tomto intervalu klesá.

63
00:04:27,230 --> 00:04:29,569
Co vidíme, když se podíváme
na druhou derivaci?

64
00:04:29,569 --> 00:04:31,469
Když první
derivace klesá,

65
00:04:31,469 --> 00:04:34,919
tak je druhá derivace,
tedy derivace derivace, záporná.

66
00:04:34,919 --> 00:04:38,149
Vidíme, že to tak
opravdu je.

67
00:04:38,149 --> 00:04:45,617
Na celém tomto intervalu je
druhá derivace skutečně záporná.

68
00:04:45,617 --> 00:04:51,087
Co se teď stane, když přejdeme do
části, kde křivka vypadá jako U?

69
00:04:51,087 --> 00:04:57,567
Zde je derivace poměrně záporná,
ale pak se začíná...

70
00:04:57,567 --> 00:05:04,544
Sice je pořád záporná, ale stává se
čím dál tím méně zápornou,

71
00:05:04,544 --> 00:05:07,924
až se nakonec
v tomto bodě rovná nule,

72
00:05:07,924 --> 00:05:12,783
načež je stále více kladná,
jak je tady vidět.

73
00:05:12,783 --> 00:05:18,401
Na celém tomhle intervalu
sklon funkce, tedy její derivace, roste.

74
00:05:18,401 --> 00:05:24,944
Sklon roste.

75
00:05:24,944 --> 00:05:27,464
Můžeme zde vidět,
že v tomhle bodě je sklon nulový.

76
00:05:27,464 --> 00:05:32,210
Sklon derivace je nula, samotná
derivace se v tuto chvíli nemění.

77
00:05:32,210 --> 00:05:37,007
Následně vidíme,
že sklon roste.

78
00:05:37,007 --> 00:05:40,766
Opět se můžeme podívat, jak bude vypadat
druhá derivace, tedy derivace derivace.

79
00:05:40,766 --> 00:05:44,571
Když je první derivace rostoucí,
druhá derivace musí být kladná.

80
00:05:44,571 --> 00:05:49,070
Druhá derivace je
zde skutečně kladná.

81
00:05:49,070 --> 00:05:51,877
Existuje speciální název
pro části grafu,

82
00:05:51,877 --> 00:05:55,275
které vypadají jako převrácené
nebo normální písmeno U.

83
00:05:55,275 --> 00:06:07,978
Řekneme, že v této části
je funkce konkávní

84
00:06:07,978 --> 00:06:13,168
a že zde je funkce
konvexní.

85
00:06:13,168 --> 00:06:18,530
Pojďme si zopakovat, jak určíme intervaly,
na kterých je funkce konkávní či konvexní.

86
00:06:18,530 --> 00:06:27,646
Když máme interval, na kterém je
funkce konkávní, tak vidíme několik věcí.

87
00:06:27,646 --> 00:06:37,479
Vidíme, že sklon
funkce je klesající,

88
00:06:37,479 --> 00:06:51,677
což je totéž jako říci,
že derivace funkce f je klesající,

89
00:06:51,677 --> 00:06:55,336
a to jinak řečeno znamená,
že druhá derivace musí být záporná.

90
00:06:55,336 --> 00:07:00,043
Jestliže první derivace klesá,
druhá derivace musí být záporná.

91
00:07:00,043 --> 00:07:01,927
Tohle je tedy
totéž jako říci,

92
00:07:01,927 --> 00:07:07,887
že druhá derivace musí být
na daném intervalu záporná.

93
00:07:07,887 --> 00:07:10,899
Je-li tedy
druhá derivace záporná,

94
00:07:10,899 --> 00:07:14,030
tak je funkce na
daném intervalu konkávní.

95
00:07:14,030 --> 00:07:16,590
Obdobně...

96
00:07:16,590 --> 00:07:18,230
Dělá mi potíže
to slovo vyslovit.

97
00:07:18,230 --> 00:07:21,523
...obdobně se podívejme na interval,
na němž je funkce konvexní,

98
00:07:21,523 --> 00:07:23,774
tedy kde má graf
funkce tvar U.

99
00:07:23,774 --> 00:07:25,534
Konvexní.

100
00:07:25,534 --> 00:07:28,224
Na těchto intervalech
je sklon rostoucí.

101
00:07:28,224 --> 00:07:31,556
Sklon je záporný, pak méně záporný,
ještě méně záporný, nulový, kladný,

102
00:07:31,556 --> 00:07:33,983
kladnější,
ještě kladnější...

103
00:07:33,983 --> 00:07:41,823
Sklon je
tedy rostoucí,

104
00:07:41,823 --> 00:07:50,667
což znamená, že derivace
funkce je rostoucí.

105
00:07:50,667 --> 00:07:52,646
To můžeme
vidět zde.

106
00:07:52,646 --> 00:07:55,486
Hodnota derivace roste.

107
00:07:55,486 --> 00:07:56,783
Tohle pak znamená,

108
00:07:56,783 --> 00:08:03,353
že na intervalu, kde je funkce konvexní,
musí být druhá derivace větší než nula.

109
00:08:03,353 --> 00:08:07,440
Když je druhá derivace větší než nula,
tak je první derivace rostoucí,

110
00:08:07,440 --> 00:08:09,215
a tudíž i sklon
funkce je rostoucí.

111
00:08:09,215 --> 00:08:14,575
Funkce je na daném
intervalu konvexní.

112
00:08:14,575 --> 00:08:20,067
Když už jsme si teď zadefinovali,
kdy je funkce konkávní a konvexní,

113
00:08:20,067 --> 00:08:22,077
dokážeme vymyslet
jiný způsob, jak zjistit,

114
00:08:22,077 --> 00:08:26,250
zda má funkce v stacionárním bodě
lokální minimum nebo maximum?

115
00:08:26,250 --> 00:08:28,365
Když má funkce
lokální maximum...

116
00:08:28,365 --> 00:08:34,395
Máme-li stacionární bod,
okolo něhož je funkce konkávní,

117
00:08:34,405 --> 00:08:35,898
tak jde o bod
lokálního maxima.

118
00:08:35,898 --> 00:08:37,158
Funkce musí
být konkávní.

119
00:08:37,163 --> 00:08:38,068
Ještě to
ujasním.

120
00:08:38,068 --> 00:08:42,575
Konkávní znamená,
že graf se takhle otevírá dolů.

121
00:08:42,575 --> 00:08:44,003
Když máme
stacionární bod...

122
00:08:44,003 --> 00:08:48,958
Předpokládejme, že funkce je konkávní a
diferencovatelná na celém tomto intervalu.

123
00:08:48,958 --> 00:08:52,268
Ve stacionárním bodě
bude sklon roven nule,

124
00:08:52,268 --> 00:08:54,698
takže to je
tento bod.

125
00:08:54,698 --> 00:09:02,200
Když máme konkávní funkci a bod ‚a‘,
ve kterém je derivace rovna nula,

126
00:09:02,200 --> 00:09:11,392
tak je bod ‚a‘
bodem lokálního maxima.

127
00:09:11,392 --> 00:09:14,146
Podobně to platí i tehdy,
když je funkce konvexní,

128
00:09:14,146 --> 00:09:17,106
což znamená,
že její graf vypadá nějak takto.

129
00:09:17,106 --> 00:09:18,837
Pokud jsme našli
nějaký bod...

130
00:09:18,837 --> 00:09:22,648
Stacionární bod může být samozřejmě také
bod, ve kterém derivace není definovaná,

131
00:09:22,648 --> 00:09:26,436
ale když předpokládáme,
že první i druhá derivace jsou definované,

132
00:09:26,436 --> 00:09:31,222
tak bude stacionárním bodem ten bod,
ve kterém je první derivace rovna nule,

133
00:09:31,222 --> 00:09:35,022
neboli pro který platí,
že f s čárkou v bodě ‚a‘ se rovná nule.

134
00:09:35,022 --> 00:09:38,092
Když je f s čárkou
v bodě ‚a‘ rovno nule

135
00:09:38,092 --> 00:09:42,010
a funkce je na intervalu
okolo bodu ‚a‘ konvexní,

136
00:09:42,010 --> 00:09:44,360
tedy když je
druhá derivace větší než 0,

137
00:09:44,360 --> 00:09:49,585
tak je celkem zřejmé,
že se jedná o lokální minimum,

138
00:09:49,585 --> 00:09:53,505
tedy že funkce má v bodě ‚a‘
svoje lokální minimum.