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Mi è stato chiesto di fornire una qualche intuizione sul perché, diciamo,
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a alla -b è uguale ad 1/a alla b.
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E prima che te ne dia l'intuizione
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voglio che tu capisca è davvero solo una definizione.
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Non lo so.
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L'inventore della matematica non era una persona sola.
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E' stata, sai, una convenzione che è venuta vuori.
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Ma l'hanno definito cosi'
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e l'hanno definito per le ragioni che sto per mostrarti.
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Bene, quello che sto per mostrarti è uno dei motivi
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e poi vedremo che è una buona definizione,
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perché una volta che impari le regole sugli esponenti tutte le altre regole restano coerenti per gli esponenti negativi
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e per quando elevi qualcosa alla potenza di zero.
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Quindi prendiamo gli esponenti positivi.
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Questi sono abbastanza intuitivi, credo.
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Quindi gli esponenti positivi: hai a alla 1, a al quadrato,
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a al cubo, a alla quarta.
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Quanto fa a^1? a^1, abbiamo detto, fa a.
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Poi per arrivare ad a al quadrato, che cosa abbiamo fatto?
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Abbiamo moltiplicato per una a, giusto?
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a al quadrato è semplicemente a x a.
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E poi per arrivare ad a al cubo, che cosa abbiamo fatto?
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Abbiamo moltiplicato di nuovo per a.
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E poi per arrivare ad a alla quarta, che cosa abbiamo fatto?
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Abbiamo moltiplicato di nuovo per a.
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Oppure il contrario, puoi immaginarlo, è quando diminuisci l'esponente. Cosa stiamo facendo?
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Stiamo moltiplicando per 1/a, o dividendo per a.
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E allo stesso modo, diminuisci di nuovo, stai dividendo per a.
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E per passare da a al quadrato ad a alla prima stai dividendo per a.
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Quindi utilizziamo questa progressione per capire quanto fa a alla zero.
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Quindi questo è il primo difficile.
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Quindi a alla zero.
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Quindi tu sei l'inventore, il padre fondatore della matematica
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e devi definire quanto fa 1 alla zero.
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E, sai, magari fa diciassette, magari fa P greco.
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Non lo so.
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Sta a te decidere quanto fa a alla zero.
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Ma non sarebbe bello se per lo zero mantenessi questo schema?
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Che ogni volta che diminuisci l'esponente, dividi per a, giusto?
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Quindi, se vai da a alla prima ad a alla zero,
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non sarebbe bello se dividessimo semplicemente per a?
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Quindi facciamolo.
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Quindi, se andiamo da a alla prima, che è solo a,
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e dividiamo per a,
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giusto, quindi stiamo solo --- lo stiamo solo dividendo per a.
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Quanto fa a diviso a?
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Beh, fa 1.
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Ecco dove la definizione ---
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o questa è una delle intuizioni che sta dietro al perchè qualcosa alla potenza di zero è uguale a 1.
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Perché quando prendi quel numero
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e lo dividi ancora una volta per se' stesso ottieni semplicemente 1.
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Ecco, questo è abbastanza ragionevole,
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ma ora andiamo nel dominio dei negativi.
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Quindi, a quanto dovrebbe essere uguale a alla -1?
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Beh, ancora una volta, sarebbe bello se riuscissimo a mantenere questo schema,
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dove ogni volta che diminuiamo l'esponente dividiamo per a.
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Quindi cerchiamo di dividere di nuovo, quindi 1 su a.
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Percio' prendiamo a alla 0 e lo dividiamo per a.
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a alla zero fa 1, quindi quanto fa 1 diviso a?
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Fa 1/a.
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Ora, facciamolo di nuovo
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e poi penso che capirai lo schema.
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Beh, penso che probabilmente già capito lo schema.
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Quanto fa a^-2?
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Beh, vogliamo --- sai, sarebbe sciocco cambiare lo schema ora.
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Ogni volta che diminuiamo l'esponente dividiamo per a.
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Quindi per andare da a^-1 ad a^-2
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dividiamo semplicemente di nuovo.
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E cosa otteniamo?
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Se prendi 1/a e lo dividi per a, ottieni 1 su a al quadrato.
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E potresti continuare con questo schema ancora e ancora
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e otterresti che a^-b è uguale a 1/a^b.
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Spero che che questo ti abbia dato un po' di intuizione sul perche' ---
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beh, prima di tutto, sai, il grande mistero, sai,
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qualcosa alla potenza di zero, perché fa 1?
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In primo luogo tieni presente che è solo una definizione.
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Qualcuno ha deciso che debba essere uguale a 1, ma avevano una buona ragione.
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E la loro buona ragione era che volevano mantenere questo schema.
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E questo è lo stesso motivo per cui hanno definito gli esponenti negativi in questo modo.
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E la cosa superfica
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e' che non solo mantiene questo schema che quando diminuisci gli esponenti dividi per a,
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o quando aumenti esponenti moltiplichi per a,
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ma, come vedrai nel video sulle regole degli esponenti, tutte le regole tengono.
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Tutte le regole sugli esponenti sono coerenti con questa definizione di qualcosa alla potenza di zero
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e con questa definizione di qualcosa alla potenza negativa.
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Speriamo che non ti abbia confuso
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e ti abbia dato un po' di intuizione e demistificato qualcosa che, francamente,
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è abbastanza sconcertante la prima volta che la impari.
