Mi è stato chiesto di fornire una qualche intuizione sul perché, diciamo,
a alla -b è uguale ad 1/a alla b.
E prima che te ne dia l'intuizione
voglio che tu capisca è davvero solo una definizione.
Non lo so.
L'inventore della matematica non era una persona sola.
E' stata, sai, una convenzione che è venuta vuori.
Ma l'hanno definito cosi'
e l'hanno definito per le ragioni che sto per mostrarti.
Bene, quello che sto per mostrarti è uno dei motivi
e poi vedremo che è una buona definizione,
perché una volta che impari le regole sugli esponenti tutte le altre regole restano coerenti per gli esponenti negativi
e per quando elevi qualcosa alla potenza di zero.
Quindi prendiamo gli esponenti positivi.
Questi sono abbastanza intuitivi, credo.
Quindi gli esponenti positivi: hai a alla 1, a al quadrato,
a al cubo, a alla quarta.
Quanto fa a^1? a^1, abbiamo detto, fa a.
Poi per arrivare ad a al quadrato, che cosa abbiamo fatto?
Abbiamo moltiplicato per una a, giusto?
a al quadrato è semplicemente a x a.
E poi per arrivare ad a al cubo, che cosa abbiamo fatto?
Abbiamo moltiplicato di nuovo per a.
E poi per arrivare ad a alla quarta, che cosa abbiamo fatto?
Abbiamo moltiplicato di nuovo per a.
Oppure il contrario, puoi immaginarlo, è quando diminuisci l'esponente. Cosa stiamo facendo?
Stiamo moltiplicando per 1/a, o dividendo per a.
E allo stesso modo, diminuisci di nuovo, stai dividendo per a.
E per passare da a al quadrato ad a alla prima stai dividendo per a.
Quindi utilizziamo questa progressione per capire quanto fa a alla zero.
Quindi questo è il primo difficile.
Quindi a alla zero.
Quindi tu sei l'inventore, il padre fondatore della matematica
e devi definire quanto fa 1 alla zero.
E, sai, magari fa diciassette, magari fa P greco.
Non lo so.
Sta a te decidere quanto fa a alla zero.
Ma non sarebbe bello se per lo zero mantenessi questo schema?
Che ogni volta che diminuisci l'esponente, dividi per a, giusto?
Quindi, se vai da a alla prima ad a alla zero,
non sarebbe bello se dividessimo semplicemente per a?
Quindi facciamolo.
Quindi, se andiamo da a alla prima, che è solo a,
e dividiamo per a,
giusto, quindi stiamo solo --- lo stiamo solo dividendo per a.
Quanto fa a diviso a?
Beh, fa 1.
Ecco dove la definizione ---
o questa è una delle intuizioni che sta dietro al perchè qualcosa alla potenza di zero è uguale a 1.
Perché quando prendi quel numero
e lo dividi ancora una volta per se' stesso ottieni semplicemente 1.
Ecco, questo è abbastanza ragionevole,
ma ora andiamo nel dominio dei negativi.
Quindi, a quanto dovrebbe essere uguale a alla -1?
Beh, ancora una volta, sarebbe bello se riuscissimo a mantenere questo schema,
dove ogni volta che diminuiamo l'esponente dividiamo per a.
Quindi cerchiamo di dividere di nuovo, quindi 1 su a.
Percio' prendiamo a alla 0 e lo dividiamo per a.
a alla zero fa 1, quindi quanto fa 1 diviso a?
Fa 1/a.
Ora, facciamolo di nuovo
e poi penso che capirai lo schema.
Beh, penso che probabilmente già capito lo schema.
Quanto fa a^-2?
Beh, vogliamo --- sai, sarebbe sciocco cambiare lo schema ora.
Ogni volta che diminuiamo l'esponente dividiamo per a.
Quindi per andare da a^-1 ad a^-2
dividiamo semplicemente di nuovo.
E cosa otteniamo?
Se prendi 1/a e lo dividi per a, ottieni 1 su a al quadrato.
E potresti continuare con questo schema ancora e ancora
e otterresti che a^-b è uguale a 1/a^b.
Spero che che questo ti abbia dato un po' di intuizione sul perche' ---
beh, prima di tutto, sai, il grande mistero, sai,
qualcosa alla potenza di zero, perché fa 1?
In primo luogo tieni presente che è solo una definizione.
Qualcuno ha deciso che debba essere uguale a 1, ma avevano una buona ragione.
E la loro buona ragione era che volevano mantenere questo schema.
E questo è lo stesso motivo per cui hanno definito gli esponenti negativi in questo modo.
E la cosa superfica
e' che non solo mantiene questo schema che quando diminuisci gli esponenti dividi per a,
o quando aumenti esponenti moltiplichi per a,
ma, come vedrai nel video sulle regole degli esponenti, tutte le regole tengono.
Tutte le regole sugli esponenti sono coerenti con questa definizione di qualcosa alla potenza di zero
e con questa definizione di qualcosa alla potenza negativa.
Speriamo che non ti abbia confuso
e ti abbia dato un po' di intuizione e demistificato qualcosa che, francamente,
è abbastanza sconcertante la prima volta che la impari.