શિર્ષક : રૂણ ઘાત નું અંતરજ્ઞાન

Intuition on why a^-b = 1/(a^b) (and why a^0 =1)

હું થોડા અંતરજ્ઞાન વાત કરૂ , ચાલો કહું શા માટે,

એ ની રૂણ બી ઘાત બરાબર ૧ ના છેદમાં એ ની બી થાય.

અને હું તમને તેની સમજ આપૌં તે પહેલા ,

હું તમને માત્ર આજ તેની સાચી વ્યાખ્યા છે તેનો આભાષ કરાવવા માગું છું

હું જાણતો નથી .

ગણીત નો શોધક કોઇ એક વ્યકતિ નહોતો

તે તમે જાણો છો , તેમ એક સંમેલન છે જે સમયાંતરે વિકસ્યું છે .

આ વ્યાખ્યાયિત કરવાથી

અને તેઓ આને કયા કારણ થી વ્યાખ્યાયિત કરશે તે હું તમને બતાવવા જઇ રહ્યો છું

સારૂ, હું તમને જે દેખાડવા જઇ રહ્યો છું તે આમાંનું એક કારણ છે .

અંને પછી તમે સારી રિતે જોઇ શકો છો કે આ એક સારી વ્યાખ્યા છે.

કારણ કે તમે એક વખત ઘાતના નિયમો શીખી લો , બીજા બધા ઘાતના નિયમો રૂણ ઘાત માટે રહે છે સતત

અને જ્યારે તમે કોઇ સંખ્યાની ૦ (શુન્ય) ઘાત લો પછી.

તો ચાલો આપણે ઘન પૂર્ણાંક વિશે વિચારીએ

આ સરસ અંતરજ્ઞાન છે. , હું વિચારૂ

તો ધન ઘાતો , તેથી તમારી પાસે એક , વર્ગ

ઘન , અ ની ચાર ઘાત છે.

એ ની ૧ ઘાત બરાબર કેટલા? અએ ની એક ઘાત આપણે કહેવ શકીએ.

અને પછી તેનો વર્ગ મેણવવા શું કરવું ?

આપણે એ વડે ગુનીશું, ખરૂ ને !

વર્ગ એટલે ફજક્ત એ ગુણ્યા એ

અને પછી તેનો ઘન, આપણે ધુ કરીશુ ?

આપણે ફરીથી એ વડે ગુણીશું

અને પછી ચાર ઘાત મેળવવા , આપણે શું કરશું ?

આપણે ફરીથી એ વડે ગુણીશું .

અથવા બીજી રીતે , તમે કલ્પના કરી શકો , જ્યારે તમે ઘાત ને ઘટાડો ત્યારે, આપણે શું કરીએ છીએ ?

આપણે ૧ ના છેદ માં એ વડે ગુણીશું અથવા અ વડે ભાગીશું .

અને આજ પ્રમાણે , તમે ફરી એક્વાર ઘટડો , તો ફરી એક્વાર એ વડે ભાગો .

અને વર્ગ માંથી a ની એક ઘાત કરતા , તમે a વડે ભાગો છો .

તો ચાલો આપણે આ પ્રમાણે a ની ૦ (શુન્ય) ઘાત બરાબર કેટલા થાય .

તો પહેલો અઘરો દાખલો.

તો a ની ૦ (શુન્ય) ઘાત

તો તમે શોધ કરી, ગણીત ની શોધમાતા,

અને તમારે તે વ્યાખ્યાયિત કરવાનું છે કે a ની ૦(શુન્ય) ની કીંમત શું થાય ?

અને, તમે જાણો છો, તે કદાચ સત્તર , તે કદાચ પાઇ હશે.

હું નથી જાણતો

a ની ૦ (શુન્ય) ઘાત બરાબર કેટલા થાય તે તમારા પ્રર મૂંકું છું.

પણ જો a ની ૦ (શુન્ય) ઘાત ને આ રીતે આગળ કરીશુ તો તે કામ કરશે નહિં ?

અહિં તમે દરેક વખતે જે ઘાત ઘટાડો છો ત્યારે , તેને a વડે ભાગો છો , ખરૂને ?

તો, જો તમે a ની ૧ ઘાત માંથી a ની ૦ (શુન્ય) કરતા,

તેને ફ્ક્ત a વડે ભાગવાથી કામ કરશે ?

તો ચાલો આપણે તે કરીએ .

તો જો આપણે a ની ૧ ઘાત લેતા, જે ફક્ત a છે.

અને a વડે ભાગતા ,

ખરૂ, તો આપણે a વડે ભાગતા-- આપણે ફક્ત a વડે ભાગવા જઇ રહ્યા છીએ .

a વડે ભાગવું એટલે શું ?

સારૂ, તે ફક્ત ૧ રહેશે .

તો જ્યાં આ વ્યાખ્યા --

અથવા આ એક ગમેતે સંખ્યા ની ૦ (શુન્ય )ઘાત બરાબર ૧ કેમ થાય તેની સમજ છે.

કારણ કે તમે જ્યારે આ સંખ્યા લેશો

અને તેને તેજ સંખ્યા વડે એક વધારે વખત ભાગતા, તમે માત્ર એક મેળવશો .

તો આ થોડું વ્યાજબી છે,

પણ ચાલો આપણે રૂણ પ્રદેશ માં જઇએ.

તો a ને -૧ ઘાત બરાબર કેટલા થશે ?

સારૂ, ફરી એક વખત, જો આપણે આ રીત થી ,

જ્યાં દરેક વખતે આપણે a ની ઘાત ને ઘટાડવા આપણે તેને a વડે ભાગીએ છીએ.

તો ચાલો ફરી એક વાર a વડે ભાગીએ , તો ૧ ના છેદમાં a મળશે .

તો આપણે a ની 0 (શુન્ય) ઘાત કરવા તેને a વડે ભાગતા.

a ની ૦ (શુન્ય) ઘાત બરાબર ૧ થાય , તો ૧ ને a વડે ભાગતા શું થાય ?

તે ૧ ના છેદ માં a થાય.

હવે, તે આપણે એક વધારે વખત કરીએ ,

અને પછી હું વિચારી શકું છું કે તમને તેની સમજ (તેનો ઢાંચો) પડી હશે .

સારૂ, તમને કદાચ અગાઉથી જ તેની સમજ પડી હશે.

a ની -૨ ઘાત બરાબર કેટલા થાય?

સારૂ, આપણે ઇચ્છીએ -- તમે જાણો છો, આ રીતે બદલવી તે મૂર્ખામી છે.

દરેક વખતે આપણે ઘાત ને ઘટાડવા, આપણે a વડે ભાગીએ છીએ.

તો a ની -૧ , a ની -૨ ઘાત એમ આગળ વધતા,

ચાલો ફરીથી a વડે ભાગીએ

અને આપણે શું મેળવીશું ?

જો તમે ૧ ના છેદ માં a લેતા અને a વડે ભાગતા, તમને ૧ ના છેદ માં a વર્ગ મળશે .

અને તમે જો આ પ્રમાણે ડાબી બાજું આગળ જશો તો

તમને a ની -b બરાબર ૧ ના છેદમાં a ની b ઘાત મળશે .

આશા રાખું છું કે , તે તને આવુ શા માટે થાય છે તેની સમજ આપશે --

સારૂ , સૌ પ્રથમ , તમે જાણો છો, મોટું રહસ્ય શું છે. તમે જાણો છો ,

કોઇ સંખ્યા ની શુન્ય ઘાત બરાબર, શા માટે ૧ થાય ?

સૌ પ્રથમ, એક વાત યાદ રાખો કે આ માત્ર વ્યાખ્યા જ છે.

કોઇકે આ નક્કી કર્યું છે કે તેના બરાબર ૧ થશે. પણ તેની પાસે ખાસ કારણ હતું

અને તેના આ કાર્ણો થી જ આ રીત કામ કરે છે .

અને આજ કારણસર રૂણ ઘાત ને તેઓએ વ્યાખ્યાયીત કરી હશે.

અને તેના વિશે વિષેશ અગત્યનું

જ્યારે તમે ઘાતનો ઘટાડો કરોછો ત્યારે a વડે ભાગો છો

અથવા જ્યારે તમે ઘાતને વધારો ત્યારે a વડે ગુંણો તે છે.

પણ તમે ઘાતના નિયમો ની વીડીયો જોશો તે પ્રમાણે , બધાજ ઘાતના નિયમો

બધાજ ઘાતના નિયમો કોઇ સંખ્યાની ૦ (શુન્ય) ઘાત ની વ્યાખ્યા સાથે સુંસંગત છે .

અને આ વ્યાખ્યા જ કોઇ સંખ્યાની રૂણ ઘાત ની વ્યાખ્યા છે,

આશા રાખું છું કે , આ તમને મૂઝવશે નહી .

અને તમને તેની અંતર સમજ અને કંઇક રહ્સ્ય છતું કર્યુ છે . પ્રામાણિકતા થી

તે પહેલી વખત શીખતા તદ્દન રહસ્યમય લાગશે.