2003 AIME II Problem 1

Ezt a feladatot a 2003-as AIME vizsgáról szereztem, a rövidítés az Amerikai Meghívó Matematikai Vizsgát jelent, és igazából ez az első feladat ezen a vizsgán.

3 pozitív egész szám n összege 6-szor annyi, mint az összegük, és az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

Keressük meg az összes lehetséges n érték összegét!

Tehát 3 pozitív egész számmal kell dolgoznunk.

Van itt három pozitív egész számunk felírva.

Ha erről a három egész számról gondolkozunk, hívjuk őket csak a-nak, b-nek és c-nek.

Ezek pozitívak és egész számok.

Ennek a három pozitív egész számnak az N értéke.

A-szor b-szer c az egyenlő N-nel, ez 6-szor ezeknek az összege.

Ez egyenlő 6-szor az összegükkel.

Hadd használjak egy másik színt.

Ez az értékük.

A három pozitív egész szám N értéke tehát hatszor annyi, mint az összegük.

Ez egyenlő 6-szor ezeknek az egész számoknak az összegével.

A plusz b plusz c, és az egyik egész szám a másik kettő összegével egyenlő.

Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

Legyen mondjuk ez a c, ami az a és a b összege!

Teljesen mindegy, Ez csak egy betűjelzés.

Meg kell állapítanunk, hogy az egyik nagyobb vagy kisebb, mint a másik.

Megállapítottuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel. Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

C az a és b összege. Keressük meg az N összes lehetséges értékének összegét!

Megpróbáljuk leegyszerűsíteni az információkat, amiket kaptunk.

Lehet, hogy fel is tudunk fedezni valamilyen kapcsolatot a számok között, amik lehetségesek.

Tudjuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel.

Kicserélhetjük a c-t, a plus b-vel.

Ez a felírt kifejezés itt ab lesz, ami a-szor b-szer c.

De c helyett a plusz b-t írok. A plusz b.

És aztán ez egyenlő 6-szor a plusz b plusz c-vel.

És még egyszer így.

Átírom a c-t a-szor b-re.

És aztán mi lesz ez?

A jobb oldalon 6-szor a plusz b plusz b plusz a plusz b van.

Ez annyi, mint 6-szor 2a plusz 2b, csak az a-kat és a b-ket összeadtuk.

Elvégezhetjük a 2-vel való szorzást, ez ugyanaz, mintha megszabadulnánk a 2-től.

6-szor 2 az 12 szorozva a plusz b-vel.

A bal oldalon itt mlg mindig b vagy ab szorozva a plusz b van.

Tehát ab szorozva a plusz b-vel, ennek egyenlőnek kell lennie 12-szer a plusz b-vel.

Ez elég érdekes itt.

Eloszthatjuk mindkét oldalt a plusz b-vel.

Tudjuk, hogy az a plusz be nem lesz egyenlő, nem lehet 0-val egyenlő.

Tehát ezek a számok mind pozitív számok lesznek.

Mindkét oldalt elosztjuk és az ok, amiért említettem a 0-t,

ha nullával osztunk, akkor egy meghatározatlan választ kapnánk.

Tehát mindkét oldalt elosztjuk a plusz b-vel, a-szor b egyenlő 12-t kapunk.

Szóval minden részlet,amit megadtak nekünk, elvezetett ide,ami itt le van írva.

A és b összege 12.