1
00:00:00,000 --> 00:00:11,182
Ezt a feladatot a 2003-as AIME vizsgáról szereztem, a rövidítés az Amerikai Meghívó Matematikai Vizsgát jelent, és igazából ez az első feladat ezen a vizsgán.

2
00:00:11,182 --> 00:00:19,455
3 pozitív egész szám n összege 6-szor annyi, mint az összegük, és az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

3
00:00:19,455 --> 00:00:23,560
Keressük meg az összes lehetséges n érték összegét!

4
00:00:23,560 --> 00:00:26,798
Tehát 3 pozitív egész számmal kell dolgoznunk.

5
00:00:26,798 --> 00:00:30,698
Van itt három pozitív egész számunk felírva.

6
00:00:30,698 --> 00:00:36,011
Ha erről a három egész számról gondolkozunk, hívjuk őket csak a-nak, b-nek és c-nek.

7
00:00:36,011 --> 00:00:37,649
Ezek pozitívak és egész számok.

8
00:00:37,649 --> 00:00:40,989
Ennek a három pozitív egész számnak az N értéke.

9
00:00:40,989 --> 00:00:47,840
A-szor b-szer c az egyenlő N-nel, ez 6-szor ezeknek az összege.

10
00:00:47,840 --> 00:00:50,457
Ez egyenlő 6-szor az összegükkel.

11
00:00:50,457 --> 00:00:52,479
Hadd használjak egy másik színt.

12
00:00:52,479 --> 00:00:54,394
Ez az értékük.

13
00:00:54,394 --> 00:01:02,099
A három pozitív egész szám N értéke tehát hatszor annyi, mint az összegük.

14
00:01:02,099 --> 00:01:05,799
Ez egyenlő 6-szor ezeknek az egész számoknak az összegével.

15
00:01:05,799 --> 00:01:13,004
A plusz b plusz c, és az egyik egész szám a másik kettő összegével egyenlő.

16
00:01:13,004 --> 00:01:19,379
Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

17
00:01:19,379 --> 00:01:23,533
Legyen mondjuk ez a c, ami az a és a b összege!

18
00:01:23,533 --> 00:01:25,387
Teljesen mindegy, Ez csak egy betűjelzés.

19
00:01:25,387 --> 00:01:28,217
Meg kell állapítanunk, hogy az egyik nagyobb vagy kisebb, mint a másik.

20
00:01:28,217 --> 00:01:34,877
Megállapítottuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel. Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.

21
00:01:34,877 --> 00:01:41,781
C az a és b összege. Keressük meg az N összes lehetséges értékének összegét!

22
00:01:41,781 --> 00:01:46,773
Megpróbáljuk leegyszerűsíteni az információkat, amiket kaptunk.

23
00:01:46,773 --> 00:01:53,614
Lehet, hogy fel is tudunk fedezni valamilyen kapcsolatot a számok között, amik lehetségesek.

24
00:01:53,614 --> 00:01:56,677
Tudjuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel.

25
00:01:56,677 --> 00:02:02,292
Kicserélhetjük a c-t, a plus b-vel.

26
00:02:02,292 --> 00:02:08,680
Ez a felírt kifejezés itt ab lesz, ami a-szor b-szer c.

27
00:02:08,680 --> 00:02:14,964
De c helyett a plusz b-t írok. A plusz b.

28
00:02:14,964 --> 00:02:24,691
És aztán ez egyenlő 6-szor a plusz b plusz c-vel.

29
00:02:24,691 --> 00:02:27,410
És még egyszer így.

30
00:02:27,410 --> 00:02:31,068
Átírom a c-t a-szor b-re.

31
00:02:31,068 --> 00:02:33,451
És aztán mi lesz ez?

32
00:02:33,451 --> 00:02:37,689
A jobb oldalon 6-szor a plusz b plusz b plusz a plusz b van.

33
00:02:37,689 --> 00:02:45,285
Ez annyi, mint 6-szor 2a plusz 2b, csak az a-kat és a b-ket összeadtuk.

34
00:02:45,285 --> 00:02:49,044
Elvégezhetjük a 2-vel való szorzást, ez ugyanaz, mintha megszabadulnánk a 2-től.

35
00:02:49,044 --> 00:02:53,313
6-szor 2 az 12 szorozva a plusz b-vel.

36
00:02:53,313 --> 00:03:01,466
A bal oldalon itt mlg mindig b vagy ab szorozva a plusz b van.

37
00:03:01,466 --> 00:03:07,445
Tehát ab szorozva a plusz b-vel, ennek egyenlőnek kell lennie 12-szer a plusz b-vel.

38
00:03:07,445 --> 00:03:09,630
Ez elég érdekes itt.

39
00:03:09,630 --> 00:03:12,415
Eloszthatjuk mindkét oldalt a plusz b-vel.

40
00:03:12,415 --> 00:03:16,539
Tudjuk, hogy az a plusz be nem lesz egyenlő, nem lehet 0-val egyenlő.

41
00:03:16,539 --> 00:03:19,077
Tehát ezek a számok mind pozitív számok lesznek.

42
00:03:19,077 --> 00:03:23,402
Mindkét oldalt elosztjuk és az ok, amiért említettem a 0-t,

43
00:03:23,402 --> 00:03:27,435
ha nullával osztunk, akkor egy meghatározatlan választ kapnánk.

44
00:03:27,435 --> 00:03:33,614
Tehát mindkét oldalt elosztjuk a plusz b-vel, a-szor b egyenlő 12-t kapunk.

45
00:03:33,614 --> 00:03:38,356
Szóval minden részlet,amit megadtak nekünk, elvezetett ide,ami itt le van írva.

46
00:03:38,356 --> 00:03:41,589
A és b összege 12.