Ezt a feladatot a 2003-as AIME vizsgáról szereztem, a rövidítés az Amerikai Meghívó Matematikai Vizsgát jelent, és igazából ez az első feladat ezen a vizsgán.
3 pozitív egész szám n összege 6-szor annyi, mint az összegük, és az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.
Keressük meg az összes lehetséges n érték összegét!
Tehát 3 pozitív egész számmal kell dolgoznunk.
Van itt három pozitív egész számunk felírva.
Ha erről a három egész számról gondolkozunk, hívjuk őket csak a-nak, b-nek és c-nek.
Ezek pozitívak és egész számok.
Ennek a három pozitív egész számnak az N értéke.
A-szor b-szer c az egyenlő N-nel, ez 6-szor ezeknek az összege.
Ez egyenlő 6-szor az összegükkel.
Hadd használjak egy másik színt.
Ez az értékük.
A három pozitív egész szám N értéke tehát hatszor annyi, mint az összegük.
Ez egyenlő 6-szor ezeknek az egész számoknak az összegével.
A plusz b plusz c, és az egyik egész szám a másik kettő összegével egyenlő.
Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.
Legyen mondjuk ez a c, ami az a és a b összege!
Teljesen mindegy, Ez csak egy betűjelzés.
Meg kell állapítanunk, hogy az egyik nagyobb vagy kisebb, mint a másik.
Megállapítottuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel. Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege.
C az a és b összege. Keressük meg az N összes lehetséges értékének összegét!
Megpróbáljuk leegyszerűsíteni az információkat, amiket kaptunk.
Lehet, hogy fel is tudunk fedezni valamilyen kapcsolatot a számok között, amik lehetségesek.
Tudjuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel.
Kicserélhetjük a c-t, a plus b-vel.
Ez a felírt kifejezés itt ab lesz, ami a-szor b-szer c.
De c helyett a plusz b-t írok. A plusz b.
És aztán ez egyenlő 6-szor a plusz b plusz c-vel.
És még egyszer így.
Átírom a c-t a-szor b-re.
És aztán mi lesz ez?
A jobb oldalon 6-szor a plusz b plusz b plusz a plusz b van.
Ez annyi, mint 6-szor 2a plusz 2b, csak az a-kat és a b-ket összeadtuk.
Elvégezhetjük a 2-vel való szorzást, ez ugyanaz, mintha megszabadulnánk a 2-től.
6-szor 2 az 12 szorozva a plusz b-vel.
A bal oldalon itt mlg mindig b vagy ab szorozva a plusz b van.
Tehát ab szorozva a plusz b-vel, ennek egyenlőnek kell lennie 12-szer a plusz b-vel.
Ez elég érdekes itt.
Eloszthatjuk mindkét oldalt a plusz b-vel.
Tudjuk, hogy az a plusz be nem lesz egyenlő, nem lehet 0-val egyenlő.
Tehát ezek a számok mind pozitív számok lesznek.
Mindkét oldalt elosztjuk és az ok, amiért említettem a 0-t,
ha nullával osztunk, akkor egy meghatározatlan választ kapnánk.
Tehát mindkét oldalt elosztjuk a plusz b-vel, a-szor b egyenlő 12-t kapunk.
Szóval minden részlet,amit megadtak nekünk, elvezetett ide,ami itt le van írva.
A és b összege 12.