WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:11.182 Ezt a feladatot a 2003-as AIME vizsgáról szereztem, a rövidítés az Amerikai Meghívó Matematikai Vizsgát jelent, és igazából ez az első feladat ezen a vizsgán. 00:00:11.182 --> 00:00:19.455 3 pozitív egész szám n összege 6-szor annyi, mint az összegük, és az egyik egész szám a másik kettőnek az összege. 00:00:19.455 --> 00:00:23.560 Keressük meg az összes lehetséges n érték összegét! 00:00:23.560 --> 00:00:26.798 Tehát 3 pozitív egész számmal kell dolgoznunk. 00:00:26.798 --> 00:00:30.698 Van itt három pozitív egész számunk felírva. 00:00:30.698 --> 00:00:36.011 Ha erről a három egész számról gondolkozunk, hívjuk őket csak a-nak, b-nek és c-nek. 00:00:36.011 --> 00:00:37.649 Ezek pozitívak és egész számok. 00:00:37.649 --> 00:00:40.989 Ennek a három pozitív egész számnak az N értéke. 00:00:40.989 --> 00:00:47.840 A-szor b-szer c az egyenlő N-nel, ez 6-szor ezeknek az összege. 00:00:47.840 --> 00:00:50.457 Ez egyenlő 6-szor az összegükkel. 00:00:50.457 --> 00:00:52.479 Hadd használjak egy másik színt. 00:00:52.479 --> 00:00:54.394 Ez az értékük. 00:00:54.394 --> 00:01:02.099 A három pozitív egész szám N értéke tehát hatszor annyi, mint az összegük. 00:01:02.099 --> 00:01:05.799 Ez egyenlő 6-szor ezeknek az egész számoknak az összegével. 00:01:05.799 --> 00:01:13.004 A plusz b plusz c, és az egyik egész szám a másik kettő összegével egyenlő. 00:01:13.004 --> 00:01:19.379 Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege. 00:01:19.379 --> 00:01:23.533 Legyen mondjuk ez a c, ami az a és a b összege! 00:01:23.533 --> 00:01:25.387 Teljesen mindegy, Ez csak egy betűjelzés. 00:01:25.387 --> 00:01:28.217 Meg kell állapítanunk, hogy az egyik nagyobb vagy kisebb, mint a másik. 00:01:28.217 --> 00:01:34.877 Megállapítottuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel. Az egyik egész szám a másik kettőnek az összege. 00:01:34.877 --> 00:01:41.781 C az a és b összege. Keressük meg az N összes lehetséges értékének összegét! 00:01:41.781 --> 00:01:46.773 Megpróbáljuk leegyszerűsíteni az információkat, amiket kaptunk. 00:01:46.773 --> 00:01:53.614 Lehet, hogy fel is tudunk fedezni valamilyen kapcsolatot a számok között, amik lehetségesek. 00:01:53.614 --> 00:01:56.677 Tudjuk, hogy a plusz b egyenlő c-vel. 00:01:56.677 --> 00:02:02.292 Kicserélhetjük a c-t, a plus b-vel. 00:02:02.292 --> 00:02:08.680 Ez a felírt kifejezés itt ab lesz, ami a-szor b-szer c. 00:02:08.680 --> 00:02:14.964 De c helyett a plusz b-t írok. A plusz b. 00:02:14.964 --> 00:02:24.691 És aztán ez egyenlő 6-szor a plusz b plusz c-vel. 00:02:24.691 --> 00:02:27.410 És még egyszer így. 00:02:27.410 --> 00:02:31.068 Átírom a c-t a-szor b-re. 00:02:31.068 --> 00:02:33.451 És aztán mi lesz ez? 00:02:33.451 --> 00:02:37.689 A jobb oldalon 6-szor a plusz b plusz b plusz a plusz b van. 00:02:37.689 --> 00:02:45.285 Ez annyi, mint 6-szor 2a plusz 2b, csak az a-kat és a b-ket összeadtuk. 00:02:45.285 --> 00:02:49.044 Elvégezhetjük a 2-vel való szorzást, ez ugyanaz, mintha megszabadulnánk a 2-től. 00:02:49.044 --> 00:02:53.313 6-szor 2 az 12 szorozva a plusz b-vel. 00:02:53.313 --> 00:03:01.466 A bal oldalon itt mlg mindig b vagy ab szorozva a plusz b van. 00:03:01.466 --> 00:03:07.445 Tehát ab szorozva a plusz b-vel, ennek egyenlőnek kell lennie 12-szer a plusz b-vel. 00:03:07.445 --> 00:03:09.630 Ez elég érdekes itt. 00:03:09.630 --> 00:03:12.415 Eloszthatjuk mindkét oldalt a plusz b-vel. 00:03:12.415 --> 00:03:16.539 Tudjuk, hogy az a plusz be nem lesz egyenlő, nem lehet 0-val egyenlő. 00:03:16.539 --> 00:03:19.077 Tehát ezek a számok mind pozitív számok lesznek. 00:03:19.077 --> 00:03:23.402 Mindkét oldalt elosztjuk és az ok, amiért említettem a 0-t, 00:03:23.402 --> 00:03:27.435 ha nullával osztunk, akkor egy meghatározatlan választ kapnánk. 00:03:27.435 --> 00:03:33.614 Tehát mindkét oldalt elosztjuk a plusz b-vel, a-szor b egyenlő 12-t kapunk. 00:03:33.614 --> 00:03:38.356 Szóval minden részlet,amit megadtak nekünk, elvezetett ide,ami itt le van írva. 00:03:38.356 --> 00:03:41.589 A és b összege 12.