2003 AIME II Problem 1

Ich habe dieses Problem hier bilden die 2003 AIME Exam, dass die amerikanische Staat Invitational Mathematik-Prüfung, und das ist eigentlich das erste Problem der Prüfung.

Das Produkt von drei N positive ganze Zahlen ist 6 mal ihre Summe, und eine der ganzen Zahlen ist die Summe der beiden anderen.

Finden Sie die Summe aller möglichen Werte von N.

Also müssen wir mit drei positive ganze Zahlen umzugehen.

Wir haben also drei positive ganze Zahlen schreiben hier drüben.

Also haben wir nur etwa drei positive ganze Zahlen denken, nennen sie nur a, b, und c.

Das sind die positiven und sie ganze Zahlen sind.

Das Produkt dieser drei N positive ganze Zahlen.

So a mal b mal c gleich N ist, ist 6 mal ihre Summe.

Dies ist gleich 6 mal ihre Summe.

Lassen Sie mich nur eine andere Farbe.

Also das ist ihr Produkt.

Also das Produkt N von drei positiven ganzen Zahlen ist 6 Mal ihre Summe.

Das ist gleich 6 mal die Summe dieser Zahlen.

A plus B plus C, und die eine der ganzen Zahlen ist die Summe der beiden anderen.

Eine der ganzen Zahlen ist die Summe der beiden anderen.

Lassen wir einfach holen c, um die Summe von a und b sein.

Es spielt keine Rolle. Dies ist nur ein Name.

Wir haben, um eines dieser Konten größer oder kleiner als die andere.

Also setzen wir einfach, dass A plus B gleich C ist. Die eine der ganzen Zahlen ist die Summe der anderen ganze Zahlen sind.

c ist die Summe aus a plus b. Finden Sie die Summe aller möglichen Werte von N.

Wir haben gerade zu wenig Liquidation der Informationen, die wir hier haben, versuchen.

Vielleicht können wir eine Beziehung oder etwas einschränkt auf die Zahlen, dass wir solche durch die Möglichkeiten gehen kann.

Wir wissen, das A plus B gleich C ist.

So können wir ersetzen c, c ersetzen überall mit einem plus b.

Also dieser Ausdruck wird hier zu schreiben, über die AB A mal B mal C ist.

Doch statt c, werde ich ein plus b hier zu schreiben. a + b.

Und dann ist gleich 6 mal plus b plus c.

Und so, wieder einmal.

Ich werde mit einem Plus c b zu ersetzen.

Und dann was bedeutet diese zu vereinfachen.

Also auf der rechten Seite, wir haben eine 6-fache plus b plus b plus b plus ein.

Dies ist die gleiche Sache 6 mal 2a plus 2b, fügen Sie einfach die As und Bs.

Und wir können Faktor 2. Dieses dasselbe wie wenn Sie aus nehmen Sie die 2.

6-mal 2 ist 12-mal plus b.

Die linke Seite, schreiben Sie mal her, ist immer noch ein-mal B oder AB mal ein Plus b.

So ab Mal a plus b bekommen, dass sie gleich 12-mal plus b.

Also das ist ziemlich interessant hier.

Wir können beide Seiten mit a plus b zu teilen.

Wir wissen, die a und b nicht gleich, nicht gleich 0 sein.

Also all diese Zahlen müssen positive Zahlen sein.

Also teilen wir beide Seiten und den Grund, warum ich sage, das ist, wenn es 0 war.

Die Division durch 0, wird es geben, eine undefinierte Antwort.

Also teilen wir beide Seiten durch a plus b, erhalten wir a mal b ist gleich 12 ist.

Also all das zwingt uns, dass sie kochen und in diese nach unten, um diesen Artikel schreibe hier drüben.

Das Produkt von a und b gleich 12 ist.