Normálalak | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

Tanuld meg, hogyan oldunk meg különböző, a normálalakkal kapcsolatos feladatokat!

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

A Khan Academy nonprofit szervezet, melynek küldetése, hogy világszínvonalú oktatást biztosítson bárkinek, bárhol, ingyen. Számos területen kínálunk oktató videókat, szöveges tananyagokat, feladatokat és kvízeket, többek közt a matematika, biológia, kémia, fizika, történelem, közgazdaságtan, pénzügy, nyelvtan területén, valamint az óvodai tanulásban is. Tanári eszköztárunk és adatrendszerünk segítségével a tanárok támogatni tudják a diákok készségeinek, hozzáállásának, gondolkodásmódjának fejlődését, hogy sikeresek legyenek a tanulásban és az iskolán túl is. A Khan Academy tananyagait több tucat nyelvre lefordították, a világon havonta 15 millió ember tanul itt. Nonprofit szervezetként minden segítséget örömmel fogadunk.

A Khan Academy magyar szervezete az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány: http://akademiahataroknelkul.hu/

Adományozz, vagy jelentkezz önkéntesnek itt: http://akademiahataroknelkul.hu/tamogatas/

Két Khan Academy
videó szól arról,

hogy mi a normálalak,
és miért fontos foglalkozni vele.

Megmutattunk néhány példát is.

Ebben a videóban
egy algebra könyvből

megoldunk még néhány példát
a normálalakkal kapcsolatban.

Vegyünk valamit,

ami normálalakban van.

Emlékeztetőül:
a normálalak azért hasznos,

mert lehetővé teszi,
hogy nagyon nagy vagy nagyon kicsi

számokat úgy adjunk meg,
hogy azt egyrészt könnyű legyen leírni,

másrész könnyen fel tudjuk fogni.

Akkor íjunk fel néhány számot!

Vegyük például azt, hogy
3,102 · 10².

Át akarom írni helyi értékes alakba.

Ez normálalakban van,

két tényezős szorzat,
az egyik tényező 10 hatványa.

Hogyan írom ezt le

helyi értékes alakban?

Van egy lassú és egy gyors
módszer.

A lassú módszerrel
azt mondod,

hogy ez nem más, mint 3,102 · 100,
és ha megszorzod a 3,102-t

100-zal, akkor 3, 1, 0, 2,
és mögötte két 0,

1, 2, 3 számjegy van
a tizedesvessző után,

ez lesz a helyes válasz,

310,2-del egyenlő.

A gyors módszerrel
azt mondod,

hogy csak a hármas van
a tizedesvessző előtt.

Ha valamit szorzok 10 a másodikonnal,

akkor tulajdonképpen a tizedesvesszőt
kettővel jobbra viszem.

Azaz 3,102 · 10²

– ha a tizedesvesszőt
1, 2 hellyel arrébb viszem,

hiszen ez 10² –

310,2 lesz.

Tehát ez egy gyorsabb módszer.

Mindig, amikor 10-zel szorzunk,

a tizedesvesszőt 1-gyel jobbra visszük.

Vegyünk egy másik példát!

Nézzük most a 7,4 · 10⁴-t!

Használjuk a gyors módszert!

Vigyük a tizedesvesszőt 4-gyel jobbra!

Tehát 7,4 · 10⁴.

Szorozva 10¹-nel
74-et kapunk.

Ha 10²-nal szorzunk,
740-et kapunk.

Hozzá kell írnunk egy 0-t,

mert megint arrébb kell vinni
a tizedesvesszőt.

10³, az eredmény
7400.

És 10⁴,
74 000-et kapunk.

Figyeld meg,

a tizedesvesszőt
1, 2, 3, 4 hellyel arrébb vittem.

Ez tehát 74 000.

Amikor 74 volt, és a tizedesvesszőt

ismét jobbra kellett vinni,
0-kat kellett hozzáírni.

10-zel szorzok.

Másképpen gondolkodva
4 számjegy kell

az első számjegy és a
tizedesvessző közé.

Itt csak 1 számjegy van,

de 4 számjegy kell,
1, 2, 3, 4.

Csináljunk még példákat,
szerintem

minél több példát csinálunk,
annál jobban fogod érteni.

Vegyük az 1,75 · 10⁻³-t!

Ez normálalakban van,

és át akarom írni helyi értékes alakba.

Ha valamit a 10 negatív kitevőjű
hatványával szorzol,

akkor a tizedesvesszőt
balra kell vinni.

1,75-dal kezdünk.

Ha ezt megszorozzuk 10⁻¹-nel,

akkor 1-et megyünk balra.

De ha 10⁻²-nal szorzunk,

akkor 2-t lépünk balra.

Ide kell írni egy 0-t.

És ha 10⁻³-nal szorzunk,

akkor 3-at kell balra lépni,
még egy 0-t kell ideírni.

Fogod a tizedesvesszőt,
és 1, 2, 3-mal balra viszed.

Az eredmény 0,00175,

ami megegyezik
1,75 · 10⁻³-nal.

Úgy is tudod ellenőrizni,
hogy jó-e a megoldás,

hogy itt van az 1, azt is beszámítva,

a tizedesvessző után a 0-kal együtt

annyi számjegynek kell lenni,
mint a negatív kitevő ellentettje.

A tizedesvessző után 1, 2, 3 számjegy van,

a kitevő pedig -3.

Az ezredrészét veszed,
ez itt 1/1000.

Nézzünk egy másikat!

Tudod mit, keverjük össze!

Most induljunk ki
a helyi értékes alakból,

és írjuk át normálalakba!

Vegyük a 120 000-et!

Ez a helyi értékes alak,

át akarom írni normálalakba.

Tehát ezt úgy írhatom
– veszem az első számjegyet –

1,2 · 10 a...
– meg kell számolni,

hány számjegy van
az első szám jegy mögött.

1, 2, 3, 4, 5.

Tehát 1,2 · 10⁵.

Azért, mert

10⁵ = 10 000,

1,2 – jaj nem,
10⁵ = 100 000,

tehát 1,2
– 1, 2, 3, 4, 5,

öt 0 van –,

szorozva 10⁵-nel.

1,2 · 100 000 = 120 000,

vagy 1 egész 1/5 szorozva 100 000-rel,
azaz 120 ezer.

Remélem,
lassan világos lesz.

Vegyünk egy másikat!

Vegyük az 1 765 244-et!

Normálalakban szeretném
felírni,

tehát veszem az első számjegyet,
az 1-et, és odateszem a tizedesvesszőt.

Az összes többi számjegy
a tizedesvessző mögé kerül.

7, 6, 5, 2, 4, 4.

Aztán megszámolom,
hány számjegy volt

eredetileg az első számjegy

és a tizedesvessző között.

Mert hogy itt is lehetnének még
további számjegyek.

Tehát az első számjegy
és a tizedesvessző között

1, 2, 3, 4, 5, 6
számjegy volt,

tehát szorozva 10⁶-nal.

10⁶ az egymillió,

szóval 1.,765244 szorozva 1 millióval,
ami jónak tűnik.

Kb. 1,7 szorozva 1 millióval
ami kb. 1,7 millió.

Ez egy kicsit több,
mint 1,7 millió,

úgyhogy jónak tűnik.

Csináljunk meg még egyet!

Hogyan kell a 12-t
normálalakban leírni?

Ugyanaz a módszer.

1,2-szer
– itt csak 1 számjegy van

az 1 és a tizedesvessző között.

Tehát 1,2 · 10¹, vagy 1,2 · 10,

ami nyilvánvalóan 12.

Most csináljunk néhány olyan példát,

ahol a 10 negatív hatványai kellenek.

Legyen a szám a 0,00281,

amit normálalakban akarunk felírni.

Azt kell megfontolni,

hány számjegyen keresztül jutok el

az első értékes jegyhez?

Arra gondolok,
hogy megszámolom, 1, 2, 3.

Azt csináljuk,

hogy a tizedesvesszőt
1, 2, 3 hellyel arrébb visszük.

Úgy is veheted,
hogy szorozni kell.

Ha 3 hellyel jobbra viszed
a tizedesvesszőt,

az olyan, mint szorozni 10³-nal.

De ha valamit megszorzol 10³-nal,

megváltoztatod az értékét.

Ezért meg kell szorozni 10⁻³-nal is,

így tudod biztosítani, hogy az érték
ne változzon meg.

Ha megszorzod 10³ · 10⁻³-nal,

akkor 3 - 3 = 0,
az annyi, mint 1-gyel szorozni.

Tehát mivel lesz egyenlő?

Ha fogom a tizedesvesszőt,
és 3-mal jobbra viszem,

ez itt 2,81 lesz.

Ez maradt,

szorozva 10⁻³-nal.

Nagyon gyorsan úgy lehet csinálni,
hogy megnézed,

számoljuk meg, az első értékes jegyet
is beleszámítva,

hány hely van a tizedesvessző mögött.

1, 2, 3.

Akkor

2,81 · 10⁻³ lesz.

Na még egy ilyet csináljunk!

Itt most felmegyek ide.

Csináljunk még egy ilyet!

Tegyük fel, van
1, 2, 3, 4, 5, 6

hány 0 van ebben a feladatban?

Kitalálok valamit.

0, 2, 7.

És most ezt akarod
normálalakra hozni.

Megszámolod a
tizedesvessző mögötti

számjegyeket a 2-ig.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Tehát 2,7 · 10⁻⁸

az eredmény.

Csináljunk egy másikat,

ahol a normálalakból indulunk,

és a számértéket keressük.

Csak hogy megkeverjük
a dolgokat.

Legyen

2,9 · 10⁻⁵.

Úgy is gondolkodhatunk,

hogy az értékes jegy és
a tizedesvessző utáni 0-k

száma 5 lesz.

Tehát van a 2 meg a 9,

majd lesz még 4 darab 0.

1, 2, 3, 4.

És itt lesz a tizedesvessző.

Honnan tudtam, hogy
4 db. 0 kell?

Mert megszámoltam,
1, 2, 3, 4., 5 hely

a tizedesvessző mögött,
beleértve az első értékes jegyet.

tehát 0,000029 az eredmény.

Az ellenőrzéshez
használjuk a másik módszert!

Hogy írom ezt fel normálalakban?

Megszámolom a 0-kat
a tizedesvessző mögött

az első nem 0 számjeggyel együtt.

Van 1, 2, 3, 4, 5 számjegy.

Tehát 10⁻⁵.

Az eredmény 2,9 · 10⁻⁵.

Hangsúlyozom,

ez nem valami mágia.

Ez teljesen
megmagyarázható.

Ha ebből a számból 2,9-et
akarok csinálni, mit kellene tennem,

hogy a tizedesvesszőt 1, 2, 3, 4, 5
hellyel arrébb vigyem?

Hogy a tizedesvesszőt 5 hellyel
jobbra vigyem,

0, 0, 0, 0, 2, 9.

Ha megszorzom 10⁵-nel,

akkor 10⁻⁵-nel is
meg kell szoroznom.

Nem akarom
az értékét megváltoztatni.

Ez itt annyit tesz,
hogy megszorzom 1-el.

10⁵ · 10⁻⁵ = 1.

Tehát ez itt
jobbra viszi a tizedesvesszőt

5 hellyel.

1, 2, 3, 4, 5.

Ez itt 2,5 lesz,

és itt megmarad a · 10⁻⁵.

Remélem,

hasznos volt a normálalak
gyakorlása.