Normálalak | Műveletek hatványokkal | Matematika | Khan Academy

Két Khan Academy
videó szól arról,

hogy mi a normálalak,
és miért fontos foglalkozni vele.

Megmutattunk néhány példát is.

Ebben a videóban
egy algebra könyvből

megoldunk még néhány példát
a normálalakkal kapcsolatban.

Vegyünk valamit,

ami normálalakban van.

Emlékeztetőül:
a normálalak azért hasznos,

mert lehetővé teszi,
hogy nagyon nagy vagy nagyon kicsi

számokat úgy adunk meg,
hogy azt egyrészt könnyű legyen leírni,

másrész könnyen fel tudjuk fogni.

Írjunk le néhány számot!

Vegyük például azt, hogy
3,102 · 10².

Helyi értékes alakban
akarom leírni.

Ez már normálalakban van,

két tényezős szorzat,
az egyik tényező 10 hatványa.

Hogyan írom ezt le

helyi értékes alakban?

Van egy lassú és egy gyors
módszer.

A lassú módszerrel
azt mondod,

hogy ez nem más, mint 3,102 · 100,
és ha megszorzod 3,102-t

100-zal, akkor 3, 1, 0, 2,
és mögötte két 0,

1, 2, 3 számjegy van
a tizedesvessző után,

ez lesz a helyes válasz,

310,2-del egyenlő.

A gyors módszerrel
azt mondod,

hogy csak a hármas van
a tizedesvessző előtt.

Ha valamit szorzok 10 a másodikonnal,

akkor tulajdonképpen a tizedesvesszőt
kettővel jobbra viszem.

Azaz 3,102 · 10²

– ha a tizedesvesszőt
1, 2 hellyel arrébb viszem,

hiszen ez 10² –

310,2 lesz.

Tehát ez egy gyorsabb módszer.

Mindig, amikor 10-zel szorzunk,

a tizedesvesszőt 1-gyel jobbra visszük.

Vegyünk egy másik példát!

Nézzük most a 7,4 · 10⁴-t!

Használjuk a gyors módszert!

Vigyük a tizedesvesszőt 4-gyel jobbra!

Tehát 7,4 · 10⁴.

Szorozva 10¹-nel
74-et kapunk.

Ha 10²-nal szorzunk,
740-et kapunk.

Hozzá kell írnunk egy 0-t,

mert megint arrébb kell vinni
a tizedesvesszőt.

10³, az eredmény
7400.

És 10⁴,
74 000-et kapunk.

Figyeld meg,

a tizedesvesszőt
1, 2, 3, 4 hellyel arrébb vittem.

Ez tehát 74 000.

Amikor 74 volt, és a tizedesvesszőt

ismét jobbra kellett vinni,
0-kat kellett hozzáírni.

10-zel szorzok.

Másképpen gondolkodva
4 számjegy kell

az első számjegy és a
tizedesvessző közé.

Itt csak 1 számjegy van,

de 4 számjegy kell,
1, 2, 3, 4.

Csináljunk még példákat,
szerintem

minél több példát csinálunk,
annál jobban fogod érteni.

Vegyük az 1,75 · 10⁻³-t!

Ez már normálalakban van,

át akarom írni helyi értékes alakba.

Ha a valamit a 10 negatív kitevőjű
hatványával szorzol,

akkor a tizedesvesszőt
balra kell vinni.

1,75-dal kezdünk.

Ha ezt megszorozzuk 10⁻¹-nel,

akkor 1-et megyünk balra.

De ha 10⁻²-nal szorzunk,

akkor 2-t lépünk balra.

Ide kell írni egy 0-t.

És ha 10⁻³-nal szorzunk,

akkor 3-at kell balra lépni,
még egy 0-t kell hozzáadni.

Fogod a tizedesvesszőt,
és 1, 2, 3-mal balra viszed.

Az eredmény 0,00175,

ami megegyezik
1,75 · 10⁻³-nal.

Úgy is tudod ellenőrizni,
hogy jó-e a megoldás,

itt van az 1, azt is beszámítva,

a tizedesvessző utáni 0-kal együtt

annyinak számjegynek kell lenni,
mint a negatív kitevő ellentettje.

A tizedesvessző után 1, 2, 3 számjegy van.

Ez ugyanaz, mint a -3 kitevő.

Az ezredrészét veszed,
ez itt 1/1000.

Nézzünk egy másikat!

Tudod mit, keverjük össze!

Most induljunk ki
a szám formátumból

és írjuk át normálalakba!

Vegyük a 120 000-et!

Ez az értéke,

át akarom alakítani normálalakra.

ezt úgy írhatom
– veszem az első értékes jegyet –

1,2 · 10^?
– meg kell számolni,

hány számjegy van
az értékes jegy mögött.

1, 2, 3, 4, 5.

Tehát ez 1,2 · 10^5.

Ha meg akarod magyarázni,
miért van ez így,

10^5 = 10 000.

1,2 · -- jaj nem,
10^5 = 100 000.

Tehát ez 1,2 ·
-- 1, 2, 3, 4, 5.

Öt 0 van.

ez a 10^5.

1,2 · 100 000 = 120 000.

1 egész 1/5 szorozva 100 000
azaz 120 ezer.

Remélem,
lassan világos lesz.

Vegyünk egy másikat!

Vegyük az 1 765 244-et!

Ezt normálalakba szeretném
felírni,

tehát veszem az első értékes jegyet,
az 1-t, és odateszem a tizedest.

Az összes többi
a tizedes mögé kerül.

7, 6, 5, 2, 4, 4.

Aztán megszámolod,
hány számjegy van

az első értékes jegy,
és az első

a tizedesvessző között.

Mert hogy itt is lehetnek
további számok.

Tehát az első értékes jegy
és a tizedesvessző között.

1, 2, 3, 4, 5, 6
számjegy van.

Tehát ez szorozva 10^6-al.

És 10^6 az egymillió.

Tehát 1.,65244 szorozva 1 millióval,
ami jónak tűnik.

Kb. 1,7 szorozva 1 millióval
annyi mint kb. 1,7 millió.

Ez egy kicsivel több,
mint 1,7 millió,

úgyhogy jónak tűnik.

Csináljunk még egyet!

Hogyan kell a 12-t
normálalakban leírni?

Ugyanaz a módszer.

1,2-szer
– itt csak 1 számjegy van

az 1 és a tizedesvessző között.

Tehát 1,2 · 10^1, vagy 1 · 10,

ami egyértelműen 12.

Most csináljunk néhány olyan példát,

ahol a 10 negatív hatványai kellenek.

Legyen a szám 0,00281,

amit normálalakban akarunk felírni.

Azt kell megfontolni,

hány számjegyen keresztül jutok el

az első értékes jegyhez?

Arra gondolok,
ha megszámolom, 1, 2, 3.

Azt kell csinálni,

hogy a tizedesvesszőt
1, 2, 3 hellyel arrébb léptetem.

Úgy is veheted,
hogy szorozni kell.

Ha 3 hellyel jobbra viszed
a tizedesvesszőt,

az olyan, mint szorozni 10^3-nal.

De ha valamit megszorzol 10^3-nal,

megváltoztatod az értékét.

Ezért meg kell szorozni 10^(-3)-nal.

Így tudod biztosítani, hogy az érték
ne változzon meg.

Ha megszorzod 10^3 · 10^(-3),

ekkor 3 - 3 = 0,
az annyi, mint 1-el szorozni.

Tehát mivel lesz egyenlő?

Ha fogom a tizedesvesszőt,
és 3-al jobbra viszem,

ez itt 2,81 lesz.

Ez maradt,

szorozva 10^(-3)-al.

Nagyon gyorsa úgy lehet csinálni,
hogy megnézed,

számoljuk meg, az első értékes jegyet
is beleszámítva,

hány hely van a tizedesvessző mögött.

1, 2, 3.

Akkor

2,81 · 10^(-3) lesz.

Na még egy ilyet csináljunk!

Itt most felmegyek ide.

Csináljunk még egy ilyet!

Tegyük fel, van
1, 2, 3, 4, 5, 6

hány 0 van ebben a feladatban?

Kitalálok valamit.

0, 2, 7.

És most ezt akarod
normálalakra hozni.

Megszámolod a
tizedesvessző mögötti

számjegyeket a 2-ig.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Tehát 2,7 · 10^(-8)

az eredmény.

Csináljunk egy másikat,

ahol a normálalakból indulunk,

és a számértéket keressük.

Csak hogy megkeverjük
a dollgokat.

Legyen

2,9 · 10^(-5).

Úgy is gondolkodhatunk,

hogy az értékes jegy és
a tizedesvessző utáni 0-k

száma 5 lesz.

Tehát van a 2 meg a 9,

majd lesz még 4 darab 0.

1, 2, 3, 4.

És itt lesz a tizedesvessző.

Honnan tudtam, hogy
4 db. 0 kell?

Mert megszámoltam,
1, 2, 3, 4., 5 hely

a tizedesvessző mögött,
beleértve az első értékes jegyet.

tehát 0,000029 az eredmény.

Az ellenőrzéshez
használjuk a másik módszert!

Hogy írom ezt fel normálalakban?

Megszámolom a 0-kat
a tizedesvessző mögött

az első nem 0 számjeggyel együtt.

Van 1, 2, 3, 4, 5 számjegy.

Tehát 10^(-5).

Az eredmény 2,9 · 10^(-5).

Hangsúlyozom,

ez nem valami mágia.

Ez teljesen
megmagyarázható.

Ha ebből a számból 2,9-et
akarok csinálni, mit kellene tennem,

hogy a tizedesvesszőt 1, 2, 3, 4, 5
hellyel arrébb vigyem?

Hogy a tizedesvesszőt 5 hellyel
jobbra vigyem,

0, 0, 0, 0, 2, 9.

Ha megszorzom 10^5-el,

akkor 10^(-5)-el is
meg kell szoroznom.

Nem akarom
az értékét megváltoztatni.

Ez itt annyit tesz,
hogy megszorzom 1-el.

10^5 · 10^(-5) = 1.

Tehát ez itt
jobbra viszi a tizedesvesszőt

5 hellyel.

1, 2, 3, 4, 5.

Ez itt 2,5 lesz,

és itt megmarad a · 10^(-5).

Remélem,

hasznos volt a normálalak
gyakorlása.