-
V tomto videu se ještě víc
procvičíme použití substituce,
-
kdy se hodí ji použít a jak
správně definovat proměnnou "u".
-
Mějme neurčitý integrál (přirozeného
logaritmu z x) na desátou,
-
to celé děleno x dx.
-
Hodí se použít substituci a pokud ano,
tak jak definovat proměnnou "u"?
-
Klíč k úspěchu je vidět, jestli někde ve
výrazu mám funkci a také i její derivaci.
-
A možná jste rovnou poznali,
-
že derivace přirozeného
logaritmu z x je 1 lomeno x.
-
Aby to bylo lépe vidět,
-
tak můžu tento integrál zapsat jako
(ln(x) na desátou) krát 1 lomeno x dx.
-
Nyní to je vidět lépe.
-
Máme funkci přirozený logaritmus z x
umocněnou na desátou,
-
ale taky tady máme
její derivaci, 1 lomeno x.
-
Takže můžeme použít substituci.
-
Můžeme definovat "u" jako
přirozený logaritmus z x.
-
Vybral jsem přirozený logaritmus z x,
protože vidím tady jeho derivaci.
-
A pak můžu říct, že
du lomeno dx je rovno 1 lomeno x.
-
Což znamená, že du
je rovno 1 lomeno x dx.
-
A tady to máme.
-
Toto je du
a toto je naše "u".
-
Krásně se to zjednodušilo na
integrál z (u na desátou) du.
-
Dále bychom našli primitivní funkci a
pak udělali zpětnou substituci ln(x) za u,
-
abychom získali neurčitý integrál
vzhledem k proměnné x.
-
Pojďme na další.
-
Mějme integrál…
-
Zkusme udělat něco zajímavého.
-
Zkusme integrovat
tangens z x dx.
-
Hodí se sem substituce?
-
Nejdřív si řeknete, že prostě máme
tang(x), tak kde je nějaká derivace?
-
A to zajímavé právě je, že můžeme
tangens přepsat pomocí sinu a kosinu.
-
Takže to můžeme zapsat jako
integrál ze sin(x) lomeno cos(x) dx.
-
A nyní si možná říkáte,
na co použijeme substituci?
-
Můžeme se na to podívat
z několik pohledů.
-
Můžeme říci, že derivace sin(x) je cos(x),
-
ale to pak dělíme derivací,
místo abychom násobili.
-
Zajímavější je říct, že
derivace cos(x) je −sin(x).
-
Sice nemáme −sin(x),
ale to není tak těžké získat.
-
Prostě budeme dvakrát násobit −1.
-
Můžeme říct, že máme −(−(sin(x))
a první minus strčit před integrál.
-
To plyne z vlastností integrálů.
-
Dáme jedno znaménko minus ven
a jedno znaménko minus dovnitř,
-
takže získáme −(cos(x)).
-
A teď to je zajímavé.
-
Ještě to trochu upravím.
-
Je to rovno minus integrál
z 1 lomeno cos(x) krát (−sin(x)) dx.
-
Napadne vás nyní, jak bychom
mohli definovat proměnnou "u"?
-
Ve jmenovateli máme cos(x),
a máme jeho derivaci,
-
tak co kdybychom
položili "u" rovno cos(x)?
-
"U" je rovno cos(x),
-
pak du lomeno dx je rovno −sin(x).
-
Nebo můžeme říci, že
du je rovno −sin(x) dx.
-
Takže máme du a "u".
-
Takže jsme to celé zjednodušili
na neurčitý integrál z 1 lomeno "u" du.
-
Což je mnohem jednodušší spočítat,
-
a poté musíme opět
dosadit zpět cos(x) za u.
Khan Academy
