Квадратні Корені та Дійсні Числа

У мене тут є група радикальних виразів,
чи квадратнокореневих виразів

І я збираюся пройтись по кожному з них
і спростити.

Також ми з'ясуємо чи є ці числа

раціональними чи ірраціональними.

Почнемо з А.

А дорівнює квадратному кореню з 25.

А це теж саме, що і квадратний корінь
з 5 помноженої на 5,

що, зрозуміло, дорівнює 5.

Тут ми звертаємо увагу
на позитивний корінь.

Тепер B.

B я зроблю іншим кольором,
для основного кореня,

коли ми кажемо про головний корінь.

В, у нас є корінь з 24.

Тож перше, що ви хочете зробити це

розкласти це число на дільники.

24, давайте знайдемо його дільники.

Це 2 помножити на 12.

12 це 2 помножити на 6.

6 це 2 помножити на 3.

Тож квадратний корінь з 24,
це теж саме, що і

квадратний корінь з 2 помножених на 2,
на 2 і помножених на 3.

Це теж саме, що і 24.

Тож, ми бачимо, що у нас є
цілий квадрат тут.

Ми можемо переписати.

Це є тим самим, що і квадратний корінь з
2 помножених на 2, помножених на

корінь з 2 помножених на 3.

Очевидно це 2.

Це корінь з 4.

Квадратний корінь з 4 це 2.

І більше ми не можемо нічого спростити тут

Ми не бачимо тут 2 числа
помножених на себе.

Тож це буде помножене на корінь з 6.

Чи ми могли б записати це як корінь з 2

помножених на корінь з 3.

Тепер же можна поговорити про те,

чи є вони раціональними.

Це раціональне.

Ця частина А може бути виражена
як співвідношення 2 цілих чисел.

А саме 5/1.

Воно раціональне.

Це ірраціональне.

Я не збираюся це доводити у цьому відео.

Та все, що є добутком
ірраціональних чисел.

І корінь з будь-якого простого числа
є ірраціональним.

Я не доводитиму це.

Це є корінь з 2 помножений на корінь з 3.

Це те, що є коренем з 6.

І те, що робить його ірраціональним.

Я не можу виділити тут якусь частку.

Я не можу виразити це як число
поділене на інше число.

як я зробив це тут.

Я не доводжу це тут.

Я просто даю Вам трохи практики.

І швидший спосіб робити це.

Ви могли б сказати, хей, 4 входить у це.

4 є цілим квадратом.

Давайте винесемо 4.

Це 4 помножене на 6.

Корінь з 4 це 2, залишаємо 6, і Ви

отримали б 2 корені з 6.

Що Ви і зробите, та

я хочу робити все систематично спочатку.

Давайте робити частину С.

Корінь з 20.

Ще раз, 20 це 2 помножити на 10,
що є 2 помножене на 5.

Тож це теж саме, що і корінь з
2 помножених на 2,

і, помножене на 5.

Корінь з 2 на 2,
вочевидь, просто

дорівнює 2.

Це буде коренем з цього

помножене на корінь з того.

2 помножене на корінь з 5.

І ще раз, Ви могли б зробити це подумки

трохи попрактикувавшись.

Корінь з 20 це 4 помножене на 5.

Корінь з 4 це 2.

Залишаємо 5 під радикалом.

Перейдемо до частини D.

Ми повинні знайти квадратний корінь з 200.

Той же процес.

Давайте знайдемо дільники цього числа.

Це 2 помножене на 100, що є 2 помножене
на 50, що дорівнює 2 помноженим

на 25, що є 5 на 5.

Тож це ось тут, можна переписати.

Дозвольте мені зсунути це трохи вправо.

Це дорівнює кореню з 2 помножених на 2
помножених на 2

помножених на 5 і ще раз на 5.

У нас є один квадрат тут, а також

ще один квадрат ось тут.

Якщо переписати всі ці кроки, то це буде

корінь з 2 помножений на 2 помножений на
квадратний корінь з 2

помножений на корінь з 5 помножене на 5.

Квадратний корінь з 2
помножених на 2 це 2.

Корінь з 2 це просто корінь з 2.

Корінь з 5 помножене на 5, це корінь з 25.

що дорівнює 5.

Ви можете переставити це.

2 помножене на 5 це 10.

10 квадратних коренів з 2.

Ще раз, це - ірраціональне.

Ви не можете виразити це як дріб з числом

і чисельником та знаменником.

Якщо ж Ви насправді хотіли виразити
це число,

воно буде просто продовжуватись і йти
далі і далі, ніколи не повторюючись.

Частина E.

Квадратний корінь з 2000.

Я робитиму це тут.

Частина E, корінь з 2000.

Той же самий процес, що ми проходили.

Робимо розклад на дільники.

Це є 2 помножене на 1000, що є
2 помножене на 500, що є 2 помножене на

250, що дорівнює 2 помноженим на 125,
що ще дорівнює 5 помноженим на 25,

що є 5 помножене на 5.

І це зроблено.

Це дорівнюватиме квадратному кореневі
з 2 помножених на 2

-- я зазначу це у дужках --
2 помножене на 2, помножене на

2, помножене на 2, помножене на 2,
помножене на 2,помножене на 5, і ще на 5

помножене на 5, на 5, вірно?

У нас є 1, 2, 3, 4, двійки та 3, п'ятірки,
помножені на 5.

Чому ж дорівнюватиме ось це?

Ви можливо побачили те, що
я міг би записати це як

це є 4, це є 4.

У нас повторюється 4.

Це теж саме, що і корінь з
4 помножених на 4

помножених на корінь з 5 помножених на 5
помножених на 5 помножених на

корінь з 5.

Тож це, ось тут, є очевидно 4.

Це - 5.

Потім помножене на корінь з 5.

4 помножене на 5 це 20
квадратних коренів з 5.

І ще раз, воно ірраціональне.

Почнемо частину F.

Корінь з 1/4, який ми спостерігаємо,
також можна записати як

корінь з 1 поділений на корінь з 4,

що дорівнює 1/2.

Що є раціональним.

Воно може бути виражено як дріб.

Тож це є безсумнівно раціональне.

Частина G це квадратний корінь з 9/4.

Логіка така ж.

Це дорівнює квадратному кореню з 9
поділене на корінь з

4, що є 3/2.

Частина H.

Квадратний корінь з 0.16.

Ви могли б зробити це подумки,

якщо б роспізнали це,
якщо множити 0.4 на

0.4, отримаємо це.

Я покажу Вам більш систематичний спосіб,

якщо він не є очевидним для Вас.

Це теж саме, що і квадратний

корінь з 16/100, так?

Це те, чому дорівнює 0.16

Тож це є квадратний корінь з 16 поділений

на корінь з 100, що дорівнює 4/10,
що і є 0.4.

Давайте ще розберемо такого типу приклади.

ОК.

Частина I - корінь з 0.1, що дорівнює

кореневі з 1/10, що дорівнює кореню з 1

поділеному на корінь з 10,
що дорівнює 1 поділеному на --

зараз, корінь з 10 --
10 це просто 2 помножене на 5.

Тож це нам не дуже допомогло.

Це просто квадратний корінь з 10, як це.

Багато вчителів математики не люблять так
залишати цей радикал

у знаменнику.

Та я вже можу сказати,

що він є ірраціональним.

Ви просто отримуватиме нові числа.

Ви можете перевірити це на калькуляторі

і це не повториться.

Ваш калькулятор дасть тільки наближення

Бо, щоб отримати точне значення,

треба мати нескінченне число цифр.

Якщо ж Ви бажаєте раціоналізувати його,

просто хочу показати.

Якщо Ви хочете позбутись
радикалу в знаменнику,

Ви можете помножити це на корінь з 10
поділене на

корінь з 10, так?

Це просто 1.

Тож ви отримуєте просто корінь з 10/10.

Вони є еквівалентними виразами, й обидва

є ірраціональними.

Берете ірраціональне число, ділите
його на 10, і

все одно маєте ірраціональне число.

Давайте зробимо J.

У нас є корінь з 0.01.

Це теж саме, що і корінь з 1/100.

Що дорівнює кореню з 1
поділеного на корінь

зі 100, що дорівнює 1/10, чи 0.1.

Очевидно, ще раз, що воно є раціональним.

Воно записано як дріб.

Це теж було раціональним.

Воно може бути записано як дріб.