< Return to Video

U substitution with exponential function

  • 0:01 - 0:02
    ลองดูว่าเราคำนวณอินทิกรัล
  • 0:02 - 0:08
    จำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ x กำลังสองคูณ
  • 0:08 - 0:14
    2 กำลัง x กำลัง 3 dx ได้ไหม
  • 0:14 - 0:16
    เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
  • 0:16 - 0:20
    แล้วดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม
  • 0:21 - 0:23
    ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
  • 0:23 - 0:24
    มันมีสิ่งที่น่าสนใจหลายอย่างตรงนี้
  • 0:24 - 0:26
    อย่างแรก อย่างน้อยในหัวผม มันบอกว่า
  • 0:26 - 0:28
    ผมเคยหาอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์
  • 0:28 - 0:32
    ของ e กำลัง x แต่ไม่ใช่ฐานอื่นยกกำลัง x
  • 0:32 - 0:35
    เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x
  • 0:35 - 0:38
    เท่ากับ e กำลัง x หรือเราบอกได้ว่าปฏิยานุพันธ์
  • 0:38 - 0:44
    ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x บวก c
  • 0:44 - 0:47
    เนื่องจากผมกำลังคิดถึงจำนวนยกกำลัง
  • 0:48 - 0:50
    กรณีเฉพาะนี้ ค่าสักค่ายกกำลัง
  • 0:50 - 0:52
    ฟังก์ชันของ x ผมจึงน่าจะอยาก
  • 0:52 - 0:56
    เปลี่ยนฐานตรงนี้ แต่ผมทำได้อย่างไร?
  • 0:56 - 1:01
    วิธีที่ผมทำได้คือเขียน 2 ใหม่ในรูปของ e
  • 1:01 - 1:03
    2 คืออะไรในรูปของ e?
  • 1:03 - 1:10
    2 เท่ากับ e, เท่ากับ e ยกกำลัง
  • 1:10 - 1:13
    กำลังที่คุณต้องยก e เพื่อให้ 2
  • 1:13 - 1:14
    กำลังที่คุณ
  • 1:14 - 1:16
    ต้องยก e เพื่อได้ให้ 2 คืออะไร?
  • 1:16 - 1:19
    มันคือล็อกธรรมชาติของ 2
  • 1:19 - 1:22
    ย้ำอีกครั้ง ล็อกธรรมชาติของ 2 คือเลขชี้กำลัง
  • 1:22 - 1:24
    ที่คุณต้องยก e เพื่อให้ได้ 2
  • 1:24 - 1:28
    ถ้าคุณยก e ด้วยค่านั้น คุณจะได้ 2
  • 1:28 - 1:30
    นี่คือ 2
  • 1:30 - 1:32
    แล้ว 2 ยกกำลัง x กำลังสามเป็นเท่าใด?
  • 1:32 - 1:34
    ถ้าเรายกทั้งสองข้างนี้ด้วย x กำลัง 3
  • 1:34 - 1:38
    เรายกกำลังทั้งสองข้างด้วย x ยกกำลัง 3
  • 1:38 - 1:41
    2 กำลัง x กำลังสามเท่ากับ ถ้าผมยก
  • 1:41 - 1:43
    อะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังหนึ่ง
    แล้วยกด้วยเลขชี้กำลังอีกตัว
  • 1:43 - 1:49
    มันจะเท่ากับ e กำลัง x กำลัง 3
  • 1:50 - 1:53
    x กำลัง 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 1:53 - 1:56
    คูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 1:56 - 1:59
    มันน่าสนใจอยู่แล้ว
  • 1:59 - 2:02
    ลองเขียนอันนี้ใหม่ ที่จริงสิ่งที่ผมจะทำ
  • 2:02 - 2:04
    คือดูอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน
  • 2:04 - 2:05
    ดูว่าเราหามันได้ไหม
  • 2:05 - 2:06
    แล้วเราค่อยใช้ เราค่อยหา
  • 2:06 - 2:09
    เราก็หาค่าจำกัดเขตได้
  • 2:09 - 2:12
    ลองคิดอันนี้กัน ลองคิด
  • 2:12 - 2:15
    ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ x กำลังสองคูณ
  • 2:15 - 2:18
    2 กำลัง x กำลัง 3 dx เป็นเท่าใดก่อน
  • 2:18 - 2:21
    ผมอยากหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
  • 2:21 - 2:23
    อันนี้จะเท่ากับ
  • 2:23 - 2:28
    อินทิกรัลของ ผมจะเขียน
    x กำลังสองเหมือนเดิม
  • 2:28 - 2:30
    แต่แทนที่จะเป็น 2 กำลัง x กำลัง 3
  • 2:30 - 2:32
    ผมจะเขียนทั้งหมดนี้
  • 2:32 - 2:34
    ขอผมลอกและวางมันลงไปนะ
  • 2:34 - 2:35
    เราสรุปไปแล้วว่า อันนี้เท่ากับ
  • 2:35 - 2:38
    2 กำลัง x กำลัง 3
  • 2:38 - 2:43
    ลอกและวาง อย่างนั้น
  • 2:43 - 2:48
    ขอผมจบมันด้วย dx นะ
  • 2:49 - 2:52
    ผมสามารถเขียนในรูป e เป็นฐานได้
  • 2:52 - 2:53
    มันทำให้ผมสบายใจขึ้น
  • 2:53 - 2:55
    แต่มันยังดูซับซ้อนอยู่
  • 2:55 - 2:58
    คุณอาจบอกว่า โอเค ดูนะ
  • 2:58 - 3:01
    บางทีการแทนที่ u อาจใช้ได้ตรงนี้
  • 3:01 - 3:05
    เพราะผมมีพจน์เพี้ยนๆ นี้ x กำลังสามคูณ
  • 3:05 - 3:08
    ล็อกธรรมชาติขง 2 แต่อนุพันธ์ของมันคืออะไร?
  • 3:08 - 3:09
    มันจะเท่ากับ 3x
  • 3:09 - 3:11
    กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 3:11 - 3:14
    หรือ 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2
    คูณ x กำลังสอง
  • 3:14 - 3:16
    นั่นก็แค่ค่าคงที่คูณ x กำลังสอง
  • 3:16 - 3:19
    เรามี x กำลังสองตรงนี้แล้ว เราก็จัดการ
  • 3:19 - 3:23
    ให้มันมีค่าคงที่ตรงนี้ได้
  • 3:23 - 3:24
    ลองคิดดู
  • 3:24 - 3:28
    ถ้าเราทำอันนี้ ถ้าเรานิยามค่านี้ว่า u
  • 3:28 - 3:33
    ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ x กำลัง 3 คูณ
  • 3:33 - 3:36
    ล็อกธรรมชาติของ 2, du จะเป็นเท่าใด?
  • 3:36 - 3:40
    du จะเป็น มันจะเป็น ล็อก
  • 3:40 - 3:42
    ธรรมชาติของ 2 ก็แค่ค่าคงที่ มันจึง
  • 3:42 - 3:46
    ได้ 3x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 3:46 - 3:47
    คุณเปลี่ยนลำดับ
  • 3:47 - 3:49
    การคูณได้หน่อย
  • 3:49 - 3:50
    เราบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ
  • 3:50 - 3:56
    x กำลังสองคูณ 3 ล็อกธรรมชาติของ 2
  • 3:56 - 3:59
    ซึ่งเท่ากับ แค่ใช้สมบัติลอการิทึม
  • 3:59 - 4:04
    เป็น x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
    ยกกำลังสาม
  • 4:04 - 4:05
    3 ล็อกธรรมชาติขง 2 เท่ากับ
  • 4:05 - 4:07
    ล็อกธรรมชาติของ 2 กำลัง 3
  • 4:07 - 4:13
    นี่เท่ากับ x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 8
  • 4:14 - 4:16
    ลองดู ถ้านี่คือ u แล้ว du คืออะไร?
  • 4:16 - 4:19
    โอ้ แน่นอน เราห้ามลืม dx
  • 4:20 - 4:26
    นี่คื dx ตรงนี้, dx, dx, dx
  • 4:26 - 4:30
    แล้ว du อยู่ตรงไหน? เรามี dx อยู่
    ขอผมวงกลมหน่อย
  • 4:30 - 4:33
    คุณมี dx ตรงนี้ คุณมี dx ตรงนั้น
  • 4:33 - 4:36
    คุณมี x กำลังสองตรงนี้ คุณมี x กำลังสองตรงนี้
  • 4:36 - 4:38
    ที่เราต้องการจริงๆ ก็คือ
  • 4:38 - 4:41
    ทั้งหมดที่เราต้องการตรงนี้ คือ
    ล็อกธรรมชาติของ 8
  • 4:41 - 4:44
    ในอุดมคติ เราควรมีล็อกธรรมชาติของ 8 ตรงนี้
  • 4:44 - 4:47
    แล้วเราก็ใส่มันได้ ตราบใดที่เรา
  • 4:47 - 4:49
    เราคูณมันด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้
  • 4:49 - 4:53
    ตราบใดที่เราหารด้วย
    ล็อกธรรมชาติของ 8 เช่นกัน
  • 4:53 - 4:56
    เราทำมันตรงนี้ได้
  • 4:56 - 4:59
    เราหารด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้
  • 4:59 - 5:01
    แต่เรารู้ว่าปฏิยานุพันธ์ของค่าคงที่
  • 5:01 - 5:04
    คูณฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่
  • 5:04 - 5:06
    คูณปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
  • 5:06 - 5:08
    เราดึงมันออกข้างนอกได้
  • 5:08 - 5:12
    มันคือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
  • 5:13 - 5:15
    ลองเขียนมันในรูปของ u กับ du กัน
  • 5:15 - 5:19
    อันนี้ลดรูปเหลือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
  • 5:19 - 5:23
    ของ 8 คูณปฏิยานุพันธ์ของ
  • 5:24 - 5:32
    e กำลัง u, e กำลัง u, นั่นคือ u, du
  • 5:32 - 5:37
    อันนี้คูณอันนั้นได้ du, du
  • 5:37 - 5:39
    และอันนี้ตรงไปตรงมา
  • 5:39 - 5:41
    เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร
  • 5:41 - 5:43
    อันนี้จะเท่ากับ ขอผมเขียน
  • 5:43 - 5:46
    1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ข้างนอกนี้
  • 5:46 - 5:54
    1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 คูณ e กำลัง u
  • 5:56 - 5:58
    และแน่นอน ถ้าเราคิดในรูปของ
  • 5:58 - 6:00
    ปฏิยานุพันธ์ มันจะมีค่าคงที่ข้างนอกนี้
  • 6:00 - 6:03
    แล้วเราก็ย้อนการแทนที่
  • 6:03 - 6:04
    เรารู้ว่า u คืออะไร
  • 6:04 - 6:07
    มันจะเท่ากับ ปฏิยานุพันธ์ของ
  • 6:07 - 6:12
    พจน์นี้คือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
  • 6:12 - 6:15
    คูณ e กำลัง แทนที่จะเป็น u เรารู้ว่า u
  • 6:15 - 6:19
    คือ x กำลังสามคูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 6:19 - 6:22
    และแน่นอน เราใส่บวก c ตรงนี้ได้
  • 6:22 - 6:24
    ทีนี้ กลับไปยังปัญหาเดิม
  • 6:24 - 6:27
    เราต้องหาค่าปฏิยานุพันธ์
  • 6:27 - 6:30
    ของตัวนี้ที่แต่ละจุดเหล่านี้
  • 6:30 - 6:31
    ลองเขียนมันใหม่
  • 6:31 - 6:36
    จากที่เราหาไป ขอผมลอกและวางนะ
  • 6:36 - 6:39
    อันนี้จะเท่ากับ
  • 6:40 - 6:44
    มันจะเท่ากับปฏิยานุพันธ์หาค่า
  • 6:44 - 6:47
    ที่ 1 ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 0
  • 6:47 - 6:48
    เราไม่ต้องกังวลเรื่อง
  • 6:48 - 6:50
    ค่าคงที่เพราะมันจะหักล้างกัน
  • 6:50 - 6:54
    เราจะได้ เราจะได้ 1 --
  • 6:54 - 6:56
    ขอผมหาค่ามันที่ 1 นะ
  • 6:57 - 7:00
    คุณจะได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ
  • 7:00 - 7:05
    8 คูณ e กำลัง 1/3
  • 7:05 - 7:08
    ซึ่งก็คือ 1 คูณล็อกธรรมชาติของ 2
  • 7:08 - 7:11
    ล็อกธรรมชาติของ 2 มันหาค่าได้ 1
  • 7:11 - 7:15
    แล้วเราต้องลบมันหาค่าที่ 0
  • 7:15 - 7:18
    มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ
  • 7:18 - 7:22
    8 คูณ e กำลัง, เมื่อ x เป็น 0
  • 7:22 - 7:24
    ทั้งหมดนี้จะเป็น 0
  • 7:24 - 7:29
    แล้ว e กำลัง 0 ก็แค่ 1 และ
    e กำลังล็อกธรรมชาติ
  • 7:29 - 7:32
    ของ 2, มันก็แค่ 2
  • 7:32 - 7:34
    เราบอกไปแล้วก่อนหน้านี้
  • 7:34 - 7:36
    อันนี้จะเท่ากับ 2
  • 7:36 - 7:39
    เราเหลือ 2 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ลบ
  • 7:39 - 7:42
    1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ซึ่ง
  • 7:42 - 7:48
    เท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
  • 7:48 - 7:52
    และเราก็ เราก็เสร็จแล้ว
Title:
U substitution with exponential function
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:53

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.