1
00:00:00,566 --> 00:00:02,301
ลองดูว่าเราคำนวณอินทิกรัล

2
00:00:02,301 --> 00:00:07,566
จำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ x กำลังสองคูณ

3
00:00:07,566 --> 00:00:13,500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx ได้ไหม

4
00:00:13,500 --> 00:00:15,900
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้

5
00:00:15,900 --> 00:00:20,233
แล้วดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม

6
00:00:20,940 --> 00:00:22,634
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

7
00:00:22,634 --> 00:00:24,300
มันมีสิ่งที่น่าสนใจหลายอย่างตรงนี้

8
00:00:24,300 --> 00:00:26,100
อย่างแรก อย่างน้อยในหัวผม มันบอกว่า

9
00:00:26,100 --> 00:00:28,367
ผมเคยหาอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์

10
00:00:28,367 --> 00:00:31,700
ของ e กำลัง x แต่ไม่ใช่ฐานอื่นยกกำลัง x

11
00:00:31,700 --> 00:00:34,700
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x

12
00:00:34,700 --> 00:00:38,100
เท่ากับ e กำลัง x หรือเราบอกได้ว่าปฏิยานุพันธ์

13
00:00:38,100 --> 00:00:43,700
ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x บวก c

14
00:00:43,700 --> 00:00:46,900
เนื่องจากผมกำลังคิดถึงจำนวนยกกำลัง

15
00:00:47,930 --> 00:00:49,900
กรณีเฉพาะนี้ ค่าสักค่ายกกำลัง

16
00:00:49,900 --> 00:00:52,500
ฟังก์ชันของ x ผมจึงน่าจะอยาก

17
00:00:52,500 --> 00:00:56,433
เปลี่ยนฐานตรงนี้ แต่ผมทำได้อย่างไร?

18
00:00:56,433 --> 00:01:00,866
วิธีที่ผมทำได้คือเขียน 2 ใหม่ในรูปของ e

19
00:01:01,100 --> 00:01:03,233
2 คืออะไรในรูปของ e?

20
00:01:03,233 --> 00:01:09,900
2 เท่ากับ e, เท่ากับ e ยกกำลัง

21
00:01:09,900 --> 00:01:13,033
กำลังที่คุณต้องยก e เพื่อให้ 2

22
00:01:13,033 --> 00:01:14,367
กำลังที่คุณ

23
00:01:14,367 --> 00:01:16,500
ต้องยก e เพื่อได้ให้ 2 คืออะไร?

24
00:01:16,500 --> 00:01:18,600
มันคือล็อกธรรมชาติของ 2

25
00:01:18,633 --> 00:01:21,633
ย้ำอีกครั้ง ล็อกธรรมชาติของ 2 คือเลขชี้กำลัง

26
00:01:21,633 --> 00:01:24,100
ที่คุณต้องยก e เพื่อให้ได้ 2

27
00:01:24,100 --> 00:01:27,700
ถ้าคุณยก e ด้วยค่านั้น คุณจะได้ 2

28
00:01:27,700 --> 00:01:29,567
นี่คือ 2

29
00:01:29,567 --> 00:01:31,567
แล้ว 2 ยกกำลัง x กำลังสามเป็นเท่าใด?

30
00:01:31,567 --> 00:01:34,500
ถ้าเรายกทั้งสองข้างนี้ด้วย x กำลัง 3

31
00:01:34,500 --> 00:01:38,166
เรายกกำลังทั้งสองข้างด้วย x ยกกำลัง 3

32
00:01:38,166 --> 00:01:40,967
2 กำลัง x กำลังสามเท่ากับ ถ้าผมยก

33
00:01:40,967 --> 00:01:43,433
อะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังหนึ่ง
แล้วยกด้วยเลขชี้กำลังอีกตัว

34
00:01:43,433 --> 00:01:49,266
มันจะเท่ากับ e กำลัง x กำลัง 3

35
00:01:49,633 --> 00:01:53,000
x กำลัง 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

36
00:01:53,100 --> 00:01:56,134
คูณล็อกธรรมชาติของ 2

37
00:01:56,233 --> 00:01:59,166
มันน่าสนใจอยู่แล้ว

38
00:01:59,166 --> 00:02:01,567
ลองเขียนอันนี้ใหม่ ที่จริงสิ่งที่ผมจะทำ

39
00:02:01,567 --> 00:02:04,100
คือดูอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน

40
00:02:04,100 --> 00:02:05,166
ดูว่าเราหามันได้ไหม

41
00:02:05,166 --> 00:02:06,500
แล้วเราค่อยใช้ เราค่อยหา

42
00:02:06,500 --> 00:02:08,566
เราก็หาค่าจำกัดเขตได้

43
00:02:08,566 --> 00:02:11,566
ลองคิดอันนี้กัน ลองคิด

44
00:02:11,566 --> 00:02:15,033
ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ x กำลังสองคูณ

45
00:02:15,033 --> 00:02:18,500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx เป็นเท่าใดก่อน

46
00:02:18,500 --> 00:02:20,566
ผมอยากหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้

47
00:02:20,566 --> 00:02:23,166
อันนี้จะเท่ากับ

48
00:02:23,166 --> 00:02:28,433
อินทิกรัลของ ผมจะเขียน 
x กำลังสองเหมือนเดิม

49
00:02:28,433 --> 00:02:30,366
แต่แทนที่จะเป็น 2 กำลัง x กำลัง 3

50
00:02:30,366 --> 00:02:32,166
ผมจะเขียนทั้งหมดนี้

51
00:02:32,166 --> 00:02:33,833
ขอผมลอกและวางมันลงไปนะ

52
00:02:33,833 --> 00:02:35,300
เราสรุปไปแล้วว่า อันนี้เท่ากับ

53
00:02:35,300 --> 00:02:38,500
2 กำลัง x กำลัง 3

54
00:02:38,500 --> 00:02:42,867
ลอกและวาง อย่างนั้น

55
00:02:43,433 --> 00:02:47,800
ขอผมจบมันด้วย dx นะ

56
00:02:48,838 --> 00:02:51,767
ผมสามารถเขียนในรูป e เป็นฐานได้

57
00:02:51,767 --> 00:02:53,434
มันทำให้ผมสบายใจขึ้น

58
00:02:53,434 --> 00:02:55,366
แต่มันยังดูซับซ้อนอยู่

59
00:02:55,366 --> 00:02:57,700
คุณอาจบอกว่า โอเค ดูนะ

60
00:02:57,700 --> 00:03:00,966
บางทีการแทนที่ u อาจใช้ได้ตรงนี้

61
00:03:00,966 --> 00:03:05,033
เพราะผมมีพจน์เพี้ยนๆ นี้ x กำลังสามคูณ

62
00:03:05,033 --> 00:03:08,000
ล็อกธรรมชาติขง 2 แต่อนุพันธ์ของมันคืออะไร?

63
00:03:08,033 --> 00:03:09,366
มันจะเท่ากับ 3x

64
00:03:09,366 --> 00:03:11,167
กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

65
00:03:11,167 --> 00:03:13,966
หรือ 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2 
คูณ x กำลังสอง

66
00:03:13,966 --> 00:03:16,166
นั่นก็แค่ค่าคงที่คูณ x กำลังสอง

67
00:03:16,166 --> 00:03:18,766
เรามี x กำลังสองตรงนี้แล้ว เราก็จัดการ

68
00:03:18,766 --> 00:03:22,934
ให้มันมีค่าคงที่ตรงนี้ได้

69
00:03:22,967 --> 00:03:24,233
ลองคิดดู

70
00:03:24,233 --> 00:03:27,900
ถ้าเราทำอันนี้ ถ้าเรานิยามค่านี้ว่า u

71
00:03:27,900 --> 00:03:33,233
ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ x กำลัง 3 คูณ

72
00:03:33,233 --> 00:03:36,234
ล็อกธรรมชาติของ 2, du จะเป็นเท่าใด?

73
00:03:36,234 --> 00:03:39,900
du จะเป็น มันจะเป็น ล็อก

74
00:03:39,900 --> 00:03:42,033
ธรรมชาติของ 2 ก็แค่ค่าคงที่ มันจึง

75
00:03:42,033 --> 00:03:45,933
ได้ 3x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

76
00:03:46,033 --> 00:03:47,433
คุณเปลี่ยนลำดับ

77
00:03:47,433 --> 00:03:49,033
การคูณได้หน่อย

78
00:03:49,033 --> 00:03:50,500
เราบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ

79
00:03:50,500 --> 00:03:55,567
x กำลังสองคูณ 3 ล็อกธรรมชาติของ 2

80
00:03:55,567 --> 00:03:58,566
ซึ่งเท่ากับ แค่ใช้สมบัติลอการิทึม

81
00:03:58,566 --> 00:04:03,766
เป็น x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
ยกกำลังสาม

82
00:04:03,766 --> 00:04:05,100
3 ล็อกธรรมชาติขง 2 เท่ากับ

83
00:04:05,100 --> 00:04:07,166
ล็อกธรรมชาติของ 2 กำลัง 3

84
00:04:07,166 --> 00:04:13,333
นี่เท่ากับ x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 8

85
00:04:13,700 --> 00:04:16,433
ลองดู ถ้านี่คือ u แล้ว du คืออะไร?

86
00:04:16,433 --> 00:04:19,466
โอ้ แน่นอน เราห้ามลืม dx

87
00:04:19,966 --> 00:04:25,800
นี่คื dx ตรงนี้, dx, dx, dx

88
00:04:25,833 --> 00:04:29,767
แล้ว du อยู่ตรงไหน? เรามี dx อยู่ 
ขอผมวงกลมหน่อย

89
00:04:29,767 --> 00:04:32,767
คุณมี dx ตรงนี้ คุณมี dx ตรงนั้น

90
00:04:32,767 --> 00:04:36,100
คุณมี x กำลังสองตรงนี้ คุณมี x กำลังสองตรงนี้

91
00:04:36,100 --> 00:04:38,234
ที่เราต้องการจริงๆ ก็คือ

92
00:04:38,234 --> 00:04:40,900
ทั้งหมดที่เราต้องการตรงนี้ คือ
ล็อกธรรมชาติของ 8

93
00:04:40,900 --> 00:04:43,834
ในอุดมคติ เราควรมีล็อกธรรมชาติของ 8 ตรงนี้

94
00:04:43,834 --> 00:04:46,966
แล้วเราก็ใส่มันได้ ตราบใดที่เรา

95
00:04:46,966 --> 00:04:49,233
เราคูณมันด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

96
00:04:49,233 --> 00:04:53,333
ตราบใดที่เราหารด้วย
ล็อกธรรมชาติของ 8 เช่นกัน

97
00:04:53,366 --> 00:04:56,300
เราทำมันตรงนี้ได้

98
00:04:56,300 --> 00:04:58,833
เราหารด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

99
00:04:58,833 --> 00:05:01,366
แต่เรารู้ว่าปฏิยานุพันธ์ของค่าคงที่

100
00:05:01,366 --> 00:05:04,033
คูณฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่

101
00:05:04,033 --> 00:05:06,300
คูณปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

102
00:05:06,300 --> 00:05:08,433
เราดึงมันออกข้างนอกได้

103
00:05:08,433 --> 00:05:12,333
มันคือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

104
00:05:12,566 --> 00:05:15,433
ลองเขียนมันในรูปของ u กับ du กัน

105
00:05:15,433 --> 00:05:18,566
อันนี้ลดรูปเหลือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ

106
00:05:18,566 --> 00:05:23,346
ของ 8 คูณปฏิยานุพันธ์ของ

107
00:05:24,453 --> 00:05:31,766
e กำลัง u, e กำลัง u, นั่นคือ u, du

108
00:05:31,766 --> 00:05:36,509
อันนี้คูณอันนั้นได้ du, du

109
00:05:36,509 --> 00:05:38,700
และอันนี้ตรงไปตรงมา

110
00:05:38,700 --> 00:05:40,900
เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร

111
00:05:40,900 --> 00:05:43,100
อันนี้จะเท่ากับ ขอผมเขียน

112
00:05:43,100 --> 00:05:45,600
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ข้างนอกนี้

113
00:05:45,633 --> 00:05:53,879
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 คูณ e กำลัง u

114
00:05:55,771 --> 00:05:57,700
และแน่นอน ถ้าเราคิดในรูปของ

115
00:05:57,700 --> 00:06:00,433
ปฏิยานุพันธ์ มันจะมีค่าคงที่ข้างนอกนี้

116
00:06:00,433 --> 00:06:02,900
แล้วเราก็ย้อนการแทนที่

117
00:06:02,900 --> 00:06:04,500
เรารู้ว่า u คืออะไร

118
00:06:04,500 --> 00:06:07,300
มันจะเท่ากับ ปฏิยานุพันธ์ของ

119
00:06:07,300 --> 00:06:11,566
พจน์นี้คือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

120
00:06:11,566 --> 00:06:15,367
คูณ e กำลัง แทนที่จะเป็น u เรารู้ว่า u

121
00:06:15,367 --> 00:06:19,100
คือ x กำลังสามคูณล็อกธรรมชาติของ 2

122
00:06:19,100 --> 00:06:21,866
และแน่นอน เราใส่บวก c ตรงนี้ได้

123
00:06:22,100 --> 00:06:24,234
ทีนี้ กลับไปยังปัญหาเดิม

124
00:06:24,234 --> 00:06:26,566
เราต้องหาค่าปฏิยานุพันธ์

125
00:06:26,566 --> 00:06:29,500
ของตัวนี้ที่แต่ละจุดเหล่านี้

126
00:06:29,500 --> 00:06:30,967
ลองเขียนมันใหม่

127
00:06:30,967 --> 00:06:36,066
จากที่เราหาไป ขอผมลอกและวางนะ

128
00:06:36,301 --> 00:06:39,120
อันนี้จะเท่ากับ

129
00:06:40,181 --> 00:06:43,966
มันจะเท่ากับปฏิยานุพันธ์หาค่า

130
00:06:43,966 --> 00:06:47,100
ที่ 1 ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 0

131
00:06:47,100 --> 00:06:48,033
เราไม่ต้องกังวลเรื่อง

132
00:06:48,033 --> 00:06:50,033
ค่าคงที่เพราะมันจะหักล้างกัน

133
00:06:50,033 --> 00:06:53,566
เราจะได้ เราจะได้ 1 --

134
00:06:53,566 --> 00:06:55,966
ขอผมหาค่ามันที่ 1 นะ

135
00:06:56,596 --> 00:06:59,500
คุณจะได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

136
00:06:59,500 --> 00:07:05,433
8 คูณ e กำลัง 1/3

137
00:07:05,433 --> 00:07:08,100
ซึ่งก็คือ 1 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

138
00:07:08,100 --> 00:07:10,834
ล็อกธรรมชาติของ 2 มันหาค่าได้ 1

139
00:07:10,834 --> 00:07:15,066
แล้วเราต้องลบมันหาค่าที่ 0

140
00:07:15,100 --> 00:07:18,033
มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

141
00:07:18,033 --> 00:07:21,633
8 คูณ e กำลัง, เมื่อ x เป็น 0

142
00:07:21,633 --> 00:07:23,766
ทั้งหมดนี้จะเป็น 0

143
00:07:23,766 --> 00:07:29,100
แล้ว e กำลัง 0 ก็แค่ 1 และ 
e กำลังล็อกธรรมชาติ

144
00:07:29,100 --> 00:07:32,233
ของ 2, มันก็แค่ 2

145
00:07:32,233 --> 00:07:33,966
เราบอกไปแล้วก่อนหน้านี้

146
00:07:33,966 --> 00:07:35,766
อันนี้จะเท่ากับ 2

147
00:07:35,766 --> 00:07:39,366
เราเหลือ 2 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ลบ

148
00:07:39,366 --> 00:07:42,500
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ซึ่ง

149
00:07:42,500 --> 00:07:47,533
เท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

150
00:07:47,900 --> 00:07:52,266
และเราก็ เราก็เสร็จแล้ว