0:00:00.566,0:00:02.301
ลองดูว่าเราคำนวณอินทิกรัล

0:00:02.301,0:00:07.566
จำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ x กำลังสองคูณ

0:00:07.566,0:00:13.500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx ได้ไหม

0:00:13.500,0:00:15.900
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้

0:00:15.900,0:00:20.233
แล้วดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม

0:00:20.940,0:00:22.634
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

0:00:22.634,0:00:24.300
มันมีสิ่งที่น่าสนใจหลายอย่างตรงนี้

0:00:24.300,0:00:26.100
อย่างแรก อย่างน้อยในหัวผม มันบอกว่า

0:00:26.100,0:00:28.367
ผมเคยหาอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์

0:00:28.367,0:00:31.700
ของ e กำลัง x แต่ไม่ใช่ฐานอื่นยกกำลัง x

0:00:31.700,0:00:34.700
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x

0:00:34.700,0:00:38.100
เท่ากับ e กำลัง x หรือเราบอกได้ว่าปฏิยานุพันธ์

0:00:38.100,0:00:43.700
ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x บวก c

0:00:43.700,0:00:46.900
เนื่องจากผมกำลังคิดถึงจำนวนยกกำลัง

0:00:47.930,0:00:49.900
กรณีเฉพาะนี้ ค่าสักค่ายกกำลัง

0:00:49.900,0:00:52.500
ฟังก์ชันของ x ผมจึงน่าจะอยาก

0:00:52.500,0:00:56.433
เปลี่ยนฐานตรงนี้ แต่ผมทำได้อย่างไร?

0:00:56.433,0:01:00.866
วิธีที่ผมทำได้คือเขียน 2 ใหม่ในรูปของ e

0:01:01.100,0:01:03.233
2 คืออะไรในรูปของ e?

0:01:03.233,0:01:09.900
2 เท่ากับ e, เท่ากับ e ยกกำลัง

0:01:09.900,0:01:13.033
กำลังที่คุณต้องยก e เพื่อให้ 2

0:01:13.033,0:01:14.367
กำลังที่คุณ

0:01:14.367,0:01:16.500
ต้องยก e เพื่อได้ให้ 2 คืออะไร?

0:01:16.500,0:01:18.600
มันคือล็อกธรรมชาติของ 2

0:01:18.633,0:01:21.633
ย้ำอีกครั้ง ล็อกธรรมชาติของ 2 คือเลขชี้กำลัง

0:01:21.633,0:01:24.100
ที่คุณต้องยก e เพื่อให้ได้ 2

0:01:24.100,0:01:27.700
ถ้าคุณยก e ด้วยค่านั้น คุณจะได้ 2

0:01:27.700,0:01:29.567
นี่คือ 2

0:01:29.567,0:01:31.567
แล้ว 2 ยกกำลัง x กำลังสามเป็นเท่าใด?

0:01:31.567,0:01:34.500
ถ้าเรายกทั้งสองข้างนี้ด้วย x กำลัง 3

0:01:34.500,0:01:38.166
เรายกกำลังทั้งสองข้างด้วย x ยกกำลัง 3

0:01:38.166,0:01:40.967
2 กำลัง x กำลังสามเท่ากับ ถ้าผมยก

0:01:40.967,0:01:43.433
อะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังหนึ่ง[br]แล้วยกด้วยเลขชี้กำลังอีกตัว

0:01:43.433,0:01:49.266
มันจะเท่ากับ e กำลัง x กำลัง 3

0:01:49.633,0:01:53.000
x กำลัง 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:01:53.100,0:01:56.134
คูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:01:56.233,0:01:59.166
มันน่าสนใจอยู่แล้ว

0:01:59.166,0:02:01.567
ลองเขียนอันนี้ใหม่ ที่จริงสิ่งที่ผมจะทำ

0:02:01.567,0:02:04.100
คือดูอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน

0:02:04.100,0:02:05.166
ดูว่าเราหามันได้ไหม

0:02:05.166,0:02:06.500
แล้วเราค่อยใช้ เราค่อยหา

0:02:06.500,0:02:08.566
เราก็หาค่าจำกัดเขตได้

0:02:08.566,0:02:11.566
ลองคิดอันนี้กัน ลองคิด

0:02:11.566,0:02:15.033
ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ x กำลังสองคูณ

0:02:15.033,0:02:18.500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx เป็นเท่าใดก่อน

0:02:18.500,0:02:20.566
ผมอยากหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้

0:02:20.566,0:02:23.166
อันนี้จะเท่ากับ

0:02:23.166,0:02:28.433
อินทิกรัลของ ผมจะเขียน [br]x กำลังสองเหมือนเดิม

0:02:28.433,0:02:30.366
แต่แทนที่จะเป็น 2 กำลัง x กำลัง 3

0:02:30.366,0:02:32.166
ผมจะเขียนทั้งหมดนี้

0:02:32.166,0:02:33.833
ขอผมลอกและวางมันลงไปนะ

0:02:33.833,0:02:35.300
เราสรุปไปแล้วว่า อันนี้เท่ากับ

0:02:35.300,0:02:38.500
2 กำลัง x กำลัง 3

0:02:38.500,0:02:42.867
ลอกและวาง อย่างนั้น

0:02:43.433,0:02:47.800
ขอผมจบมันด้วย dx นะ

0:02:48.838,0:02:51.767
ผมสามารถเขียนในรูป e เป็นฐานได้

0:02:51.767,0:02:53.434
มันทำให้ผมสบายใจขึ้น

0:02:53.434,0:02:55.366
แต่มันยังดูซับซ้อนอยู่

0:02:55.366,0:02:57.700
คุณอาจบอกว่า โอเค ดูนะ

0:02:57.700,0:03:00.966
บางทีการแทนที่ u อาจใช้ได้ตรงนี้

0:03:00.966,0:03:05.033
เพราะผมมีพจน์เพี้ยนๆ นี้ x กำลังสามคูณ

0:03:05.033,0:03:08.000
ล็อกธรรมชาติขง 2 แต่อนุพันธ์ของมันคืออะไร?

0:03:08.033,0:03:09.366
มันจะเท่ากับ 3x

0:03:09.366,0:03:11.167
กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:03:11.167,0:03:13.966
หรือ 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2 [br]คูณ x กำลังสอง

0:03:13.966,0:03:16.166
นั่นก็แค่ค่าคงที่คูณ x กำลังสอง

0:03:16.166,0:03:18.766
เรามี x กำลังสองตรงนี้แล้ว เราก็จัดการ

0:03:18.766,0:03:22.934
ให้มันมีค่าคงที่ตรงนี้ได้

0:03:22.967,0:03:24.233
ลองคิดดู

0:03:24.233,0:03:27.900
ถ้าเราทำอันนี้ ถ้าเรานิยามค่านี้ว่า u

0:03:27.900,0:03:33.233
ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ x กำลัง 3 คูณ

0:03:33.233,0:03:36.234
ล็อกธรรมชาติของ 2, du จะเป็นเท่าใด?

0:03:36.234,0:03:39.900
du จะเป็น มันจะเป็น ล็อก

0:03:39.900,0:03:42.033
ธรรมชาติของ 2 ก็แค่ค่าคงที่ มันจึง

0:03:42.033,0:03:45.933
ได้ 3x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:03:46.033,0:03:47.433
คุณเปลี่ยนลำดับ

0:03:47.433,0:03:49.033
การคูณได้หน่อย

0:03:49.033,0:03:50.500
เราบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ

0:03:50.500,0:03:55.567
x กำลังสองคูณ 3 ล็อกธรรมชาติของ 2

0:03:55.567,0:03:58.566
ซึ่งเท่ากับ แค่ใช้สมบัติลอการิทึม

0:03:58.566,0:04:03.766
เป็น x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2[br]ยกกำลังสาม

0:04:03.766,0:04:05.100
3 ล็อกธรรมชาติขง 2 เท่ากับ

0:04:05.100,0:04:07.166
ล็อกธรรมชาติของ 2 กำลัง 3

0:04:07.166,0:04:13.333
นี่เท่ากับ x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 8

0:04:13.700,0:04:16.433
ลองดู ถ้านี่คือ u แล้ว du คืออะไร?

0:04:16.433,0:04:19.466
โอ้ แน่นอน เราห้ามลืม dx

0:04:19.966,0:04:25.800
นี่คื dx ตรงนี้, dx, dx, dx

0:04:25.833,0:04:29.767
แล้ว du อยู่ตรงไหน? เรามี dx อยู่ [br]ขอผมวงกลมหน่อย

0:04:29.767,0:04:32.767
คุณมี dx ตรงนี้ คุณมี dx ตรงนั้น

0:04:32.767,0:04:36.100
คุณมี x กำลังสองตรงนี้ คุณมี x กำลังสองตรงนี้

0:04:36.100,0:04:38.234
ที่เราต้องการจริงๆ ก็คือ

0:04:38.234,0:04:40.900
ทั้งหมดที่เราต้องการตรงนี้ คือ[br]ล็อกธรรมชาติของ 8

0:04:40.900,0:04:43.834
ในอุดมคติ เราควรมีล็อกธรรมชาติของ 8 ตรงนี้

0:04:43.834,0:04:46.966
แล้วเราก็ใส่มันได้ ตราบใดที่เรา

0:04:46.966,0:04:49.233
เราคูณมันด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

0:04:49.233,0:04:53.333
ตราบใดที่เราหารด้วย[br]ล็อกธรรมชาติของ 8 เช่นกัน

0:04:53.366,0:04:56.300
เราทำมันตรงนี้ได้

0:04:56.300,0:04:58.833
เราหารด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

0:04:58.833,0:05:01.366
แต่เรารู้ว่าปฏิยานุพันธ์ของค่าคงที่

0:05:01.366,0:05:04.033
คูณฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่

0:05:04.033,0:05:06.300
คูณปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

0:05:06.300,0:05:08.433
เราดึงมันออกข้างนอกได้

0:05:08.433,0:05:12.333
มันคือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

0:05:12.566,0:05:15.433
ลองเขียนมันในรูปของ u กับ du กัน

0:05:15.433,0:05:18.566
อันนี้ลดรูปเหลือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ

0:05:18.566,0:05:23.346
ของ 8 คูณปฏิยานุพันธ์ของ

0:05:24.453,0:05:31.766
e กำลัง u, e กำลัง u, นั่นคือ u, du

0:05:31.766,0:05:36.509
อันนี้คูณอันนั้นได้ du, du

0:05:36.509,0:05:38.700
และอันนี้ตรงไปตรงมา

0:05:38.700,0:05:40.900
เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร

0:05:40.900,0:05:43.100
อันนี้จะเท่ากับ ขอผมเขียน

0:05:43.100,0:05:45.600
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ข้างนอกนี้

0:05:45.633,0:05:53.879
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 คูณ e กำลัง u

0:05:55.771,0:05:57.700
และแน่นอน ถ้าเราคิดในรูปของ

0:05:57.700,0:06:00.433
ปฏิยานุพันธ์ มันจะมีค่าคงที่ข้างนอกนี้

0:06:00.433,0:06:02.900
แล้วเราก็ย้อนการแทนที่

0:06:02.900,0:06:04.500
เรารู้ว่า u คืออะไร

0:06:04.500,0:06:07.300
มันจะเท่ากับ ปฏิยานุพันธ์ของ

0:06:07.300,0:06:11.566
พจน์นี้คือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

0:06:11.566,0:06:15.367
คูณ e กำลัง แทนที่จะเป็น u เรารู้ว่า u

0:06:15.367,0:06:19.100
คือ x กำลังสามคูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:06:19.100,0:06:21.866
และแน่นอน เราใส่บวก c ตรงนี้ได้

0:06:22.100,0:06:24.234
ทีนี้ กลับไปยังปัญหาเดิม

0:06:24.234,0:06:26.566
เราต้องหาค่าปฏิยานุพันธ์

0:06:26.566,0:06:29.500
ของตัวนี้ที่แต่ละจุดเหล่านี้

0:06:29.500,0:06:30.967
ลองเขียนมันใหม่

0:06:30.967,0:06:36.066
จากที่เราหาไป ขอผมลอกและวางนะ

0:06:36.301,0:06:39.120
อันนี้จะเท่ากับ

0:06:40.181,0:06:43.966
มันจะเท่ากับปฏิยานุพันธ์หาค่า

0:06:43.966,0:06:47.100
ที่ 1 ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 0

0:06:47.100,0:06:48.033
เราไม่ต้องกังวลเรื่อง

0:06:48.033,0:06:50.033
ค่าคงที่เพราะมันจะหักล้างกัน

0:06:50.033,0:06:53.566
เราจะได้ เราจะได้ 1 --

0:06:53.566,0:06:55.966
ขอผมหาค่ามันที่ 1 นะ

0:06:56.596,0:06:59.500
คุณจะได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

0:06:59.500,0:07:05.433
8 คูณ e กำลัง 1/3

0:07:05.433,0:07:08.100
ซึ่งก็คือ 1 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

0:07:08.100,0:07:10.834
ล็อกธรรมชาติของ 2 มันหาค่าได้ 1

0:07:10.834,0:07:15.066
แล้วเราต้องลบมันหาค่าที่ 0

0:07:15.100,0:07:18.033
มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

0:07:18.033,0:07:21.633
8 คูณ e กำลัง, เมื่อ x เป็น 0

0:07:21.633,0:07:23.766
ทั้งหมดนี้จะเป็น 0

0:07:23.766,0:07:29.100
แล้ว e กำลัง 0 ก็แค่ 1 และ [br]e กำลังล็อกธรรมชาติ

0:07:29.100,0:07:32.233
ของ 2, มันก็แค่ 2

0:07:32.233,0:07:33.966
เราบอกไปแล้วก่อนหน้านี้

0:07:33.966,0:07:35.766
อันนี้จะเท่ากับ 2

0:07:35.766,0:07:39.366
เราเหลือ 2 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ลบ

0:07:39.366,0:07:42.500
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ซึ่ง

0:07:42.500,0:07:47.533
เท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

0:07:47.900,0:07:52.266
และเราก็ เราก็เสร็จแล้ว