ลองดูว่าเราคำนวณอินทิกรัล
จำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ x กำลังสองคูณ
2 กำลัง x กำลัง 3 dx ได้ไหม
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้
แล้วดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
มันมีสิ่งที่น่าสนใจหลายอย่างตรงนี้
อย่างแรก อย่างน้อยในหัวผม มันบอกว่า
ผมเคยหาอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์
ของ e กำลัง x แต่ไม่ใช่ฐานอื่นยกกำลัง x
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x
เท่ากับ e กำลัง x หรือเราบอกได้ว่าปฏิยานุพันธ์
ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x บวก c
เนื่องจากผมกำลังคิดถึงจำนวนยกกำลัง
กรณีเฉพาะนี้ ค่าสักค่ายกกำลัง
ฟังก์ชันของ x ผมจึงน่าจะอยาก
เปลี่ยนฐานตรงนี้ แต่ผมทำได้อย่างไร?
วิธีที่ผมทำได้คือเขียน 2 ใหม่ในรูปของ e
2 คืออะไรในรูปของ e?
2 เท่ากับ e, เท่ากับ e ยกกำลัง
กำลังที่คุณต้องยก e เพื่อให้ 2
กำลังที่คุณ
ต้องยก e เพื่อได้ให้ 2 คืออะไร?
มันคือล็อกธรรมชาติของ 2
ย้ำอีกครั้ง ล็อกธรรมชาติของ 2 คือเลขชี้กำลัง
ที่คุณต้องยก e เพื่อให้ได้ 2
ถ้าคุณยก e ด้วยค่านั้น คุณจะได้ 2
นี่คือ 2
แล้ว 2 ยกกำลัง x กำลังสามเป็นเท่าใด?
ถ้าเรายกทั้งสองข้างนี้ด้วย x กำลัง 3
เรายกกำลังทั้งสองข้างด้วย x ยกกำลัง 3
2 กำลัง x กำลังสามเท่ากับ ถ้าผมยก
อะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังหนึ่ง แล้วยกด้วยเลขชี้กำลังอีกตัว
มันจะเท่ากับ e กำลัง x กำลัง 3
x กำลัง 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2
คูณล็อกธรรมชาติของ 2
มันน่าสนใจอยู่แล้ว
ลองเขียนอันนี้ใหม่ ที่จริงสิ่งที่ผมจะทำ
คือดูอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน
ดูว่าเราหามันได้ไหม
แล้วเราค่อยใช้ เราค่อยหา
เราก็หาค่าจำกัดเขตได้
ลองคิดอันนี้กัน ลองคิด
ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ x กำลังสองคูณ
2 กำลัง x กำลัง 3 dx เป็นเท่าใดก่อน
ผมอยากหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้
อันนี้จะเท่ากับ
อินทิกรัลของ ผมจะเขียน x กำลังสองเหมือนเดิม
แต่แทนที่จะเป็น 2 กำลัง x กำลัง 3
ผมจะเขียนทั้งหมดนี้
ขอผมลอกและวางมันลงไปนะ
เราสรุปไปแล้วว่า อันนี้เท่ากับ
2 กำลัง x กำลัง 3
ลอกและวาง อย่างนั้น
ขอผมจบมันด้วย dx นะ
ผมสามารถเขียนในรูป e เป็นฐานได้
มันทำให้ผมสบายใจขึ้น
แต่มันยังดูซับซ้อนอยู่
คุณอาจบอกว่า โอเค ดูนะ
บางทีการแทนที่ u อาจใช้ได้ตรงนี้
เพราะผมมีพจน์เพี้ยนๆ นี้ x กำลังสามคูณ
ล็อกธรรมชาติขง 2 แต่อนุพันธ์ของมันคืออะไร?
มันจะเท่ากับ 3x
กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
หรือ 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2 คูณ x กำลังสอง
นั่นก็แค่ค่าคงที่คูณ x กำลังสอง
เรามี x กำลังสองตรงนี้แล้ว เราก็จัดการ
ให้มันมีค่าคงที่ตรงนี้ได้
ลองคิดดู
ถ้าเราทำอันนี้ ถ้าเรานิยามค่านี้ว่า u
ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ x กำลัง 3 คูณ
ล็อกธรรมชาติของ 2, du จะเป็นเท่าใด?
du จะเป็น มันจะเป็น ล็อก
ธรรมชาติของ 2 ก็แค่ค่าคงที่ มันจึง
ได้ 3x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
คุณเปลี่ยนลำดับ
การคูณได้หน่อย
เราบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ
x กำลังสองคูณ 3 ล็อกธรรมชาติของ 2
ซึ่งเท่ากับ แค่ใช้สมบัติลอการิทึม
เป็น x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2 ยกกำลังสาม
3 ล็อกธรรมชาติขง 2 เท่ากับ
ล็อกธรรมชาติของ 2 กำลัง 3
นี่เท่ากับ x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 8
ลองดู ถ้านี่คือ u แล้ว du คืออะไร?
โอ้ แน่นอน เราห้ามลืม dx
นี่คื dx ตรงนี้, dx, dx, dx
แล้ว du อยู่ตรงไหน? เรามี dx อยู่ ขอผมวงกลมหน่อย
คุณมี dx ตรงนี้ คุณมี dx ตรงนั้น
คุณมี x กำลังสองตรงนี้ คุณมี x กำลังสองตรงนี้
ที่เราต้องการจริงๆ ก็คือ
ทั้งหมดที่เราต้องการตรงนี้ คือ ล็อกธรรมชาติของ 8
ในอุดมคติ เราควรมีล็อกธรรมชาติของ 8 ตรงนี้
แล้วเราก็ใส่มันได้ ตราบใดที่เรา
เราคูณมันด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้
ตราบใดที่เราหารด้วย ล็อกธรรมชาติของ 8 เช่นกัน
เราทำมันตรงนี้ได้
เราหารด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้
แต่เรารู้ว่าปฏิยานุพันธ์ของค่าคงที่
คูณฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่
คูณปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
เราดึงมันออกข้างนอกได้
มันคือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
ลองเขียนมันในรูปของ u กับ du กัน
อันนี้ลดรูปเหลือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ
ของ 8 คูณปฏิยานุพันธ์ของ
e กำลัง u, e กำลัง u, นั่นคือ u, du
อันนี้คูณอันนั้นได้ du, du
และอันนี้ตรงไปตรงมา
เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร
อันนี้จะเท่ากับ ขอผมเขียน
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ข้างนอกนี้
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 คูณ e กำลัง u
และแน่นอน ถ้าเราคิดในรูปของ
ปฏิยานุพันธ์ มันจะมีค่าคงที่ข้างนอกนี้
แล้วเราก็ย้อนการแทนที่
เรารู้ว่า u คืออะไร
มันจะเท่ากับ ปฏิยานุพันธ์ของ
พจน์นี้คือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
คูณ e กำลัง แทนที่จะเป็น u เรารู้ว่า u
คือ x กำลังสามคูณล็อกธรรมชาติของ 2
และแน่นอน เราใส่บวก c ตรงนี้ได้
ทีนี้ กลับไปยังปัญหาเดิม
เราต้องหาค่าปฏิยานุพันธ์
ของตัวนี้ที่แต่ละจุดเหล่านี้
ลองเขียนมันใหม่
จากที่เราหาไป ขอผมลอกและวางนะ
อันนี้จะเท่ากับ
มันจะเท่ากับปฏิยานุพันธ์หาค่า
ที่ 1 ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 0
เราไม่ต้องกังวลเรื่อง
ค่าคงที่เพราะมันจะหักล้างกัน
เราจะได้ เราจะได้ 1 --
ขอผมหาค่ามันที่ 1 นะ
คุณจะได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ
8 คูณ e กำลัง 1/3
ซึ่งก็คือ 1 คูณล็อกธรรมชาติของ 2
ล็อกธรรมชาติของ 2 มันหาค่าได้ 1
แล้วเราต้องลบมันหาค่าที่ 0
มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ
8 คูณ e กำลัง, เมื่อ x เป็น 0
ทั้งหมดนี้จะเป็น 0
แล้ว e กำลัง 0 ก็แค่ 1 และ e กำลังล็อกธรรมชาติ
ของ 2, มันก็แค่ 2
เราบอกไปแล้วก่อนหน้านี้
อันนี้จะเท่ากับ 2
เราเหลือ 2 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ลบ
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ซึ่ง
เท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8
และเราก็ เราก็เสร็จแล้ว