WEBVTT

00:00:00.566 --> 00:00:02.301
ลองดูว่าเราคำนวณอินทิกรัล

00:00:02.301 --> 00:00:07.566
จำกัดเขตจาก 0 ถึง 1 ของ x กำลังสองคูณ

00:00:07.566 --> 00:00:13.500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx ได้ไหม

00:00:13.500 --> 00:00:15.900
เหมือนเดิม ผมแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้

00:00:15.900 --> 00:00:20.233
แล้วดูว่าคุณหาคำตอบเองได้ไหม

00:00:20.940 --> 00:00:22.634
ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ

00:00:22.634 --> 00:00:24.300
มันมีสิ่งที่น่าสนใจหลายอย่างตรงนี้

00:00:24.300 --> 00:00:26.100
อย่างแรก อย่างน้อยในหัวผม มันบอกว่า

00:00:26.100 --> 00:00:28.367
ผมเคยหาอนุพันธ์และปฏิยานุพันธ์

00:00:28.367 --> 00:00:31.700
ของ e กำลัง x แต่ไม่ใช่ฐานอื่นยกกำลัง x

00:00:31.700 --> 00:00:34.700
เรารู้ว่าอนุพันธ์เทียบกับ x ของ e กำลัง x

00:00:34.700 --> 00:00:38.100
เท่ากับ e กำลัง x หรือเราบอกได้ว่าปฏิยานุพันธ์

00:00:38.100 --> 00:00:43.700
ของ e กำลัง x เท่ากับ e กำลัง x บวก c

00:00:43.700 --> 00:00:46.900
เนื่องจากผมกำลังคิดถึงจำนวนยกกำลัง

00:00:47.930 --> 00:00:49.900
กรณีเฉพาะนี้ ค่าสักค่ายกกำลัง

00:00:49.900 --> 00:00:52.500
ฟังก์ชันของ x ผมจึงน่าจะอยาก

00:00:52.500 --> 00:00:56.433
เปลี่ยนฐานตรงนี้ แต่ผมทำได้อย่างไร?

00:00:56.433 --> 00:01:00.866
วิธีที่ผมทำได้คือเขียน 2 ใหม่ในรูปของ e

00:01:01.100 --> 00:01:03.233
2 คืออะไรในรูปของ e?

00:01:03.233 --> 00:01:09.900
2 เท่ากับ e, เท่ากับ e ยกกำลัง

00:01:09.900 --> 00:01:13.033
กำลังที่คุณต้องยก e เพื่อให้ 2

00:01:13.033 --> 00:01:14.367
กำลังที่คุณ

00:01:14.367 --> 00:01:16.500
ต้องยก e เพื่อได้ให้ 2 คืออะไร?

00:01:16.500 --> 00:01:18.600
มันคือล็อกธรรมชาติของ 2

00:01:18.633 --> 00:01:21.633
ย้ำอีกครั้ง ล็อกธรรมชาติของ 2 คือเลขชี้กำลัง

00:01:21.633 --> 00:01:24.100
ที่คุณต้องยก e เพื่อให้ได้ 2

00:01:24.100 --> 00:01:27.700
ถ้าคุณยก e ด้วยค่านั้น คุณจะได้ 2

00:01:27.700 --> 00:01:29.567
นี่คือ 2

00:01:29.567 --> 00:01:31.567
แล้ว 2 ยกกำลัง x กำลังสามเป็นเท่าใด?

00:01:31.567 --> 00:01:34.500
ถ้าเรายกทั้งสองข้างนี้ด้วย x กำลัง 3

00:01:34.500 --> 00:01:38.166
เรายกกำลังทั้งสองข้างด้วย x ยกกำลัง 3

00:01:38.166 --> 00:01:40.967
2 กำลัง x กำลังสามเท่ากับ ถ้าผมยก

00:01:40.967 --> 00:01:43.433
อะไรสักอย่างด้วยเลขชี้กำลังหนึ่ง
แล้วยกด้วยเลขชี้กำลังอีกตัว

00:01:43.433 --> 00:01:49.266
มันจะเท่ากับ e กำลัง x กำลัง 3

00:01:49.633 --> 00:01:53.000
x กำลัง 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:01:53.100 --> 00:01:56.134
คูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:01:56.233 --> 00:01:59.166
มันน่าสนใจอยู่แล้ว

00:01:59.166 --> 00:02:01.567
ลองเขียนอันนี้ใหม่ ที่จริงสิ่งที่ผมจะทำ

00:02:01.567 --> 00:02:04.100
คือดูอินทิกรัลไม่จำกัดเขตก่อน

00:02:04.100 --> 00:02:05.166
ดูว่าเราหามันได้ไหม

00:02:05.166 --> 00:02:06.500
แล้วเราค่อยใช้ เราค่อยหา

00:02:06.500 --> 00:02:08.566
เราก็หาค่าจำกัดเขตได้

00:02:08.566 --> 00:02:11.566
ลองคิดอันนี้กัน ลองคิด

00:02:11.566 --> 00:02:15.033
ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดเขตของ x กำลังสองคูณ

00:02:15.033 --> 00:02:18.500
2 กำลัง x กำลัง 3 dx เป็นเท่าใดก่อน

00:02:18.500 --> 00:02:20.566
ผมอยากหาปฏิยานุพันธ์ของตัวนี้

00:02:20.566 --> 00:02:23.166
อันนี้จะเท่ากับ

00:02:23.166 --> 00:02:28.433
อินทิกรัลของ ผมจะเขียน 
x กำลังสองเหมือนเดิม

00:02:28.433 --> 00:02:30.366
แต่แทนที่จะเป็น 2 กำลัง x กำลัง 3

00:02:30.366 --> 00:02:32.166
ผมจะเขียนทั้งหมดนี้

00:02:32.166 --> 00:02:33.833
ขอผมลอกและวางมันลงไปนะ

00:02:33.833 --> 00:02:35.300
เราสรุปไปแล้วว่า อันนี้เท่ากับ

00:02:35.300 --> 00:02:38.500
2 กำลัง x กำลัง 3

00:02:38.500 --> 00:02:42.867
ลอกและวาง อย่างนั้น

00:02:43.433 --> 00:02:47.800
ขอผมจบมันด้วย dx นะ

00:02:48.838 --> 00:02:51.767
ผมสามารถเขียนในรูป e เป็นฐานได้

00:02:51.767 --> 00:02:53.434
มันทำให้ผมสบายใจขึ้น

00:02:53.434 --> 00:02:55.366
แต่มันยังดูซับซ้อนอยู่

00:02:55.366 --> 00:02:57.700
คุณอาจบอกว่า โอเค ดูนะ

00:02:57.700 --> 00:03:00.966
บางทีการแทนที่ u อาจใช้ได้ตรงนี้

00:03:00.966 --> 00:03:05.033
เพราะผมมีพจน์เพี้ยนๆ นี้ x กำลังสามคูณ

00:03:05.033 --> 00:03:08.000
ล็อกธรรมชาติขง 2 แต่อนุพันธ์ของมันคืออะไร?

00:03:08.033 --> 00:03:09.366
มันจะเท่ากับ 3x

00:03:09.366 --> 00:03:11.167
กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:03:11.167 --> 00:03:13.966
หรือ 3 คูณล็อกธรรมชาติของ 2 
คูณ x กำลังสอง

00:03:13.966 --> 00:03:16.166
นั่นก็แค่ค่าคงที่คูณ x กำลังสอง

00:03:16.166 --> 00:03:18.766
เรามี x กำลังสองตรงนี้แล้ว เราก็จัดการ

00:03:18.766 --> 00:03:22.934
ให้มันมีค่าคงที่ตรงนี้ได้

00:03:22.967 --> 00:03:24.233
ลองคิดดู

00:03:24.233 --> 00:03:27.900
ถ้าเราทำอันนี้ ถ้าเรานิยามค่านี้ว่า u

00:03:27.900 --> 00:03:33.233
ถ้าเราบอกว่า u เท่ากับ x กำลัง 3 คูณ

00:03:33.233 --> 00:03:36.234
ล็อกธรรมชาติของ 2, du จะเป็นเท่าใด?

00:03:36.234 --> 00:03:39.900
du จะเป็น มันจะเป็น ล็อก

00:03:39.900 --> 00:03:42.033
ธรรมชาติของ 2 ก็แค่ค่าคงที่ มันจึง

00:03:42.033 --> 00:03:45.933
ได้ 3x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:03:46.033 --> 00:03:47.433
คุณเปลี่ยนลำดับ

00:03:47.433 --> 00:03:49.033
การคูณได้หน่อย

00:03:49.033 --> 00:03:50.500
เราบอกได้ว่า อันนี้เท่ากับ

00:03:50.500 --> 00:03:55.567
x กำลังสองคูณ 3 ล็อกธรรมชาติของ 2

00:03:55.567 --> 00:03:58.566
ซึ่งเท่ากับ แค่ใช้สมบัติลอการิทึม

00:03:58.566 --> 00:04:03.766
เป็น x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 2
ยกกำลังสาม

00:04:03.766 --> 00:04:05.100
3 ล็อกธรรมชาติขง 2 เท่ากับ

00:04:05.100 --> 00:04:07.166
ล็อกธรรมชาติของ 2 กำลัง 3

00:04:07.166 --> 00:04:13.333
นี่เท่ากับ x กำลังสองคูณล็อกธรรมชาติของ 8

00:04:13.700 --> 00:04:16.433
ลองดู ถ้านี่คือ u แล้ว du คืออะไร?

00:04:16.433 --> 00:04:19.466
โอ้ แน่นอน เราห้ามลืม dx

00:04:19.966 --> 00:04:25.800
นี่คื dx ตรงนี้, dx, dx, dx

00:04:25.833 --> 00:04:29.767
แล้ว du อยู่ตรงไหน? เรามี dx อยู่ 
ขอผมวงกลมหน่อย

00:04:29.767 --> 00:04:32.767
คุณมี dx ตรงนี้ คุณมี dx ตรงนั้น

00:04:32.767 --> 00:04:36.100
คุณมี x กำลังสองตรงนี้ คุณมี x กำลังสองตรงนี้

00:04:36.100 --> 00:04:38.234
ที่เราต้องการจริงๆ ก็คือ

00:04:38.234 --> 00:04:40.900
ทั้งหมดที่เราต้องการตรงนี้ คือ
ล็อกธรรมชาติของ 8

00:04:40.900 --> 00:04:43.834
ในอุดมคติ เราควรมีล็อกธรรมชาติของ 8 ตรงนี้

00:04:43.834 --> 00:04:46.966
แล้วเราก็ใส่มันได้ ตราบใดที่เรา

00:04:46.966 --> 00:04:49.233
เราคูณมันด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

00:04:49.233 --> 00:04:53.333
ตราบใดที่เราหารด้วย
ล็อกธรรมชาติของ 8 เช่นกัน

00:04:53.366 --> 00:04:56.300
เราทำมันตรงนี้ได้

00:04:56.300 --> 00:04:58.833
เราหารด้วยล็อกธรรมชาติของ 8 ได้

00:04:58.833 --> 00:05:01.366
แต่เรารู้ว่าปฏิยานุพันธ์ของค่าคงที่

00:05:01.366 --> 00:05:04.033
คูณฟังก์ชันเท่ากับค่าคงที่

00:05:04.033 --> 00:05:06.300
คูณปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

00:05:06.300 --> 00:05:08.433
เราดึงมันออกข้างนอกได้

00:05:08.433 --> 00:05:12.333
มันคือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

00:05:12.566 --> 00:05:15.433
ลองเขียนมันในรูปของ u กับ du กัน

00:05:15.433 --> 00:05:18.566
อันนี้ลดรูปเหลือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติ

00:05:18.566 --> 00:05:23.346
ของ 8 คูณปฏิยานุพันธ์ของ

00:05:24.453 --> 00:05:31.766
e กำลัง u, e กำลัง u, นั่นคือ u, du

00:05:31.766 --> 00:05:36.509
อันนี้คูณอันนั้นได้ du, du

00:05:36.509 --> 00:05:38.700
และอันนี้ตรงไปตรงมา

00:05:38.700 --> 00:05:40.900
เรารู้ว่าอันนี้จะเท่ากับอะไร

00:05:40.900 --> 00:05:43.100
อันนี้จะเท่ากับ ขอผมเขียน

00:05:43.100 --> 00:05:45.600
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ข้างนอกนี้

00:05:45.633 --> 00:05:53.879
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 คูณ e กำลัง u

00:05:55.771 --> 00:05:57.700
และแน่นอน ถ้าเราคิดในรูปของ

00:05:57.700 --> 00:06:00.433
ปฏิยานุพันธ์ มันจะมีค่าคงที่ข้างนอกนี้

00:06:00.433 --> 00:06:02.900
แล้วเราก็ย้อนการแทนที่

00:06:02.900 --> 00:06:04.500
เรารู้ว่า u คืออะไร

00:06:04.500 --> 00:06:07.300
มันจะเท่ากับ ปฏิยานุพันธ์ของ

00:06:07.300 --> 00:06:11.566
พจน์นี้คือ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

00:06:11.566 --> 00:06:15.367
คูณ e กำลัง แทนที่จะเป็น u เรารู้ว่า u

00:06:15.367 --> 00:06:19.100
คือ x กำลังสามคูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:06:19.100 --> 00:06:21.866
และแน่นอน เราใส่บวก c ตรงนี้ได้

00:06:22.100 --> 00:06:24.234
ทีนี้ กลับไปยังปัญหาเดิม

00:06:24.234 --> 00:06:26.566
เราต้องหาค่าปฏิยานุพันธ์

00:06:26.566 --> 00:06:29.500
ของตัวนี้ที่แต่ละจุดเหล่านี้

00:06:29.500 --> 00:06:30.967
ลองเขียนมันใหม่

00:06:30.967 --> 00:06:36.066
จากที่เราหาไป ขอผมลอกและวางนะ

00:06:36.301 --> 00:06:39.120
อันนี้จะเท่ากับ

00:06:40.181 --> 00:06:43.966
มันจะเท่ากับปฏิยานุพันธ์หาค่า

00:06:43.966 --> 00:06:47.100
ที่ 1 ลบปฏิยานุพันธ์หาค่าที่ 0

00:06:47.100 --> 00:06:48.033
เราไม่ต้องกังวลเรื่อง

00:06:48.033 --> 00:06:50.033
ค่าคงที่เพราะมันจะหักล้างกัน

00:06:50.033 --> 00:06:53.566
เราจะได้ เราจะได้ 1 --

00:06:53.566 --> 00:06:55.966
ขอผมหาค่ามันที่ 1 นะ

00:06:56.596 --> 00:06:59.500
คุณจะได้ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

00:06:59.500 --> 00:07:05.433
8 คูณ e กำลัง 1/3

00:07:05.433 --> 00:07:08.100
ซึ่งก็คือ 1 คูณล็อกธรรมชาติของ 2

00:07:08.100 --> 00:07:10.834
ล็อกธรรมชาติของ 2 มันหาค่าได้ 1

00:07:10.834 --> 00:07:15.066
แล้วเราต้องลบมันหาค่าที่ 0

00:07:15.100 --> 00:07:18.033
มันจะเท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ

00:07:18.033 --> 00:07:21.633
8 คูณ e กำลัง, เมื่อ x เป็น 0

00:07:21.633 --> 00:07:23.766
ทั้งหมดนี้จะเป็น 0

00:07:23.766 --> 00:07:29.100
แล้ว e กำลัง 0 ก็แค่ 1 และ 
e กำลังล็อกธรรมชาติ

00:07:29.100 --> 00:07:32.233
ของ 2, มันก็แค่ 2

00:07:32.233 --> 00:07:33.966
เราบอกไปแล้วก่อนหน้านี้

00:07:33.966 --> 00:07:35.766
อันนี้จะเท่ากับ 2

00:07:35.766 --> 00:07:39.366
เราเหลือ 2 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ลบ

00:07:39.366 --> 00:07:42.500
1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8 ซึ่ง

00:07:42.500 --> 00:07:47.533
เท่ากับ 1 ส่วนล็อกธรรมชาติของ 8

00:07:47.900 --> 00:07:52.266
และเราก็ เราก็เสร็จแล้ว