U substitution with exponential function

Zkusme spočítat určitý integrál od 0 do 1
'x na druhou' krát '2 na (x na třetí)' dx.

Jako vždy, pozastavte si video
a zkuste to vyřešit sami.

Předpokládám, že jste to zkusili.

Je tu několik zajímavých věcí.

Nejdříve si uvědomím,
že umím integrovat 'e na x',

nikoliv obecnou mocninu.

Víme, že primitivní funkcí k 'e na x'
je 'e na x' plus C.

Protože budu pracovat s něčím
umocněným na funkci proměnné 'x',

zdá se, že budu muset
provést nějaké úpravy.

Ale jaké?

Chtěl bych vyjádřit 2 jako
mocninu se základem 'e'.

2 je rovno 'e na ln(2)'.

ln(2) je mocnitel, kterým umocňuji 'e',
abych dostal číslo 2.

Dostaneme tedy 2.

To je tedy 2.
Čemu se rovná '2 na (x na třetí)'?

Umocníme-li obě strany 'x na třetí'…

Umocním-li něco a to znovu umocním,
je to jako umocnění součinem mocnitelů.

Bude to rovno
'e na (x na třetí) krát ln(2)'.

To vypadá zajímavě.

Přepišme to tedy.

Nejdříve se zaměřme na neurčitý integrál.

Nejdříve vyřešíme ten
a pak spočítáme určitý.

Zamysleme se nad tímto.

Integrál z 'x na druhou' krát
'2 na (x na třetí)' krát dx.

K tomuto hledám primitivní funkci.

To je to samé jako integrál z
'x na druhou' krát…

Namísto '2 na (x na třetí)'
napíšu celé toto.

Zkopíruji to.

Víme, že je to stejné jako
'2 na (x na třetí)'.

Zkopíruji a vložím.

Zakončím 'dx'.

Přepsal jsem to tedy jako
mocninu se základem 'e'.

To je příjemnější,
ale stále to vypadá komplikovaně.

Možná vás napadne použít substituci,

neboť mám tento šílený výraz
'x na třetí' krát ln(2).

Jaká je derivace tohoto výrazu?

To bude 3 krát 'x na druhou' krát ln(2).

3 krát ln(2) krát 'x na druhou'.

To je jen nějaké číslo krát 'x na druhou'.

'x na druhou' zde již máme.

Možná se nám podaří
sem dostat i tu konstantu.

Přemýšlejme o tom.

Pokud by 'u' bylo rovno
'x na třetí' krát ln(2), co by bylo 'du'?

'du' by bylo rovno…

ln(2) je jen konstanta.

…bylo by to rovno 3 krát
'x na druhou' krát ln(2).

Změníme si pořadí násobení.

Je to stejné jako 'x na druhou'
krát 3 krát ln(2).

Což je, podle vlastností logaritmu,
rovno 'x na druhou' krát ln('2 na třetí').

Je to tedy rovno
'x na druhou' krát ln(8).

Podívejme se.

Je-li toto 'u', kde je 'du'?

Samozřejmě nesmíme zapomenout na 'dx'.

Tady je všude 'dx'.

Kde je tedy 'du'?

Máme zde 'dx'…

Budu to kroužkovat.

Tady máme 'dx' a tady máme 'dx'.

Zde máme 'x na druhou'
a zde také.

Doopravdy nám tedy chybí jen ln(8).

Ideálně bychom tu měli ln(8).

Můžeme to vynásobit ln(8),
pokud to zároveň i vydělíme ln(8).

Můžeme to tak udělat.

Vydělíme to ln(8).

Víme, že integrál z konstanty krát funkce
je roven konstantě krát integrál funkce.

Můžeme to tedy napsat před integrál.

1 lomeno ln(8).

Aplikujme tedy substituci 'u'.

Zjednoduší se to na '1 lomeno ln(8)'
krát integrál 'e na u' krát 'du'.

Toto krát toto je 'du'.

Toto už je jasné,
víme jak dále postupovat.

To bude rovno '1 lomeno ln(8)'
krát 'e na u' plus nějaké C.

Nyní jen dosadíme za 'u'.

Víme, čemu se 'u' rovná.

Integrál tohoto výrazu bude tedy roven

'1 lomeno ln(8)' krát
'e na (x na třetí) krát ln(2)' plus C.

Abychom se dostali
k výsledku původního příkladu,

musíme dosadit v bodech 1 a 0.

Napišme to.

Opět to zkopíruji a vložím.

Toto bude rovno primitivní funkci v bodě 1
minus primitivní funkci v bodě 0.

Nemusíme řešit konstantu,
neboť se odečte.

Co tedy dostaneme?

Dosadím nejdříve 1.

Vyjde '1 lomeno ln(8)'
krát 'e na ln(2)'.

To je po dosazení 1.

Teď odečteme výraz po dosazení 0.

'1 lomeno ln(8)' krát 'e na 0'.

'e na 0' je 1
a 'e na ln(2)' je 2.

To už jsme zjistili dříve.

Máme tedy '2 lomeno ln(8)'
minus '1 lomeno ln(8)'.

Což bude rovno '1 lomeno ln(8).'

A jsme hotovi!