1
00:00:00,412 --> 00:00:13,245
Zkusme spočítat určitý integrál od 0 do 1
'x na druhou' krát '2 na (x na třetí)' dx.

2
00:00:13,459 --> 00:00:20,212
Jako vždy, pozastavte si video
a zkuste to vyřešit sami.

3
00:00:20,811 --> 00:00:22,396
Předpokládám, že jste to zkusili.

4
00:00:22,550 --> 00:00:24,030
Je tu několik zajímavých věcí.

5
00:00:24,180 --> 00:00:29,221
Nejdříve si uvědomím,
že umím integrovat 'e na x',

6
00:00:29,392 --> 00:00:31,343
nikoliv obecnou mocninu.

7
00:00:31,544 --> 00:00:43,663
Víme, že primitivní funkcí k 'e na x'
je 'e na x' plus C.

8
00:00:44,060 --> 00:00:51,049
Protože budu pracovat s něčím
umocněným na funkci proměnné 'x',

9
00:00:51,215 --> 00:00:55,001
zdá se, že budu muset
provést nějaké úpravy.

10
00:00:55,172 --> 00:00:56,335
Ale jaké?

11
00:00:56,520 --> 00:01:02,906
Chtěl bych vyjádřit 2 jako
mocninu se základem 'e'.

12
00:01:03,038 --> 00:01:18,051
2 je rovno 'e na ln(2)'.

13
00:01:18,408 --> 00:01:23,746
ln(2) je mocnitel, kterým umocňuji 'e',
abych dostal číslo 2.

14
00:01:23,959 --> 00:01:27,059
Dostaneme tedy 2.

15
00:01:27,657 --> 00:01:31,399
To je tedy 2.
Čemu se rovná '2 na (x na třetí)'?

16
00:01:31,996 --> 00:01:40,360
Umocníme-li obě strany 'x na třetí'…

17
00:01:40,553 --> 00:01:47,572
Umocním-li něco a to znovu umocním,
je to jako umocnění součinem mocnitelů.

18
00:01:47,750 --> 00:01:55,856
Bude to rovno
'e na (x na třetí) krát ln(2)'.

19
00:01:56,356 --> 00:01:58,931
To vypadá zajímavě.

20
00:01:59,096 --> 00:02:00,445
Přepišme to tedy.

21
00:02:00,581 --> 00:02:03,952
Nejdříve se zaměřme na neurčitý integrál.

22
00:02:04,070 --> 00:02:08,394
Nejdříve vyřešíme ten
a pak spočítáme určitý.

23
00:02:08,606 --> 00:02:11,163
Zamysleme se nad tímto.

24
00:02:11,340 --> 00:02:18,095
Integrál z 'x na druhou' krát
'2 na (x na třetí)' krát dx.

25
00:02:18,280 --> 00:02:20,381
K tomuto hledám primitivní funkci.

26
00:02:20,541 --> 00:02:28,332
To je to samé jako integrál z
'x na druhou' krát…

27
00:02:28,551 --> 00:02:31,830
Namísto '2 na (x na třetí)'
napíšu celé toto.

28
00:02:31,999 --> 00:02:33,562
Zkopíruji to.

29
00:02:33,784 --> 00:02:38,427
Víme, že je to stejné jako
'2 na (x na třetí)'.

30
00:02:39,020 --> 00:02:42,854
Zkopíruji a vložím.

31
00:02:43,314 --> 00:02:47,731
Zakončím 'dx'.

32
00:02:48,718 --> 00:02:51,671
Přepsal jsem to tedy jako
mocninu se základem 'e'.

33
00:02:51,770 --> 00:02:55,268
To je příjemnější,
ale stále to vypadá komplikovaně.

34
00:02:55,655 --> 00:03:00,917
Možná vás napadne použít substituci,

35
00:03:01,056 --> 00:03:06,182
neboť mám tento šílený výraz
'x na třetí' krát ln(2).

36
00:03:06,354 --> 00:03:08,047
Jaká je derivace tohoto výrazu?

37
00:03:08,208 --> 00:03:11,030
To bude 3 krát 'x na druhou' krát ln(2).

38
00:03:11,160 --> 00:03:13,792
3 krát ln(2) krát 'x na druhou'.

39
00:03:13,935 --> 00:03:16,005
To je jen nějaké číslo krát 'x na druhou'.

40
00:03:16,136 --> 00:03:17,740
'x na druhou' zde již máme.

41
00:03:17,939 --> 00:03:22,665
Možná se nám podaří
sem dostat i tu konstantu.

42
00:03:22,866 --> 00:03:23,977
Přemýšlejme o tom.

43
00:03:24,173 --> 00:03:36,198
Pokud by 'u' bylo rovno
'x na třetí' krát ln(2), co by bylo 'du'?

44
00:03:36,609 --> 00:03:39,224
'du' by bylo rovno…

45
00:03:39,389 --> 00:03:41,339
ln(2) je jen konstanta.

46
00:03:41,492 --> 00:03:45,519
…bylo by to rovno 3 krát
'x na druhou' krát ln(2).

47
00:03:45,728 --> 00:03:48,621
Změníme si pořadí násobení.

48
00:03:48,847 --> 00:03:55,448
Je to stejné jako 'x na druhou'
krát 3 krát ln(2).

49
00:03:55,799 --> 00:04:03,590
Což je, podle vlastností logaritmu,
rovno 'x na druhou' krát ln('2 na třetí').

50
00:04:03,736 --> 00:04:13,172
Je to tedy rovno
'x na druhou' krát ln(8).

51
00:04:13,546 --> 00:04:14,557
Podívejme se.

52
00:04:14,700 --> 00:04:16,388
Je-li toto 'u', kde je 'du'?

53
00:04:16,556 --> 00:04:18,957
Samozřejmě nesmíme zapomenout na 'dx'.

54
00:04:19,862 --> 00:04:25,544
Tady je všude 'dx'.

55
00:04:25,714 --> 00:04:27,380
Kde je tedy 'du'?

56
00:04:27,548 --> 00:04:28,513
Máme zde 'dx'…

57
00:04:28,664 --> 00:04:29,612
Budu to kroužkovat.

58
00:04:29,760 --> 00:04:32,610
Tady máme 'dx' a tady máme 'dx'.

59
00:04:32,788 --> 00:04:35,850
Zde máme 'x na druhou'
a zde také.

60
00:04:35,982 --> 00:04:40,594
Doopravdy nám tedy chybí jen ln(8).

61
00:04:40,768 --> 00:04:44,447
Ideálně bychom tu měli ln(8).

62
00:04:45,064 --> 00:04:53,267
Můžeme to vynásobit ln(8),
pokud to zároveň i vydělíme ln(8).

63
00:04:53,886 --> 00:04:56,062
Můžeme to tak udělat.

64
00:04:56,220 --> 00:04:58,776
Vydělíme to ln(8).

65
00:04:58,931 --> 00:05:06,244
Víme, že integrál z konstanty krát funkce
je roven konstantě krát integrál funkce.

66
00:05:06,401 --> 00:05:08,204
Můžeme to tedy napsat před integrál.

67
00:05:08,340 --> 00:05:12,296
1 lomeno ln(8).

68
00:05:12,784 --> 00:05:15,081
Aplikujme tedy substituci 'u'.

69
00:05:15,256 --> 00:05:31,585
Zjednoduší se to na '1 lomeno ln(8)'
krát integrál 'e na u' krát 'du'.

70
00:05:31,754 --> 00:05:36,625
Toto krát toto je 'du'.

71
00:05:36,770 --> 00:05:40,770
Toto už je jasné,
víme jak dále postupovat.

72
00:05:40,953 --> 00:06:00,491
To bude rovno '1 lomeno ln(8)'
krát 'e na u' plus nějaké C.

73
00:06:00,687 --> 00:06:02,765
Nyní jen dosadíme za 'u'.

74
00:06:02,940 --> 00:06:04,471
Víme, čemu se 'u' rovná.

75
00:06:04,929 --> 00:06:08,512
Integrál tohoto výrazu bude tedy roven

76
00:06:08,655 --> 00:06:21,571
'1 lomeno ln(8)' krát
'e na (x na třetí) krát ln(2)' plus C.

77
00:06:21,785 --> 00:06:24,120
Abychom se dostali
k výsledku původního příkladu,

78
00:06:24,301 --> 00:06:29,230
musíme dosadit v bodech 1 a 0.

79
00:06:29,413 --> 00:06:30,612
Napišme to.

80
00:06:30,774 --> 00:06:36,056
Opět to zkopíruji a vložím.

81
00:06:36,600 --> 00:06:46,771
Toto bude rovno primitivní funkci v bodě 1
minus primitivní funkci v bodě 0.

82
00:06:46,971 --> 00:06:49,998
Nemusíme řešit konstantu,
neboť se odečte.

83
00:06:50,228 --> 00:06:52,124
Co tedy dostaneme?

84
00:06:53,450 --> 00:06:55,689
Dosadím nejdříve 1.

85
00:06:56,648 --> 00:07:09,026
Vyjde '1 lomeno ln(8)'
krát 'e na ln(2)'.

86
00:07:09,202 --> 00:07:10,623
To je po dosazení 1.

87
00:07:10,978 --> 00:07:14,951
Teď odečteme výraz po dosazení 0.

88
00:07:15,151 --> 00:07:23,668
'1 lomeno ln(8)' krát 'e na 0'.

89
00:07:24,230 --> 00:07:31,979
'e na 0' je 1
a 'e na ln(2)' je 2.

90
00:07:32,145 --> 00:07:35,571
To už jsme zjistili dříve.

91
00:07:35,759 --> 00:07:41,264
Máme tedy '2 lomeno ln(8)'
minus '1 lomeno ln(8)'.

92
00:07:41,464 --> 00:07:47,395
Což bude rovno '1 lomeno ln(8).'

93
00:07:47,811 --> 00:07:52,004
A jsme hotovi!