0:00:00.412,0:00:13.245
Zkusme spočítat určitý integrál od 0 do 1[br]'x na druhou' krát '2 na (x na třetí)' dx.

0:00:13.459,0:00:20.212
Jako vždy, pozastavte si video[br]a zkuste to vyřešit sami.

0:00:20.811,0:00:22.396
Předpokládám, že jste to zkusili.

0:00:22.550,0:00:24.030
Je tu několik zajímavých věcí.

0:00:24.180,0:00:29.221
Nejdříve si uvědomím,[br]že umím integrovat 'e na x',

0:00:29.392,0:00:31.343
nikoliv obecnou mocninu.

0:00:31.544,0:00:43.663
Víme, že primitivní funkcí k 'e na x'[br]je 'e na x' plus C.

0:00:44.060,0:00:51.049
Protože budu pracovat s něčím[br]umocněným na funkci proměnné 'x',

0:00:51.215,0:00:55.001
zdá se, že budu muset[br]provést nějaké úpravy.

0:00:55.172,0:00:56.335
Ale jaké?

0:00:56.520,0:01:02.906
Chtěl bych vyjádřit 2 jako[br]mocninu se základem 'e'.

0:01:03.038,0:01:18.051
2 je rovno 'e na ln(2)'.

0:01:18.408,0:01:23.746
ln(2) je mocnitel, kterým umocňuji 'e',[br]abych dostal číslo 2.

0:01:23.959,0:01:27.059
Dostaneme tedy 2.

0:01:27.657,0:01:31.399
To je tedy 2.[br]Čemu se rovná '2 na (x na třetí)'?

0:01:31.996,0:01:40.360
Umocníme-li obě strany 'x na třetí'…

0:01:40.553,0:01:47.572
Umocním-li něco a to znovu umocním,[br]je to jako umocnění součinem mocnitelů.

0:01:47.750,0:01:55.856
Bude to rovno[br]'e na (x na třetí) krát ln(2)'.

0:01:56.356,0:01:58.931
To vypadá zajímavě.

0:01:59.096,0:02:00.445
Přepišme to tedy.

0:02:00.581,0:02:03.952
Nejdříve se zaměřme na neurčitý integrál.

0:02:04.070,0:02:08.394
Nejdříve vyřešíme ten[br]a pak spočítáme určitý.

0:02:08.606,0:02:11.163
Zamysleme se nad tímto.

0:02:11.340,0:02:18.095
Integrál z 'x na druhou' krát[br]'2 na (x na třetí)' krát dx.

0:02:18.280,0:02:20.381
K tomuto hledám primitivní funkci.

0:02:20.541,0:02:28.332
To je to samé jako integrál z[br]'x na druhou' krát…

0:02:28.551,0:02:31.830
Namísto '2 na (x na třetí)'[br]napíšu celé toto.

0:02:31.999,0:02:33.562
Zkopíruji to.

0:02:33.784,0:02:38.427
Víme, že je to stejné jako[br]'2 na (x na třetí)'.

0:02:39.020,0:02:42.854
Zkopíruji a vložím.

0:02:43.314,0:02:47.731
Zakončím 'dx'.

0:02:48.718,0:02:51.671
Přepsal jsem to tedy jako[br]mocninu se základem 'e'.

0:02:51.770,0:02:55.268
To je příjemnější,[br]ale stále to vypadá komplikovaně.

0:02:55.655,0:03:00.917
Možná vás napadne použít substituci,

0:03:01.056,0:03:06.182
neboť mám tento šílený výraz[br]'x na třetí' krát ln(2).

0:03:06.354,0:03:08.047
Jaká je derivace tohoto výrazu?

0:03:08.208,0:03:11.030
To bude 3 krát 'x na druhou' krát ln(2).

0:03:11.160,0:03:13.792
3 krát ln(2) krát 'x na druhou'.

0:03:13.935,0:03:16.005
To je jen nějaké číslo krát 'x na druhou'.

0:03:16.136,0:03:17.740
'x na druhou' zde již máme.

0:03:17.939,0:03:22.665
Možná se nám podaří[br]sem dostat i tu konstantu.

0:03:22.866,0:03:23.977
Přemýšlejme o tom.

0:03:24.173,0:03:36.198
Pokud by 'u' bylo rovno[br]'x na třetí' krát ln(2), co by bylo 'du'?

0:03:36.609,0:03:39.224
'du' by bylo rovno…

0:03:39.389,0:03:41.339
ln(2) je jen konstanta.

0:03:41.492,0:03:45.519
…bylo by to rovno 3 krát[br]'x na druhou' krát ln(2).

0:03:45.728,0:03:48.621
Změníme si pořadí násobení.

0:03:48.847,0:03:55.448
Je to stejné jako 'x na druhou'[br]krát 3 krát ln(2).

0:03:55.799,0:04:03.590
Což je, podle vlastností logaritmu,[br]rovno 'x na druhou' krát ln('2 na třetí').

0:04:03.736,0:04:13.172
Je to tedy rovno[br]'x na druhou' krát ln(8).

0:04:13.546,0:04:14.557
Podívejme se.

0:04:14.700,0:04:16.388
Je-li toto 'u', kde je 'du'?

0:04:16.556,0:04:18.957
Samozřejmě nesmíme zapomenout na 'dx'.

0:04:19.862,0:04:25.544
Tady je všude 'dx'.

0:04:25.714,0:04:27.380
Kde je tedy 'du'?

0:04:27.548,0:04:28.513
Máme zde 'dx'…

0:04:28.664,0:04:29.612
Budu to kroužkovat.

0:04:29.760,0:04:32.610
Tady máme 'dx' a tady máme 'dx'.

0:04:32.788,0:04:35.850
Zde máme 'x na druhou'[br]a zde také.

0:04:35.982,0:04:40.594
Doopravdy nám tedy chybí jen ln(8).

0:04:40.768,0:04:44.447
Ideálně bychom tu měli ln(8).

0:04:45.064,0:04:53.267
Můžeme to vynásobit ln(8),[br]pokud to zároveň i vydělíme ln(8).

0:04:53.886,0:04:56.062
Můžeme to tak udělat.

0:04:56.220,0:04:58.776
Vydělíme to ln(8).

0:04:58.931,0:05:06.244
Víme, že integrál z konstanty krát funkce[br]je roven konstantě krát integrál funkce.

0:05:06.401,0:05:08.204
Můžeme to tedy napsat před integrál.

0:05:08.340,0:05:12.296
1 lomeno ln(8).

0:05:12.784,0:05:15.081
Aplikujme tedy substituci 'u'.

0:05:15.256,0:05:31.585
Zjednoduší se to na '1 lomeno ln(8)'[br]krát integrál 'e na u' krát 'du'.

0:05:31.754,0:05:36.625
Toto krát toto je 'du'.

0:05:36.770,0:05:40.770
Toto už je jasné,[br]víme jak dále postupovat.

0:05:40.953,0:06:00.491
To bude rovno '1 lomeno ln(8)'[br]krát 'e na u' plus nějaké C.

0:06:00.687,0:06:02.765
Nyní jen dosadíme za 'u'.

0:06:02.940,0:06:04.471
Víme, čemu se 'u' rovná.

0:06:04.929,0:06:08.512
Integrál tohoto výrazu bude tedy roven

0:06:08.655,0:06:21.571
'1 lomeno ln(8)' krát[br]'e na (x na třetí) krát ln(2)' plus C.

0:06:21.785,0:06:24.120
Abychom se dostali[br]k výsledku původního příkladu,

0:06:24.301,0:06:29.230
musíme dosadit v bodech 1 a 0.

0:06:29.413,0:06:30.612
Napišme to.

0:06:30.774,0:06:36.056
Opět to zkopíruji a vložím.

0:06:36.600,0:06:46.771
Toto bude rovno primitivní funkci v bodě 1[br]minus primitivní funkci v bodě 0.

0:06:46.971,0:06:49.998
Nemusíme řešit konstantu,[br]neboť se odečte.

0:06:50.228,0:06:52.124
Co tedy dostaneme?

0:06:53.450,0:06:55.689
Dosadím nejdříve 1.

0:06:56.648,0:07:09.026
Vyjde '1 lomeno ln(8)'[br]krát 'e na ln(2)'.

0:07:09.202,0:07:10.623
To je po dosazení 1.

0:07:10.978,0:07:14.951
Teď odečteme výraz po dosazení 0.

0:07:15.151,0:07:23.668
'1 lomeno ln(8)' krát 'e na 0'.

0:07:24.230,0:07:31.979
'e na 0' je 1[br]a 'e na ln(2)' je 2.

0:07:32.145,0:07:35.571
To už jsme zjistili dříve.

0:07:35.759,0:07:41.264
Máme tedy '2 lomeno ln(8)'[br]minus '1 lomeno ln(8)'.

0:07:41.464,0:07:47.395
Což bude rovno '1 lomeno ln(8).'

0:07:47.811,0:07:52.004
A jsme hotovi!