Polynomial remainder theorem

다항식의 나머지 정리에 대해 말씀드리겠습니다

처음에는 이 정리가 마법처럼 보일 수도 있지만

다음 영상들에서 이 정리를 증명할 것이고

그러면 수학의 여러 다른 것들처럼

이 정리가 마법같다는 생각이 들지는 않을 것입니다

다항식의 나머지 정리가 무엇일까요?

다항식 f(x)을

x-a로 나누면

그 나머지가 f(a)가 된다는 정리입니다

나머지가 f(a)입니다

지금은 f(x)나 x-a 같은 표현 때문에

약간 추상적으로 느껴질지도 모릅니다

이제 좀 더 구체적인 예를 들어 보겠습니다

f(x)를 이차다항식으로 정의해 봅시다

어떤 다항식에 대해서든 성립하니까요

f(x)=3x^2-4x+7으로 정의합시다

그리고 a는 1이라고 놓겠습니다

이 식을 x-1로 나누는 것입니다

이 경우 a는 1입니다

다항식의 나눗셈을 해 봅시다

영상을 잠시 멈추고

다항식의 나눗셈이 익숙하지 않으시다면

이 영상 전에 다항식의 나눗셈에 관한
이전 영상을 먼저 보십시오

이 영상에서는 여러분들이 다항식의 나눗셈을

모두 할 줄 아신다고 생각하겠습니다

3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 얼마인지

이 나머지가 정말 f(1)인지 확인해 봅시다

한 번 해 봅시다

x-1로 3x^2-4x+7을 나눕니다

다항식의 나눗셈으로 아침을 시작하니 아주 상쾌하네요

여러분들도 지금 아침인지는 모르겠지만 말입니다

여기서의 최고차항은 x이고

여기서의 최고차항은 3x^2입니다

x가 3x^2에 몇 번 들어갈까요?

3x번입니다

3x 곱하기 x는 3x^2이니까요

여기 일차항 자리에 3x를 쓰고

3x 곱하기 x는 3x^2이고

3x 곱하기 -1은 -3x입니다

이제 이 값을 빼 줍니다

원래 나눗셈을 계산할 때 하는 것처럼 말입니다

3x^2 빼기 3x^2은

0이 되고

-4x 더하기 3x -- 마이너스가 두 번 있으니까요 --

-4x 더하기 3x는 -x가 됩니다. 새로운 색깔로 쓰겠습니다

-x가 되고

7을 그대로 내려서

나눗셈의 첫 번째 부분을 완성합니다

3, 4학년 때쯤 배웠듯이 말입니다

3x를 여기에 곱해서 3x^2-3x를 얻은 다음

원래 식인 3x^2-4x에서 빼서

여기 이 결과를 얻은 것입니다

아니면 원래의 전체 다항식에서 빼서

-x+7을 얻었다고 생각해도 됩니다

이제 x-1은 -x+7에 몇 번 들어갈까요?

x는 -x에 -1번 들어갑니다

-1 곱하기 x는 -x이고

-1 곱하기 -1은 +1입니다

이 값을 빼면

나머지를 구할 수 있습니다

-x 빼기 -x, 그러니까

-x 더하기 x는 0이 되고

7에다가

앞에 마이너스 부호를 계산해 주면 -1이 되니까

7-1을 계산하면 6입니다

따라서 나머지는 6이 됩니다

이런 식으로 생각해 봅시다

아, 다음 영상에서 말씀드리는 게 더 낫겠군요

여기 이 값은 나머지입니다

다항식의 나눗셈에서

여기 이 식의 차수, 여기서는 0차입니다

차수가 제수, 여기서는 x-1의 차수보다 낮으면
나머지입니다

따라서 이 값이 나머지입니다
여기에는 이 값을 더 이상 넣을 수 없습니다

다항식의 나머지 정리가 사실이라면

여기서 예시로 든 이 나눗셈의 경우에서

이 결과가 정리를 증명하는 것은 절대 아니며

그냥 구체적인 하나의 예시일 뿐이지만

다항식의 나머지 정리에 따르면

다항식의 나머지 정리가 사실이라면

이 정리에 따라 f(a), 즉 f(1)은 6이 되어야 합니다

이 나머지와 같아야 합니다

확인해 봅시다

이 값은 3 곱하기 1의 제곱, 즉 3

빼기 4 곱하기 1, 즉 -4

더하기 7입니다

3-4+7은 실제로 6이 됩니다

이 특별한 경우에 대해서

다항식의 나머지 정리가 성립합니다

이 결과는 상당히 쓸모가 있습니다

3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 궁금할 때

몫은 전혀 신경쓰지 않고
오직 나머지에만 관심이 있을 때

a=1 값을 f에 대입해 6을 얻을 수 있습니다

이런 과정 없이 말입니다

대입만 하면

3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지를 얻을 수 있습니다