1
00:00:00,000 --> 00:00:05,901
다항식의 나머지 정리에 대해 말씀드리겠습니다

2
00:00:05,901 --> 00:00:09,182
처음에는 이 정리가 마법처럼 보일 수도 있지만

3
00:00:09,182 --> 00:00:10,884
다음 영상들에서 이 정리를 증명할 것이고

4
00:00:10,884 --> 00:00:13,263
그러면 수학의 여러 다른 것들처럼

5
00:00:13,263 --> 00:00:16,674
이 정리가 마법같다는 생각이 들지는 않을 것입니다

6
00:00:16,674 --> 00:00:19,597
다항식의 나머지 정리가 무엇일까요?

7
00:00:19,597 --> 00:00:29,585
다항식 f(x)을

8
00:00:29,585 --> 00:00:39,336
x-a로 나누면

9
00:00:39,336 --> 00:00:49,455
그 나머지가 f(a)가 된다는 정리입니다

10
00:00:49,455 --> 00:00:56,608
나머지가 f(a)입니다

11
00:00:56,608 --> 00:00:59,214
지금은 f(x)나 x-a 같은 표현 때문에

12
00:00:59,214 --> 00:01:02,334
약간 추상적으로 느껴질지도 모릅니다

13
00:01:02,334 --> 00:01:05,230
이제 좀 더 구체적인 예를 들어 보겠습니다

14
00:01:05,230 --> 00:01:13,187
f(x)를 이차다항식으로 정의해 봅시다

15
00:01:13,187 --> 00:01:14,636
어떤 다항식에 대해서든 성립하니까요

16
00:01:14,636 --> 00:01:20,269
f(x)=3x^2-4x+7으로 정의합시다

17
00:01:20,269 --> 00:01:25,452
그리고 a는 1이라고 놓겠습니다

18
00:01:25,452 --> 00:01:38,609
이 식을 x-1로 나누는 것입니다

19
00:01:38,609 --> 00:01:43,511
이 경우 a는 1입니다

20
00:01:43,511 --> 00:01:45,989
다항식의 나눗셈을 해 봅시다

21
00:01:45,989 --> 00:01:47,388
영상을 잠시 멈추고

22
00:01:47,388 --> 00:01:49,988
다항식의 나눗셈이 익숙하지 않으시다면

23
00:01:49,988 --> 00:01:51,940
이 영상 전에 다항식의 나눗셈에 관한
이전 영상을 먼저 보십시오

24
00:01:51,940 --> 00:01:53,990
이 영상에서는 여러분들이 다항식의 나눗셈을

25
00:01:53,990 --> 00:01:55,330
모두 할 줄 아신다고 생각하겠습니다

26
00:01:55,330 --> 00:02:00,734
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 얼마인지

27
00:02:00,734 --> 00:02:04,017
이 나머지가 정말 f(1)인지 확인해 봅시다

28
00:02:04,017 --> 00:02:08,001
한 번 해 봅시다

29
00:02:08,001 --> 00:02:22,287
x-1로 3x^2-4x+7을 나눕니다

30
00:02:22,287 --> 00:02:26,741
다항식의 나눗셈으로 아침을 시작하니 아주 상쾌하네요

31
00:02:26,741 --> 00:02:29,437
여러분들도 지금 아침인지는 모르겠지만 말입니다

32
00:02:29,437 --> 00:02:34,263
여기서의 최고차항은 x이고

33
00:02:34,263 --> 00:02:36,747
여기서의 최고차항은 3x^2입니다

34
00:02:36,747 --> 00:02:38,942
x가 3x^2에 몇 번 들어갈까요?

35
00:02:38,942 --> 00:02:40,756
3x번입니다

36
00:02:40,756 --> 00:02:42,929
3x 곱하기 x는 3x^2이니까요

37
00:02:42,929 --> 00:02:50,698
여기 일차항 자리에 3x를 쓰고

38
00:02:50,698 --> 00:02:53,644
3x 곱하기 x는 3x^2이고

39
00:02:53,644 --> 00:02:57,869
3x 곱하기 -1은 -3x입니다

40
00:02:57,869 --> 00:03:01,612
이제 이 값을 빼 줍니다

41
00:03:01,612 --> 00:03:04,755
원래 나눗셈을 계산할 때 하는 것처럼 말입니다

42
00:03:04,755 --> 00:03:10,152
3x^2 빼기 3x^2은

43
00:03:10,152 --> 00:03:14,227
0이 되고

44
00:03:14,227 --> 00:03:19,697
-4x 더하기 3x -- 마이너스가 두 번 있으니까요 --

45
00:03:19,697 --> 00:03:27,894
-4x 더하기 3x는 -x가 됩니다. 새로운 색깔로 쓰겠습니다

46
00:03:27,894 --> 00:03:31,790
-x가 되고

47
00:03:31,790 --> 00:03:35,549
7을 그대로 내려서

48
00:03:35,549 --> 00:03:38,513
나눗셈의 첫 번째 부분을 완성합니다

49
00:03:38,513 --> 00:03:40,790
3, 4학년 때쯤 배웠듯이 말입니다

50
00:03:40,790 --> 00:03:44,590
3x를 여기에 곱해서 3x^2-3x를 얻은 다음

51
00:03:44,590 --> 00:03:47,631
원래 식인 3x^2-4x에서 빼서

52
00:03:47,631 --> 00:03:49,240
여기 이 결과를 얻은 것입니다

53
00:03:49,240 --> 00:03:52,226
아니면 원래의 전체 다항식에서 빼서

54
00:03:52,226 --> 00:03:55,357
-x+7을 얻었다고 생각해도 됩니다

55
00:03:55,357 --> 00:04:00,672
이제 x-1은 -x+7에 몇 번 들어갈까요?

56
00:04:00,672 --> 00:04:04,826
x는 -x에 -1번 들어갑니다

57
00:04:04,826 --> 00:04:08,348
-1 곱하기 x는 -x이고

58
00:04:08,348 --> 00:04:12,698
-1 곱하기 -1은 +1입니다

59
00:04:12,698 --> 00:04:16,688
이 값을 빼면

60
00:04:16,688 --> 00:04:18,528
나머지를 구할 수 있습니다

61
00:04:18,528 --> 00:04:22,088
-x 빼기 -x, 그러니까

62
00:04:22,088 --> 00:04:26,504
-x 더하기 x는 0이 되고

63
00:04:26,504 --> 00:04:28,148
7에다가

64
00:04:28,148 --> 00:04:33,032
앞에 마이너스 부호를 계산해 주면 -1이 되니까

65
00:04:33,032 --> 00:04:35,714
7-1을 계산하면 6입니다

66
00:04:35,714 --> 00:04:39,685
따라서 나머지는 6이 됩니다

67
00:04:39,685 --> 00:04:44,915
이런 식으로 생각해 봅시다

68
00:04:44,915 --> 00:04:47,205
아, 다음 영상에서 말씀드리는 게 더 낫겠군요

69
00:04:47,205 --> 00:04:51,023
여기 이 값은 나머지입니다

70
00:04:51,023 --> 00:04:55,149
다항식의 나눗셈에서

71
00:04:55,149 --> 00:05:01,506
여기 이 식의 차수, 여기서는 0차입니다

72
00:05:01,506 --> 00:05:09,411
차수가 제수, 여기서는 x-1의 차수보다 낮으면
나머지입니다

73
00:05:09,411 --> 00:05:15,853
따라서 이 값이 나머지입니다
여기에는 이 값을 더 이상 넣을 수 없습니다

74
00:05:15,853 --> 00:05:21,507
다항식의 나머지 정리가 사실이라면

75
00:05:21,507 --> 00:05:23,927
여기서 예시로 든 이 나눗셈의 경우에서

76
00:05:23,927 --> 00:05:25,143
이 결과가 정리를 증명하는 것은 절대 아니며

77
00:05:25,143 --> 00:05:30,918
그냥 구체적인 하나의 예시일 뿐이지만

78
00:05:30,918 --> 00:05:32,128
다항식의 나머지 정리에 따르면

79
00:05:32,128 --> 00:05:34,058
다항식의 나머지 정리가 사실이라면

80
00:05:34,058 --> 00:05:42,143
이 정리에 따라 f(a), 즉 f(1)은 6이 되어야 합니다

81
00:05:42,143 --> 00:05:44,469
이 나머지와 같아야 합니다

82
00:05:44,469 --> 00:05:45,479
확인해 봅시다

83
00:05:45,479 --> 00:05:50,203
이 값은 3 곱하기 1의 제곱, 즉 3

84
00:05:50,203 --> 00:05:53,431
빼기 4 곱하기 1, 즉 -4

85
00:05:53,431 --> 00:05:55,019
더하기 7입니다

86
00:05:55,019 --> 00:06:04,524
3-4+7은 실제로 6이 됩니다

87
00:06:04,524 --> 00:06:07,668
이 특별한 경우에 대해서

88
00:06:07,668 --> 00:06:10,034
다항식의 나머지 정리가 성립합니다

89
00:06:10,034 --> 00:06:11,628
이 결과는 상당히 쓸모가 있습니다

90
00:06:11,628 --> 00:06:18,599
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 궁금할 때

91
00:06:18,599 --> 00:06:23,971
몫은 전혀 신경쓰지 않고
오직 나머지에만 관심이 있을 때

92
00:06:23,971 --> 00:06:30,831
a=1 값을 f에 대입해 6을 얻을 수 있습니다

93
00:06:30,831 --> 00:06:31,996
이런 과정 없이 말입니다

94
00:06:31,996 --> 00:06:33,785
대입만 하면

95
00:06:33,785 --> 00:06:42,019
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지를 얻을 수 있습니다