0:00:00.000,0:00:05.901
다항식의 나머지 정리에 대해 말씀드리겠습니다

0:00:05.901,0:00:09.182
처음에는 이 정리가 마법처럼 보일 수도 있지만

0:00:09.182,0:00:10.884
다음 영상들에서 이 정리를 증명할 것이고

0:00:10.884,0:00:13.263
그러면 수학의 여러 다른 것들처럼

0:00:13.263,0:00:16.674
이 정리가 마법같다는 생각이 들지는 않을 것입니다

0:00:16.674,0:00:19.597
다항식의 나머지 정리가 무엇일까요?

0:00:19.597,0:00:29.585
다항식 f(x)을

0:00:29.585,0:00:39.336
x-a로 나누면

0:00:39.336,0:00:49.455
그 나머지가 f(a)가 된다는 정리입니다

0:00:49.455,0:00:56.608
나머지가 f(a)입니다

0:00:56.608,0:00:59.214
지금은 f(x)나 x-a 같은 표현 때문에

0:00:59.214,0:01:02.334
약간 추상적으로 느껴질지도 모릅니다

0:01:02.334,0:01:05.230
이제 좀 더 구체적인 예를 들어 보겠습니다

0:01:05.230,0:01:13.187
f(x)를 이차다항식으로 정의해 봅시다

0:01:13.187,0:01:14.636
어떤 다항식에 대해서든 성립하니까요

0:01:14.636,0:01:20.269
f(x)=3x^2-4x+7으로 정의합시다

0:01:20.269,0:01:25.452
그리고 a는 1이라고 놓겠습니다

0:01:25.452,0:01:38.609
이 식을 x-1로 나누는 것입니다

0:01:38.609,0:01:43.511
이 경우 a는 1입니다

0:01:43.511,0:01:45.989
다항식의 나눗셈을 해 봅시다

0:01:45.989,0:01:47.388
영상을 잠시 멈추고

0:01:47.388,0:01:49.988
다항식의 나눗셈이 익숙하지 않으시다면

0:01:49.988,0:01:51.940
이 영상 전에 다항식의 나눗셈에 관한[br]이전 영상을 먼저 보십시오

0:01:51.940,0:01:53.990
이 영상에서는 여러분들이 다항식의 나눗셈을

0:01:53.990,0:01:55.330
모두 할 줄 아신다고 생각하겠습니다

0:01:55.330,0:02:00.734
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 얼마인지

0:02:00.734,0:02:04.017
이 나머지가 정말 f(1)인지 확인해 봅시다

0:02:04.017,0:02:08.001
한 번 해 봅시다

0:02:08.001,0:02:22.287
x-1로 3x^2-4x+7을 나눕니다

0:02:22.287,0:02:26.741
다항식의 나눗셈으로 아침을 시작하니 아주 상쾌하네요

0:02:26.741,0:02:29.437
여러분들도 지금 아침인지는 모르겠지만 말입니다

0:02:29.437,0:02:34.263
여기서의 최고차항은 x이고

0:02:34.263,0:02:36.747
여기서의 최고차항은 3x^2입니다

0:02:36.747,0:02:38.942
x가 3x^2에 몇 번 들어갈까요?

0:02:38.942,0:02:40.756
3x번입니다

0:02:40.756,0:02:42.929
3x 곱하기 x는 3x^2이니까요

0:02:42.929,0:02:50.698
여기 일차항 자리에 3x를 쓰고

0:02:50.698,0:02:53.644
3x 곱하기 x는 3x^2이고

0:02:53.644,0:02:57.869
3x 곱하기 -1은 -3x입니다

0:02:57.869,0:03:01.612
이제 이 값을 빼 줍니다

0:03:01.612,0:03:04.755
원래 나눗셈을 계산할 때 하는 것처럼 말입니다

0:03:04.755,0:03:10.152
3x^2 빼기 3x^2은

0:03:10.152,0:03:14.227
0이 되고

0:03:14.227,0:03:19.697
-4x 더하기 3x -- 마이너스가 두 번 있으니까요 --

0:03:19.697,0:03:27.894
-4x 더하기 3x는 -x가 됩니다. 새로운 색깔로 쓰겠습니다

0:03:27.894,0:03:31.790
-x가 되고

0:03:31.790,0:03:35.549
7을 그대로 내려서

0:03:35.549,0:03:38.513
나눗셈의 첫 번째 부분을 완성합니다

0:03:38.513,0:03:40.790
3, 4학년 때쯤 배웠듯이 말입니다

0:03:40.790,0:03:44.590
3x를 여기에 곱해서 3x^2-3x를 얻은 다음

0:03:44.590,0:03:47.631
원래 식인 3x^2-4x에서 빼서

0:03:47.631,0:03:49.240
여기 이 결과를 얻은 것입니다

0:03:49.240,0:03:52.226
아니면 원래의 전체 다항식에서 빼서

0:03:52.226,0:03:55.357
-x+7을 얻었다고 생각해도 됩니다

0:03:55.357,0:04:00.672
이제 x-1은 -x+7에 몇 번 들어갈까요?

0:04:00.672,0:04:04.826
x는 -x에 -1번 들어갑니다

0:04:04.826,0:04:08.348
-1 곱하기 x는 -x이고

0:04:08.348,0:04:12.698
-1 곱하기 -1은 +1입니다

0:04:12.698,0:04:16.688
이 값을 빼면

0:04:16.688,0:04:18.528
나머지를 구할 수 있습니다

0:04:18.528,0:04:22.088
-x 빼기 -x, 그러니까

0:04:22.088,0:04:26.504
-x 더하기 x는 0이 되고

0:04:26.504,0:04:28.148
7에다가

0:04:28.148,0:04:33.032
앞에 마이너스 부호를 계산해 주면 -1이 되니까

0:04:33.032,0:04:35.714
7-1을 계산하면 6입니다

0:04:35.714,0:04:39.685
따라서 나머지는 6이 됩니다

0:04:39.685,0:04:44.915
이런 식으로 생각해 봅시다

0:04:44.915,0:04:47.205
아, 다음 영상에서 말씀드리는 게 더 낫겠군요

0:04:47.205,0:04:51.023
여기 이 값은 나머지입니다

0:04:51.023,0:04:55.149
다항식의 나눗셈에서

0:04:55.149,0:05:01.506
여기 이 식의 차수, 여기서는 0차입니다

0:05:01.506,0:05:09.411
차수가 제수, 여기서는 x-1의 차수보다 낮으면[br]나머지입니다

0:05:09.411,0:05:15.853
따라서 이 값이 나머지입니다[br]여기에는 이 값을 더 이상 넣을 수 없습니다

0:05:15.853,0:05:21.507
다항식의 나머지 정리가 사실이라면

0:05:21.507,0:05:23.927
여기서 예시로 든 이 나눗셈의 경우에서

0:05:23.927,0:05:25.143
이 결과가 정리를 증명하는 것은 절대 아니며

0:05:25.143,0:05:30.918
그냥 구체적인 하나의 예시일 뿐이지만

0:05:30.918,0:05:32.128
다항식의 나머지 정리에 따르면

0:05:32.128,0:05:34.058
다항식의 나머지 정리가 사실이라면

0:05:34.058,0:05:42.143
이 정리에 따라 f(a), 즉 f(1)은 6이 되어야 합니다

0:05:42.143,0:05:44.469
이 나머지와 같아야 합니다

0:05:44.469,0:05:45.479
확인해 봅시다

0:05:45.479,0:05:50.203
이 값은 3 곱하기 1의 제곱, 즉 3

0:05:50.203,0:05:53.431
빼기 4 곱하기 1, 즉 -4

0:05:53.431,0:05:55.019
더하기 7입니다

0:05:55.019,0:06:04.524
3-4+7은 실제로 6이 됩니다

0:06:04.524,0:06:07.668
이 특별한 경우에 대해서

0:06:07.668,0:06:10.034
다항식의 나머지 정리가 성립합니다

0:06:10.034,0:06:11.628
이 결과는 상당히 쓸모가 있습니다

0:06:11.628,0:06:18.599
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지가 궁금할 때

0:06:18.599,0:06:23.971
몫은 전혀 신경쓰지 않고[br]오직 나머지에만 관심이 있을 때

0:06:23.971,0:06:30.831
a=1 값을 f에 대입해 6을 얻을 수 있습니다

0:06:30.831,0:06:31.996
이런 과정 없이 말입니다

0:06:31.996,0:06:33.785
대입만 하면

0:06:33.785,0:06:42.019
3x^2-4x+7을 x-1로 나눈 나머지를 얻을 수 있습니다