-
Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen.
-
Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen,
-
aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen,
-
und feststellen, dass er,
wie so viele Dinge in der Mathematik,
-
wenn man darüber nachdenkt,
er gar nicht so magisch ist.
-
Was ist also der Restpolynom-Satz?
-
Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom,
-
wie z.B. f(x) hier anfangen,
-
und es durch x - a dividieren,
-
dann ist der Rest dieser
schriftlichen Polynomdivision f(a).
-
Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor.
-
Ich rede über f(x) und x - a.
-
Lass uns etwas konkreter werden.
-
Sagen wir einfach, dass f(x) gleich
einem Polynom zweiten Grades ist.
-
Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus.
-
Es würde aber für jedes Polynom gelten.
-
3x² - 4x + 7.
-
Sagen wir einfach, dass a = 1 ist.
-
Also dividieren wir durch x - 1.
-
a ist in diesem Fall also gleich 1.
-
Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch.
-
Ich ermutige dich, das Video zu pausieren.
-
Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst,
-
empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen,
-
da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man
eine schriftliche Polynomdivision durchführt.
-
Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
-
Finde heraus, was als Rest herauskommt,
und ob der Rest wirklich f(1) ist.
-
Ich nehme mal an, du hast es probiert.
-
Jetzt machen wir es zusammen.
-
Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
-
Mit einer schriftlichen Polynomdivision in
den Tag zu starten ist immer eine gute Idee.
-
Bei mir ist es Morgen.
-
Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist.
-
Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an.
-
Und dann fange ich mit den
höchstgradigen Term hier an.
-
Wie oft passt x in 3x²?
-
Genau 3x-mal.
-
3x ⋅ x = 3x².
-
Ich schreibe also 3x hierhin.
-
Ich schreibe es an die Stelle
für den Term ersten Grades.
-
3x ⋅ x = 3x².
-
3x ⋅ (-1) = -3x.
-
Jetzt wollen wir das subtrahieren.
-
So funktioniert die traditionelle schriftliche Division.
-
Was erhalten wir?
-
3x² - 3x² = 0.
-
Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x.
-
Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert.
-
-4x + 3x = -x.
-
Dann holen wir uns die 7.
-
Genau so, wie du schriftliche Division in
der dritten oder vierten Klasse gelernt hast.
-
Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert.
-
Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich
-
das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten.
-
Bzw. ich subtrahiere es von diesem
ganzen Polynom und erhalte dann -x + 7.
-
Wie oft passt x - 1 in -x + 7?
-
x passt -1-mal in -x.
-
-1 ⋅ x = -x.
-
-1 ⋅ (-1) = 1.
-
Und jetzt wollen wir das subtrahieren,
-
um unseren Rest zu erhalten.
-
-x - (-x) ist dasselbe wie -x + x.
-
Das kürzt sich also weg.
-
Und dann haben wir 7.
-
Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir
das Minuszeichen davor haben.
-
Wenn du das Minuszeichen
ausmultiplizierst, haben wir hier -1.
-
7 - 1 = 6.
-
Unser Rest ist also 6.
-
Das hier ist der Rest.
-
Du weißt, dass du den Rest gefunden hast,
-
so wie du es in der schriftlichen
Polynomdivision gelernt hast,
-
wenn du etwas erhältst, dass einen
niedrigeren Grad hat als der Divisor.
-
Das hier ist ein Polynom nullten Grades.
-
Es hat einen niedrigeren Grad als das,
wodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1.
-
Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest.
-
Das passt nicht mehr in den Rest.
-
Was sagt der Restpolynom-Satz aus?
-
Das hier ist kein Beweis, ich habe hier
nur ein zufälliges Beispiel gewählt,
-
um es etwas anschaulicher zu machen,
was der Restpolynom-Satz uns sagen will.
-
Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist,
-
sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte.
-
Es sollte den Rest ergeben.
-
Wir überprüfen das jetzt.
-
Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3,
-
-4 ⋅ 1 = -4,
-
+ 7.
-
3 - 4 = -1,
-
-1 + 7 ergibt in der Tat 6.
-
In diesem Beispiel sieht es so aus, als
würde der Restpolynom-Satz stimmen.
-
Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde:
-
"Welchen Rest erhalte ich, wenn ich
3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?"
-
Es geht nur um den Rest,
nicht den eigentlichen Quotienten.
-
Wenn es nur um den Rest geht, könntest
du sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist,
-
und du es einfach einsetzen kannst.
-
Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6.
-
Du brauchst all das nicht machen.
-
Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7
dividiert durch x - 1 herausfinden.