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Polynomial remainder theorem

  • 0:00 - 0:06
    Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen.
  • 0:06 - 0:09
    Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen,
  • 0:09 - 0:11
    aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen,
  • 0:11 - 0:13
    und feststellen, dass er,
    wie so viele Dinge in der Mathematik,
  • 0:13 - 0:17
    wenn man darüber nachdenkt,
    er gar nicht so magisch ist.
  • 0:17 - 0:19
    Was ist also der Restpolynom-Satz?
  • 0:19 - 0:23
    Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom,
  • 0:23 - 0:30
    wie z.B. f(x) hier anfangen,
  • 0:30 - 0:39
    und es durch x - a dividieren,
  • 0:39 - 0:57
    dann ist der Rest dieser
    schriftlichen Polynomdivision f(a).
  • 0:57 - 0:59
    Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor.
  • 0:59 - 1:03
    Ich rede über f(x) und x - a.
  • 1:03 - 1:05
    Lass uns etwas konkreter werden.
  • 1:05 - 1:11
    Sagen wir einfach, dass f(x) gleich
    einem Polynom zweiten Grades ist.
  • 1:11 - 1:13
    Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus.
  • 1:13 - 1:15
    Es würde aber für jedes Polynom gelten.
  • 1:15 - 1:21
    3x² - 4x + 7.
  • 1:21 - 1:26
    Sagen wir einfach, dass a = 1 ist.
  • 1:26 - 1:39
    Also dividieren wir durch x - 1.
  • 1:39 - 1:44
    a ist in diesem Fall also gleich 1.
  • 1:44 - 1:46
    Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch.
  • 1:46 - 1:48
    Ich ermutige dich, das Video zu pausieren.
  • 1:48 - 1:50
    Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst,
  • 1:50 - 1:52
    empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen,
  • 1:52 - 1:55
    da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man
    eine schriftliche Polynomdivision durchführt.
  • 1:55 - 2:00
    Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
  • 2:00 - 2:05
    Finde heraus, was als Rest herauskommt,
    und ob der Rest wirklich f(1) ist.
  • 2:05 - 2:06
    Ich nehme mal an, du hast es probiert.
  • 2:06 - 2:08
    Jetzt machen wir es zusammen.
  • 2:08 - 2:22
    Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
  • 2:22 - 2:27
    Mit einer schriftlichen Polynomdivision in
    den Tag zu starten ist immer eine gute Idee.
  • 2:27 - 2:27
    Bei mir ist es Morgen.
  • 2:27 - 2:29
    Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist.
  • 2:29 - 2:35
    Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an.
  • 2:35 - 2:37
    Und dann fange ich mit den
    höchstgradigen Term hier an.
  • 2:37 - 2:39
    Wie oft passt x in 3x²?
  • 2:39 - 2:41
    Genau 3x-mal.
  • 2:41 - 2:43
    3x ⋅ x = 3x².
  • 2:43 - 2:46
    Ich schreibe also 3x hierhin.
  • 2:46 - 2:50
    Ich schreibe es an die Stelle
    für den Term ersten Grades.
  • 2:50 - 2:54
    3x ⋅ x = 3x².
  • 2:54 - 2:58
    3x ⋅ (-1) = -3x.
  • 2:58 - 3:01
    Jetzt wollen wir das subtrahieren.
  • 3:01 - 3:04
    So funktioniert die traditionelle schriftliche Division.
  • 3:04 - 3:07
    Was erhalten wir?
  • 3:07 - 3:14
    3x² - 3x² = 0.
  • 3:14 - 3:18
    Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x.
  • 3:18 - 3:20
    Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert.
  • 3:20 - 3:32
    -4x + 3x = -x.
  • 3:32 - 3:36
    Dann holen wir uns die 7.
  • 3:36 - 3:41
    Genau so, wie du schriftliche Division in
    der dritten oder vierten Klasse gelernt hast.
  • 3:41 - 3:43
    Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert.
  • 3:43 - 3:46
    Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich
  • 3:46 - 3:49
    das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten.
  • 3:49 - 3:56
    Bzw. ich subtrahiere es von diesem
    ganzen Polynom und erhalte dann -x + 7.
  • 3:56 - 4:01
    Wie oft passt x - 1 in -x + 7?
  • 4:01 - 4:05
    x passt -1-mal in -x.
  • 4:05 - 4:09
    -1 ⋅ x = -x.
  • 4:09 - 4:13
    -1 ⋅ (-1) = 1.
  • 4:13 - 4:16
    Und jetzt wollen wir das subtrahieren,
  • 4:16 - 4:19
    um unseren Rest zu erhalten.
  • 4:19 - 4:25
    -x - (-x) ist dasselbe wie -x + x.
  • 4:25 - 4:27
    Das kürzt sich also weg.
  • 4:27 - 4:28
    Und dann haben wir 7.
  • 4:28 - 4:30
    Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir
    das Minuszeichen davor haben.
  • 4:30 - 4:33
    Wenn du das Minuszeichen
    ausmultiplizierst, haben wir hier -1.
  • 4:33 - 4:36
    7 - 1 = 6.
  • 4:36 - 4:45
    Unser Rest ist also 6.
  • 4:45 - 4:51
    Das hier ist der Rest.
  • 4:51 - 4:52
    Du weißt, dass du den Rest gefunden hast,
  • 4:52 - 4:54
    so wie du es in der schriftlichen
    Polynomdivision gelernt hast,
  • 4:54 - 4:57
    wenn du etwas erhältst, dass einen
    niedrigeren Grad hat als der Divisor.
  • 4:57 - 5:01
    Das hier ist ein Polynom nullten Grades.
  • 5:01 - 5:10
    Es hat einen niedrigeren Grad als das,
    wodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1.
  • 5:10 - 5:12
    Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest.
  • 5:12 - 5:16
    Das passt nicht mehr in den Rest.
  • 5:16 - 5:20
    Was sagt der Restpolynom-Satz aus?
  • 5:20 - 5:26
    Das hier ist kein Beweis, ich habe hier
    nur ein zufälliges Beispiel gewählt,
  • 5:26 - 5:32
    um es etwas anschaulicher zu machen,
    was der Restpolynom-Satz uns sagen will.
  • 5:32 - 5:35
    Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist,
  • 5:35 - 5:43
    sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte.
  • 5:43 - 5:45
    Es sollte den Rest ergeben.
  • 5:45 - 5:46
    Wir überprüfen das jetzt.
  • 5:46 - 5:50
    Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3,
  • 5:50 - 5:54
    -4 ⋅ 1 = -4,
  • 5:54 - 5:56
    + 7.
  • 5:56 - 5:57
    3 - 4 = -1,
  • 5:57 - 6:05
    -1 + 7 ergibt in der Tat 6.
  • 6:05 - 6:10
    In diesem Beispiel sieht es so aus, als
    würde der Restpolynom-Satz stimmen.
  • 6:10 - 6:12
    Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde:
  • 6:12 - 6:18
    "Welchen Rest erhalte ich, wenn ich
    3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?"
  • 6:18 - 6:22
    Es geht nur um den Rest,
    nicht den eigentlichen Quotienten.
  • 6:22 - 6:27
    Wenn es nur um den Rest geht, könntest
    du sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist,
  • 6:27 - 6:28
    und du es einfach einsetzen kannst.
  • 6:28 - 6:31
    Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6.
  • 6:31 - 6:32
    Du brauchst all das nicht machen.
  • 6:32 - 6:42
    Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7
    dividiert durch x - 1 herausfinden.
Title:
Polynomial remainder theorem
Description:

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:43

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