Polynomial remainder theorem

Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen.

Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen,

aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen,

und feststellen, dass er,
wie so viele Dinge in der Mathematik,

wenn man darüber nachdenkt,
er gar nicht so magisch ist.

Was ist also der Restpolynom-Satz?

Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom,

wie z.B. f(x) hier anfangen,

und es durch x - a dividieren,

dann ist der Rest dieser
schriftlichen Polynomdivision f(a).

Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor.

Ich rede über f(x) und x - a.

Lass uns etwas konkreter werden.

Sagen wir einfach, dass f(x) gleich
einem Polynom zweiten Grades ist.

Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus.

Es würde aber für jedes Polynom gelten.

3x² - 4x + 7.

Sagen wir einfach, dass a = 1 ist.

Also dividieren wir durch x - 1.

a ist in diesem Fall also gleich 1.

Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch.

Ich ermutige dich, das Video zu pausieren.

Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst,

empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen,

da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man
eine schriftliche Polynomdivision durchführt.

Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1.

Finde heraus, was als Rest herauskommt,
und ob der Rest wirklich f(1) ist.

Ich nehme mal an, du hast es probiert.

Jetzt machen wir es zusammen.

Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1.

Mit einer schriftlichen Polynomdivision in
den Tag zu starten ist immer eine gute Idee.

Bei mir ist es Morgen.

Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist.

Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an.

Und dann fange ich mit den
höchstgradigen Term hier an.

Wie oft passt x in 3x²?

Genau 3x-mal.

3x ⋅ x = 3x².

Ich schreibe also 3x hierhin.

Ich schreibe es an die Stelle
für den Term ersten Grades.

3x ⋅ x = 3x².

3x ⋅ (-1) = -3x.

Jetzt wollen wir das subtrahieren.

So funktioniert die traditionelle schriftliche Division.

Was erhalten wir?

3x² - 3x² = 0.

Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x.

Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert.

-4x + 3x = -x.

Dann holen wir uns die 7.

Genau so, wie du schriftliche Division in
der dritten oder vierten Klasse gelernt hast.

Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert.

Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich

das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten.

Bzw. ich subtrahiere es von diesem
ganzen Polynom und erhalte dann -x + 7.

Wie oft passt x - 1 in -x + 7?

x passt -1-mal in -x.

-1 ⋅ x = -x.

-1 ⋅ (-1) = 1.

Und jetzt wollen wir das subtrahieren,

um unseren Rest zu erhalten.

-x - (-x) ist dasselbe wie -x + x.

Das kürzt sich also weg.

Und dann haben wir 7.

Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir
das Minuszeichen davor haben.

Wenn du das Minuszeichen
ausmultiplizierst, haben wir hier -1.

7 - 1 = 6.

Unser Rest ist also 6.

Das hier ist der Rest.

Du weißt, dass du den Rest gefunden hast,

so wie du es in der schriftlichen
Polynomdivision gelernt hast,

wenn du etwas erhältst, dass einen
niedrigeren Grad hat als der Divisor.

Das hier ist ein Polynom nullten Grades.

Es hat einen niedrigeren Grad als das,
wodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1.

Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest.

Das passt nicht mehr in den Rest.

Was sagt der Restpolynom-Satz aus?

Das hier ist kein Beweis, ich habe hier
nur ein zufälliges Beispiel gewählt,

um es etwas anschaulicher zu machen,
was der Restpolynom-Satz uns sagen will.

Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist,

sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte.

Es sollte den Rest ergeben.

Wir überprüfen das jetzt.

Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3,

-4 ⋅ 1 = -4,

+ 7.

3 - 4 = -1,

-1 + 7 ergibt in der Tat 6.

In diesem Beispiel sieht es so aus, als
würde der Restpolynom-Satz stimmen.

Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde:

"Welchen Rest erhalte ich, wenn ich
3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?"

Es geht nur um den Rest,
nicht den eigentlichen Quotienten.

Wenn es nur um den Rest geht, könntest
du sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist,

und du es einfach einsetzen kannst.

Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6.

Du brauchst all das nicht machen.

Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7
dividiert durch x - 1 herausfinden.