WEBVTT 00:00:00.380 --> 00:00:06.360 Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen. 00:00:06.360 --> 00:00:09.300 Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen, 00:00:09.320 --> 00:00:10.880 aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen, 00:00:10.880 --> 00:00:13.060 und feststellen, dass er, wie so viele Dinge in der Mathematik, 00:00:13.063 --> 00:00:16.960 wenn man darüber nachdenkt, er gar nicht so magisch ist. 00:00:16.960 --> 00:00:19.460 Was ist also der Restpolynom-Satz? 00:00:19.460 --> 00:00:22.940 Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom, 00:00:22.940 --> 00:00:29.580 wie z.B. f(x) hier anfangen, 00:00:29.580 --> 00:00:39.340 und es durch x - a dividieren, 00:00:39.340 --> 00:00:56.960 dann ist der Rest dieser schriftlichen Polynomdivision f(a). 00:00:56.960 --> 00:00:59.320 Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor. 00:00:59.330 --> 00:01:02.727 Ich rede über f(x) und x - a. 00:01:02.727 --> 00:01:05.409 Lass uns etwas konkreter werden. 00:01:05.409 --> 00:01:10.620 Sagen wir einfach, dass f(x) gleich einem Polynom zweiten Grades ist. 00:01:10.620 --> 00:01:13.320 Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus. 00:01:13.320 --> 00:01:15.180 Es würde aber für jedes Polynom gelten. 00:01:15.180 --> 00:01:21.200 3x² - 4x + 7. 00:01:21.200 --> 00:01:25.833 Sagen wir einfach, dass a = 1 ist. 00:01:25.840 --> 00:01:39.000 Also dividieren wir durch x - 1. 00:01:39.000 --> 00:01:44.000 a ist in diesem Fall also gleich 1. 00:01:44.019 --> 00:01:45.890 Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch. 00:01:45.890 --> 00:01:47.665 Ich ermutige dich, das Video zu pausieren. 00:01:47.665 --> 00:01:49.635 Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst, 00:01:49.635 --> 00:01:51.815 empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen, 00:01:51.820 --> 00:01:55.240 da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man eine schriftliche Polynomdivision durchführt. 00:01:55.240 --> 00:01:59.520 Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1. 00:01:59.520 --> 00:02:04.900 Finde heraus, was als Rest herauskommt, und ob der Rest wirklich f(1) ist. 00:02:04.900 --> 00:02:06.420 Ich nehme mal an, du hast es probiert. 00:02:06.422 --> 00:02:07.978 Jetzt machen wir es zusammen. 00:02:07.980 --> 00:02:22.460 Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1. 00:02:22.460 --> 00:02:26.740 Mit einer schriftlichen Polynomdivision in den Tag zu starten ist immer eine gute Idee. 00:02:26.740 --> 00:02:27.456 Bei mir ist es Morgen. 00:02:27.456 --> 00:02:29.172 Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist. 00:02:29.180 --> 00:02:34.840 Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an. 00:02:34.840 --> 00:02:36.580 Und dann fange ich mit den höchstgradigen Term hier an. 00:02:36.585 --> 00:02:39.453 Wie oft passt x in 3x²? 00:02:39.453 --> 00:02:40.951 Genau 3x-mal. 00:02:40.951 --> 00:02:42.573 3x ⋅ x = 3x². 00:02:42.573 --> 00:02:46.387 Ich schreibe also 3x hierhin. 00:02:46.387 --> 00:02:49.740 Ich schreibe es an die Stelle für den Term ersten Grades. 00:02:49.740 --> 00:02:53.750 3x ⋅ x = 3x². 00:02:53.750 --> 00:02:57.822 3x ⋅ (-1) = -3x. 00:02:57.822 --> 00:03:01.486 Jetzt wollen wir das subtrahieren. 00:03:01.486 --> 00:03:04.454 So funktioniert die traditionelle schriftliche Division. 00:03:04.454 --> 00:03:06.505 Was erhalten wir? 00:03:06.505 --> 00:03:14.240 3x² - 3x² = 0. 00:03:14.240 --> 00:03:18.420 Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x. 00:03:18.420 --> 00:03:19.720 Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert. 00:03:19.720 --> 00:03:31.580 -4x + 3x = -x. 00:03:31.580 --> 00:03:35.705 Dann holen wir uns die 7. 00:03:35.705 --> 00:03:40.760 Genau so, wie du schriftliche Division in der dritten oder vierten Klasse gelernt hast. 00:03:40.760 --> 00:03:42.565 Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert. 00:03:42.565 --> 00:03:46.260 Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich 00:03:46.260 --> 00:03:49.320 das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten. 00:03:49.320 --> 00:03:55.880 Bzw. ich subtrahiere es von diesem ganzen Polynom und erhalte dann -x + 7. 00:03:55.880 --> 00:04:00.620 Wie oft passt x - 1 in -x + 7? 00:04:00.620 --> 00:04:05.180 x passt -1-mal in -x. 00:04:05.180 --> 00:04:08.860 -1 ⋅ x = -x. 00:04:08.860 --> 00:04:12.660 -1 ⋅ (-1) = 1. 00:04:12.660 --> 00:04:16.400 Und jetzt wollen wir das subtrahieren, 00:04:16.400 --> 00:04:18.660 um unseren Rest zu erhalten. 00:04:18.660 --> 00:04:24.780 -x - (-x) ist dasselbe wie -x + x. 00:04:24.780 --> 00:04:26.847 Das kürzt sich also weg. 00:04:26.847 --> 00:04:27.939 Und dann haben wir 7. 00:04:27.940 --> 00:04:30.200 Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir das Minuszeichen davor haben. 00:04:30.200 --> 00:04:33.160 Wenn du das Minuszeichen ausmultiplizierst, haben wir hier -1. 00:04:33.160 --> 00:04:35.880 7 - 1 = 6. 00:04:35.880 --> 00:04:44.720 Unser Rest ist also 6. 00:04:44.720 --> 00:04:50.612 Das hier ist der Rest. 00:04:50.612 --> 00:04:52.128 Du weißt, dass du den Rest gefunden hast, 00:04:52.128 --> 00:04:54.340 so wie du es in der schriftlichen Polynomdivision gelernt hast, 00:04:54.340 --> 00:04:57.120 wenn du etwas erhältst, dass einen niedrigeren Grad hat als der Divisor. 00:04:57.128 --> 00:05:01.060 Das hier ist ein Polynom nullten Grades. 00:05:01.060 --> 00:05:09.720 Es hat einen niedrigeren Grad als das, wodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1. 00:05:09.720 --> 00:05:11.852 Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest. 00:05:11.852 --> 00:05:16.014 Das passt nicht mehr in den Rest. 00:05:16.014 --> 00:05:20.471 Was sagt der Restpolynom-Satz aus? 00:05:20.480 --> 00:05:26.100 Das hier ist kein Beweis, ich habe hier nur ein zufälliges Beispiel gewählt, 00:05:26.100 --> 00:05:32.060 um es etwas anschaulicher zu machen, was der Restpolynom-Satz uns sagen will. 00:05:32.060 --> 00:05:34.560 Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist, 00:05:34.560 --> 00:05:42.760 sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte. 00:05:42.760 --> 00:05:44.600 Es sollte den Rest ergeben. 00:05:44.600 --> 00:05:45.555 Wir überprüfen das jetzt. 00:05:45.560 --> 00:05:50.000 Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3, 00:05:50.000 --> 00:05:53.520 -4 ⋅ 1 = -4, 00:05:53.520 --> 00:05:55.717 + 7. 00:05:55.720 --> 00:05:56.680 3 - 4 = -1, 00:05:56.680 --> 00:06:04.680 -1 + 7 ergibt in der Tat 6. 00:06:04.680 --> 00:06:10.480 In diesem Beispiel sieht es so aus, als würde der Restpolynom-Satz stimmen. 00:06:10.480 --> 00:06:12.360 Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde: 00:06:12.360 --> 00:06:17.940 "Welchen Rest erhalte ich, wenn ich 3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?" 00:06:17.940 --> 00:06:21.860 Es geht nur um den Rest, nicht den eigentlichen Quotienten. 00:06:21.860 --> 00:06:27.360 Wenn es nur um den Rest geht, könntest du sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist, 00:06:27.360 --> 00:06:28.360 und du es einfach einsetzen kannst. 00:06:28.361 --> 00:06:30.764 Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6. 00:06:30.764 --> 00:06:32.068 Du brauchst all das nicht machen. 00:06:32.068 --> 00:06:41.960 Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7 dividiert durch x - 1 herausfinden.