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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.38,0:00:06.36,Default,,0000,0000,0000,,Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen.
Dialogue: 0,0:00:06.36,0:00:09.30,Default,,0000,0000,0000,,Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen,
Dialogue: 0,0:00:09.32,0:00:10.88,Default,,0000,0000,0000,,aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen,
Dialogue: 0,0:00:10.88,0:00:13.06,Default,,0000,0000,0000,,und feststellen, dass er,\Nwie so viele Dinge in der Mathematik,
Dialogue: 0,0:00:13.06,0:00:16.96,Default,,0000,0000,0000,,wenn man darüber nachdenkt,\Ner gar nicht so magisch ist.
Dialogue: 0,0:00:16.96,0:00:19.46,Default,,0000,0000,0000,,Was ist also der Restpolynom-Satz?
Dialogue: 0,0:00:19.46,0:00:22.94,Default,,0000,0000,0000,,Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom,
Dialogue: 0,0:00:22.94,0:00:29.58,Default,,0000,0000,0000,,wie z.B. f(x) hier anfangen,
Dialogue: 0,0:00:29.58,0:00:39.34,Default,,0000,0000,0000,,und es durch x - a dividieren,
Dialogue: 0,0:00:39.34,0:00:56.96,Default,,0000,0000,0000,,dann ist der Rest dieser\Nschriftlichen Polynomdivision f(a).
Dialogue: 0,0:00:56.96,0:00:59.32,Default,,0000,0000,0000,,Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor.
Dialogue: 0,0:00:59.33,0:01:02.73,Default,,0000,0000,0000,,Ich rede über f(x) und x - a.
Dialogue: 0,0:01:02.73,0:01:05.41,Default,,0000,0000,0000,,Lass uns etwas konkreter werden.
Dialogue: 0,0:01:05.41,0:01:10.62,Default,,0000,0000,0000,,Sagen wir einfach, dass f(x) gleich\Neinem Polynom zweiten Grades ist.
Dialogue: 0,0:01:10.62,0:01:13.32,Default,,0000,0000,0000,,Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus.
Dialogue: 0,0:01:13.32,0:01:15.18,Default,,0000,0000,0000,,Es würde aber für jedes Polynom gelten.
Dialogue: 0,0:01:15.18,0:01:21.20,Default,,0000,0000,0000,,3x² - 4x + 7.
Dialogue: 0,0:01:21.20,0:01:25.83,Default,,0000,0000,0000,,Sagen wir einfach, dass a = 1 ist.
Dialogue: 0,0:01:25.84,0:01:39.00,Default,,0000,0000,0000,,Also dividieren wir durch x - 1.
Dialogue: 0,0:01:39.00,0:01:44.00,Default,,0000,0000,0000,,a ist in diesem Fall also gleich 1.
Dialogue: 0,0:01:44.02,0:01:45.89,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch.
Dialogue: 0,0:01:45.89,0:01:47.66,Default,,0000,0000,0000,,Ich ermutige dich, das Video zu pausieren.
Dialogue: 0,0:01:47.66,0:01:49.64,Default,,0000,0000,0000,,Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst,
Dialogue: 0,0:01:49.64,0:01:51.82,Default,,0000,0000,0000,,empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen,
Dialogue: 0,0:01:51.82,0:01:55.24,Default,,0000,0000,0000,,da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man\Neine schriftliche Polynomdivision durchführt.
Dialogue: 0,0:01:55.24,0:01:59.52,Default,,0000,0000,0000,,Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
Dialogue: 0,0:01:59.52,0:02:04.90,Default,,0000,0000,0000,,Finde heraus, was als Rest herauskommt,\Nund ob der Rest wirklich f(1) ist.
Dialogue: 0,0:02:04.90,0:02:06.42,Default,,0000,0000,0000,,Ich nehme mal an, du hast es probiert.
Dialogue: 0,0:02:06.42,0:02:07.98,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt machen wir es zusammen.
Dialogue: 0,0:02:07.98,0:02:22.46,Default,,0000,0000,0000,,Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1.
Dialogue: 0,0:02:22.46,0:02:26.74,Default,,0000,0000,0000,,Mit einer schriftlichen Polynomdivision in\Nden Tag zu starten ist immer eine gute Idee.
Dialogue: 0,0:02:26.74,0:02:27.46,Default,,0000,0000,0000,,Bei mir ist es Morgen.
Dialogue: 0,0:02:27.46,0:02:29.17,Default,,0000,0000,0000,,Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist.
Dialogue: 0,0:02:29.18,0:02:34.84,Default,,0000,0000,0000,,Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an.
Dialogue: 0,0:02:34.84,0:02:36.58,Default,,0000,0000,0000,,Und dann fange ich mit den\Nhöchstgradigen Term hier an.
Dialogue: 0,0:02:36.58,0:02:39.45,Default,,0000,0000,0000,,Wie oft passt x in 3x²?
Dialogue: 0,0:02:39.45,0:02:40.95,Default,,0000,0000,0000,,Genau 3x-mal.
Dialogue: 0,0:02:40.95,0:02:42.57,Default,,0000,0000,0000,,3x ⋅ x = 3x².
Dialogue: 0,0:02:42.57,0:02:46.39,Default,,0000,0000,0000,,Ich schreibe also 3x hierhin.
Dialogue: 0,0:02:46.39,0:02:49.74,Default,,0000,0000,0000,,Ich schreibe es an die Stelle\Nfür den Term ersten Grades.
Dialogue: 0,0:02:49.74,0:02:53.75,Default,,0000,0000,0000,,3x ⋅ x = 3x².
Dialogue: 0,0:02:53.75,0:02:57.82,Default,,0000,0000,0000,,3x ⋅ (-1) = -3x.
Dialogue: 0,0:02:57.82,0:03:01.49,Default,,0000,0000,0000,,Jetzt wollen wir das subtrahieren.
Dialogue: 0,0:03:01.49,0:03:04.45,Default,,0000,0000,0000,,So funktioniert die traditionelle schriftliche Division.
Dialogue: 0,0:03:04.45,0:03:06.50,Default,,0000,0000,0000,,Was erhalten wir?
Dialogue: 0,0:03:06.50,0:03:14.24,Default,,0000,0000,0000,,3x² - 3x² = 0.
Dialogue: 0,0:03:14.24,0:03:18.42,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x.
Dialogue: 0,0:03:18.42,0:03:19.72,Default,,0000,0000,0000,,Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert.
Dialogue: 0,0:03:19.72,0:03:31.58,Default,,0000,0000,0000,,-4x + 3x = -x.
Dialogue: 0,0:03:31.58,0:03:35.70,Default,,0000,0000,0000,,Dann holen wir uns die 7.
Dialogue: 0,0:03:35.70,0:03:40.76,Default,,0000,0000,0000,,Genau so, wie du schriftliche Division in\Nder dritten oder vierten Klasse gelernt hast.
Dialogue: 0,0:03:40.76,0:03:42.56,Default,,0000,0000,0000,,Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert.
Dialogue: 0,0:03:42.56,0:03:46.26,Default,,0000,0000,0000,,Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich
Dialogue: 0,0:03:46.26,0:03:49.32,Default,,0000,0000,0000,,das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten.
Dialogue: 0,0:03:49.32,0:03:55.88,Default,,0000,0000,0000,,Bzw. ich subtrahiere es von diesem \Nganzen Polynom und erhalte dann -x + 7.
Dialogue: 0,0:03:55.88,0:04:00.62,Default,,0000,0000,0000,,Wie oft passt x - 1 in -x + 7?
Dialogue: 0,0:04:00.62,0:04:05.18,Default,,0000,0000,0000,,x passt -1-mal in -x.
Dialogue: 0,0:04:05.18,0:04:08.86,Default,,0000,0000,0000,,-1 ⋅ x = -x.
Dialogue: 0,0:04:08.86,0:04:12.66,Default,,0000,0000,0000,,-1 ⋅ (-1) = 1.
Dialogue: 0,0:04:12.66,0:04:16.40,Default,,0000,0000,0000,,Und jetzt wollen wir das subtrahieren,
Dialogue: 0,0:04:16.40,0:04:18.66,Default,,0000,0000,0000,,um unseren Rest zu erhalten.
Dialogue: 0,0:04:18.66,0:04:24.78,Default,,0000,0000,0000,,-x - (-x) ist dasselbe wie -x + x.
Dialogue: 0,0:04:24.78,0:04:26.85,Default,,0000,0000,0000,,Das kürzt sich also weg.
Dialogue: 0,0:04:26.85,0:04:27.94,Default,,0000,0000,0000,,Und dann haben wir 7.
Dialogue: 0,0:04:27.94,0:04:30.20,Default,,0000,0000,0000,,Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir\Ndas Minuszeichen davor haben.
Dialogue: 0,0:04:30.20,0:04:33.16,Default,,0000,0000,0000,,Wenn du das Minuszeichen\Nausmultiplizierst, haben wir hier -1.
Dialogue: 0,0:04:33.16,0:04:35.88,Default,,0000,0000,0000,,7 - 1 = 6.
Dialogue: 0,0:04:35.88,0:04:44.72,Default,,0000,0000,0000,,Unser Rest ist also 6.
Dialogue: 0,0:04:44.72,0:04:50.61,Default,,0000,0000,0000,,Das hier ist der Rest.
Dialogue: 0,0:04:50.61,0:04:52.13,Default,,0000,0000,0000,,Du weißt, dass du den Rest gefunden hast,
Dialogue: 0,0:04:52.13,0:04:54.34,Default,,0000,0000,0000,,so wie du es in der schriftlichen\NPolynomdivision gelernt hast,
Dialogue: 0,0:04:54.34,0:04:57.12,Default,,0000,0000,0000,,wenn du etwas erhältst, dass einen\Nniedrigeren Grad hat als der Divisor.
Dialogue: 0,0:04:57.13,0:05:01.06,Default,,0000,0000,0000,,Das hier ist ein Polynom nullten Grades.
Dialogue: 0,0:05:01.06,0:05:09.72,Default,,0000,0000,0000,,Es hat einen niedrigeren Grad als das,\Nwodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1.
Dialogue: 0,0:05:09.72,0:05:11.85,Default,,0000,0000,0000,,Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest.
Dialogue: 0,0:05:11.85,0:05:16.01,Default,,0000,0000,0000,,Das passt nicht mehr in den Rest.
Dialogue: 0,0:05:16.01,0:05:20.47,Default,,0000,0000,0000,,Was sagt der Restpolynom-Satz aus?
Dialogue: 0,0:05:20.48,0:05:26.10,Default,,0000,0000,0000,,Das hier ist kein Beweis, ich habe hier\Nnur ein zufälliges Beispiel gewählt,
Dialogue: 0,0:05:26.10,0:05:32.06,Default,,0000,0000,0000,,um es etwas anschaulicher zu machen,\Nwas der Restpolynom-Satz uns sagen will.
Dialogue: 0,0:05:32.06,0:05:34.56,Default,,0000,0000,0000,,Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist,
Dialogue: 0,0:05:34.56,0:05:42.76,Default,,0000,0000,0000,,sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte.
Dialogue: 0,0:05:42.76,0:05:44.60,Default,,0000,0000,0000,,Es sollte den Rest ergeben.
Dialogue: 0,0:05:44.60,0:05:45.56,Default,,0000,0000,0000,,Wir überprüfen das jetzt.
Dialogue: 0,0:05:45.56,0:05:50.00,Default,,0000,0000,0000,,Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3,
Dialogue: 0,0:05:50.00,0:05:53.52,Default,,0000,0000,0000,,-4 ⋅ 1 = -4,
Dialogue: 0,0:05:53.52,0:05:55.72,Default,,0000,0000,0000,,+ 7.
Dialogue: 0,0:05:55.72,0:05:56.68,Default,,0000,0000,0000,,3 - 4 = -1,
Dialogue: 0,0:05:56.68,0:06:04.68,Default,,0000,0000,0000,,-1 + 7 ergibt in der Tat 6.
Dialogue: 0,0:06:04.68,0:06:10.48,Default,,0000,0000,0000,,In diesem Beispiel sieht es so aus, als\Nwürde der Restpolynom-Satz stimmen.
Dialogue: 0,0:06:10.48,0:06:12.36,Default,,0000,0000,0000,,Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde:
Dialogue: 0,0:06:12.36,0:06:17.94,Default,,0000,0000,0000,,"Welchen Rest erhalte ich, wenn ich\N3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?"
Dialogue: 0,0:06:17.94,0:06:21.86,Default,,0000,0000,0000,,Es geht nur um den Rest,\Nnicht den eigentlichen Quotienten.
Dialogue: 0,0:06:21.86,0:06:27.36,Default,,0000,0000,0000,,Wenn es nur um den Rest geht, könntest\Ndu sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist,
Dialogue: 0,0:06:27.36,0:06:28.36,Default,,0000,0000,0000,,und du es einfach einsetzen kannst.
Dialogue: 0,0:06:28.36,0:06:30.76,Default,,0000,0000,0000,,Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6.
Dialogue: 0,0:06:30.76,0:06:32.07,Default,,0000,0000,0000,,Du brauchst all das nicht machen.
Dialogue: 0,0:06:32.07,0:06:41.96,Default,,0000,0000,0000,,Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7\Ndividiert durch x - 1 herausfinden.