0:00:00.380,0:00:06.360 Ich möchte dir heute den Restpolynom-Satz vorstellen. 0:00:06.360,0:00:09.300 Anfangs wird er dir etwas magisch vorkommen, 0:00:09.320,0:00:10.880 aber in zukünftigen Videos werden wir ihn beweisen, 0:00:10.880,0:00:13.060 und feststellen, dass er,[br]wie so viele Dinge in der Mathematik, 0:00:13.063,0:00:16.960 wenn man darüber nachdenkt,[br]er gar nicht so magisch ist. 0:00:16.960,0:00:19.460 Was ist also der Restpolynom-Satz? 0:00:19.460,0:00:22.940 Er sagt aus, dass, wenn wir mit einem Polynom, 0:00:22.940,0:00:29.580 wie z.B. f(x) hier anfangen, 0:00:29.580,0:00:39.340 und es durch x - a dividieren, 0:00:39.340,0:00:56.960 dann ist der Rest dieser[br]schriftlichen Polynomdivision f(a). 0:00:56.960,0:00:59.320 Das kommt dir wahrscheinlich etwas abstrakt vor. 0:00:59.330,0:01:02.727 Ich rede über f(x) und x - a. 0:01:02.727,0:01:05.409 Lass uns etwas konkreter werden. 0:01:05.409,0:01:10.620 Sagen wir einfach, dass f(x) gleich[br]einem Polynom zweiten Grades ist. 0:01:10.620,0:01:13.320 Ich denke mir einfach ein Polynom zweiten Grades aus. 0:01:13.320,0:01:15.180 Es würde aber für jedes Polynom gelten. 0:01:15.180,0:01:21.200 3x² - 4x + 7. 0:01:21.200,0:01:25.833 Sagen wir einfach, dass a = 1 ist. 0:01:25.840,0:01:39.000 Also dividieren wir durch x - 1. 0:01:39.000,0:01:44.000 a ist in diesem Fall also gleich 1. 0:01:44.019,0:01:45.890 Jetzt führen wir die schriftliche Polynomdivision durch. 0:01:45.890,0:01:47.665 Ich ermutige dich, das Video zu pausieren. 0:01:47.665,0:01:49.635 Falls du die schriftliche Polynomdivision nicht kennst, 0:01:49.635,0:01:51.815 empfehle ich dir, dir diese Methode vorher anzuschauen, 0:01:51.820,0:01:55.240 da ich davon ausgehe, dass du weißt, wie man[br]eine schriftliche Polynomdivision durchführt. 0:01:55.240,0:01:59.520 Dividiere also 3x² - 4x + 7 durch x - 1. 0:01:59.520,0:02:04.900 Finde heraus, was als Rest herauskommt,[br]und ob der Rest wirklich f(1) ist. 0:02:04.900,0:02:06.420 Ich nehme mal an, du hast es probiert. 0:02:06.422,0:02:07.978 Jetzt machen wir es zusammen. 0:02:07.980,0:02:22.460 Wir dividieren 3x² - 4x + 7 durch x - 1. 0:02:22.460,0:02:26.740 Mit einer schriftlichen Polynomdivision in[br]den Tag zu starten ist immer eine gute Idee. 0:02:26.740,0:02:27.456 Bei mir ist es Morgen. 0:02:27.456,0:02:29.172 Ich weiß nicht, ob das bei dir der Fall ist. 0:02:29.180,0:02:34.840 Schauen wir uns also den höchstgradigen x-Term an. 0:02:34.840,0:02:36.580 Und dann fange ich mit den[br]höchstgradigen Term hier an. 0:02:36.585,0:02:39.453 Wie oft passt x in 3x²? 0:02:39.453,0:02:40.951 Genau 3x-mal. 0:02:40.951,0:02:42.573 3x ⋅ x = 3x². 0:02:42.573,0:02:46.387 Ich schreibe also 3x hierhin. 0:02:46.387,0:02:49.740 Ich schreibe es an die Stelle[br]für den Term ersten Grades. 0:02:49.740,0:02:53.750 3x ⋅ x = 3x². 0:02:53.750,0:02:57.822 3x ⋅ (-1) = -3x. 0:02:57.822,0:03:01.486 Jetzt wollen wir das subtrahieren. 0:03:01.486,0:03:04.454 So funktioniert die traditionelle schriftliche Division. 0:03:04.454,0:03:06.505 Was erhalten wir? 0:03:06.505,0:03:14.240 3x² - 3x² = 0. 0:03:14.240,0:03:18.420 Wir haben -4x und hier rechnen wir + 3x. 0:03:18.420,0:03:19.720 Wir haben ein Minus vor einem negativen Wert. 0:03:19.720,0:03:31.580 -4x + 3x = -x. 0:03:31.580,0:03:35.705 Dann holen wir uns die 7. 0:03:35.705,0:03:40.760 Genau so, wie du schriftliche Division in[br]der dritten oder vierten Klasse gelernt hast. 0:03:40.760,0:03:42.565 Ich habe 3x einfach nur damit multipliziert. 0:03:42.565,0:03:46.260 Du erhältst 3x² - 3x und dann subtrahiere ich 0:03:46.260,0:03:49.320 das von 3x² - 4x, um das hier zu erhalten. 0:03:49.320,0:03:55.880 Bzw. ich subtrahiere es von diesem [br]ganzen Polynom und erhalte dann -x + 7. 0:03:55.880,0:04:00.620 Wie oft passt x - 1 in -x + 7? 0:04:00.620,0:04:05.180 x passt -1-mal in -x. 0:04:05.180,0:04:08.860 -1 ⋅ x = -x. 0:04:08.860,0:04:12.660 -1 ⋅ (-1) = 1. 0:04:12.660,0:04:16.400 Und jetzt wollen wir das subtrahieren, 0:04:16.400,0:04:18.660 um unseren Rest zu erhalten. 0:04:18.660,0:04:24.780 -x - (-x) ist dasselbe wie -x + x. 0:04:24.780,0:04:26.847 Das kürzt sich also weg. 0:04:26.847,0:04:27.939 Und dann haben wir 7. 0:04:27.940,0:04:30.200 Wir rechnen nicht 7 + 1, da wir[br]das Minuszeichen davor haben. 0:04:30.200,0:04:33.160 Wenn du das Minuszeichen[br]ausmultiplizierst, haben wir hier -1. 0:04:33.160,0:04:35.880 7 - 1 = 6. 0:04:35.880,0:04:44.720 Unser Rest ist also 6. 0:04:44.720,0:04:50.612 Das hier ist der Rest. 0:04:50.612,0:04:52.128 Du weißt, dass du den Rest gefunden hast, 0:04:52.128,0:04:54.340 so wie du es in der schriftlichen[br]Polynomdivision gelernt hast, 0:04:54.340,0:04:57.120 wenn du etwas erhältst, dass einen[br]niedrigeren Grad hat als der Divisor. 0:04:57.128,0:05:01.060 Das hier ist ein Polynom nullten Grades. 0:05:01.060,0:05:09.720 Es hat einen niedrigeren Grad als das,[br]wodurch du dividierst bzw. der Divisor x - 1. 0:05:09.720,0:05:11.852 Das hat einen niedrigeren Grad also ist das der Rest. 0:05:11.852,0:05:16.014 Das passt nicht mehr in den Rest. 0:05:16.014,0:05:20.471 Was sagt der Restpolynom-Satz aus? 0:05:20.480,0:05:26.100 Das hier ist kein Beweis, ich habe hier[br]nur ein zufälliges Beispiel gewählt, 0:05:26.100,0:05:32.060 um es etwas anschaulicher zu machen,[br]was der Restpolynom-Satz uns sagen will. 0:05:32.060,0:05:34.560 Wenn der Restpolynom-Satz wahr ist, 0:05:34.560,0:05:42.760 sagt er, dass f(a) bzw. in diesem Fall f(1) = 6 sein sollte. 0:05:42.760,0:05:44.600 Es sollte den Rest ergeben. 0:05:44.600,0:05:45.555 Wir überprüfen das jetzt. 0:05:45.560,0:05:50.000 Wir rechnen 3 ⋅ 1² und erhalten 3, 0:05:50.000,0:05:53.520 -4 ⋅ 1 = -4, 0:05:53.520,0:05:55.717 + 7. 0:05:55.720,0:05:56.680 3 - 4 = -1, 0:05:56.680,0:06:04.680 -1 + 7 ergibt in der Tat 6. 0:06:04.680,0:06:10.480 In diesem Beispiel sieht es so aus, als[br]würde der Restpolynom-Satz stimmen. 0:06:10.480,0:06:12.360 Der Nutzen liegt darin, wenn jemand fragen würde: 0:06:12.360,0:06:17.940 "Welchen Rest erhalte ich, wenn ich[br]3x² - 4x + 7 durch x - 1 dividieren würde?" 0:06:17.940,0:06:21.860 Es geht nur um den Rest,[br]nicht den eigentlichen Quotienten. 0:06:21.860,0:06:27.360 Wenn es nur um den Rest geht, könntest[br]du sagen, dass in diesem Fall a = 1 ist, 0:06:27.360,0:06:28.360 und du es einfach einsetzen kannst. 0:06:28.361,0:06:30.764 Du kannst f(1) einsetzen und erhältst 6. 0:06:30.764,0:06:32.068 Du brauchst all das nicht machen. 0:06:32.068,0:06:41.960 Du musst nur den Rest von 3x² - 4x + 7[br]dividiert durch x - 1 herausfinden.