Polynomial remainder theorem

Нека се запознаем с

теоремата за делене на полиноми с остатък (Теорема на Безу).

И, както ще видим след малко,

отначало ще я помислиш за магия.

Но в бъдещи видеа ще я докажем и ще видим...

както много неща в математиката,

когато премислиш добре,

може би всъщност не е магия.

Каквa е теоремата за делене на полиноми с остатък?

Тя ни казва, че ако започнем

с някакъв полином, f(х)...

Това тук е един полином.

Полином.

И го делим

на (х - а).

Тогава остатъкът

от това дълго деление

на полином ще е f(а).

Той ще е

f(а).

Знам, че в момента това може да изглежда малко абстрактно.

Говоря за f(х) и (х - а).

Нека го направим малко по-конкретно.

Да кажем, че f(х) е равно на –

ще си измисля нещо –

да кажем, полином от втора степен.

Но това ще е вярно за всеки полином.

3х^2 - 4х + 7.

Да кажем, че а е 1.

Ще разделим това на...

ще го разделим на

(х - 1).

В този случай а = 1.

Нека извършим дългото делене на полинома.

Окуражавам те да спреш видеото на пауза.

Ако не ти е познато дългото деление на полиноми,

те съветвам да гледаш видеото за него това видео,

понеже ще приема, че знаеш

как се извършва дълго деление на полиноми.

Раздели 3х^2 - 4х + 4

на (х - 1).

Виж колко ще получиш като остатък

и дали този остатък наистина е f(1).

Приемам, че се опита.

Нека работим заедно.

Нека разделим 3х^2 - 4х + 7

на (х - 1).

Добре, малко дълго делене на полиноми

никога не е лошо начало на сутринта.

За мен е сутрин.

Не знам за теб.

Добре, гледам х члена тук –

члена от най-висока степен.

И после ще започна с члена
от най-висока степен тук.

Колко пъти х влиза в 3х^2?

Влиза 3х пъти.

3х по х е 3х^2.

Ще запиша 3х ето тук.

Ще го запиша над

мястото за първа степен.

3х по х е 3х^2.

3х по -1 е -3х.

И сега искаме да извадим това.

Така се прави при традиционното дълго деление.

Колко получаваме?

3х^2 минус 3х^2,

това ще е просто 0.

И към това -4х

ще имаме плюс 3х.

Отрицателна стойност на отрицателно число...

-4х + 3х

ще е -х.

Ще направя това в нов цвят.

Това ще е -х.

И после можем да свалим това 7.

Пълна аналогия с когато за пръв път научи за дългото деление

в може би, не знам, трети или четвърти клас.

Всичко, което направих, е да умножа 3х по това.

Получаваш (3х^2 - 3х)

и после извадих това от (3х^2 - 4х),

за да получа това тук.

Или можеш да кажеш, че го извадих от целия този полином

и после получих (-х + 7).

Колко пъти (х - 1)

се съдържа в (-х + 7)?

х се съдържа в -х...

-1 пъти.

-1 по х е -х.

-1 по -1 е +1.

Но после ще искаме да извадим това

и това ще ни даде остатъка.

Тоест -х - (-х).

Това е същото като -х + х.

Тези ще дадат сбор от 0.

И после имаш 7.

Това няма да е 7 + 1.

Помни, имаш отрицателен знак,

така че като разкриеш скобите,

това ще е -1.

7 - 1 е 6.

Остатъкът ти тук е 6.

Един начин да мислиш за това

е да кажеш, че...

Всъщност ще запазя това за бъдещо видео.

Това тук е остатъкът ни.

И понеже това е преговор
на дългото полиномно деление,

знаеш, че остатъкът е когато

получиш нещо, което е от по-ниска степен.

Това е, предполагам можеш да го наречеш

полином от степен 0.

Това е от по-ниска степен от това,

на което делиш,
или от (х - 1), от делителя .

Това е от по-ниска степен;
това е остатъкът.

Това повече не може да влезе в това.

Според теоремата за делене на полином с остатък,

ако това е вярно – и тук просто избрах случаен пример.

Това не е доказателство, а просто

начин да конкретизираме това, което

теоремата за делене
на полином с остатък ни казва.

Ако теоремата за делене
на полином с остатък е вярна,

тя ни казва, че f(а), в този случай, 1,

f(1) трябва да е равно на 6.

Трябва да е равно на този остатък.

Нека се уверим в това.

Това ще е равно на 3 по 1^2,

което ще е 3, минус 4 по 1,

така че това ще е - 4, плюс 7.

3 - 4 е -1, плюс 7 –

заслужаваме аплодисменти –

наистина е равно на 6.

Това, поне за този пример в частност,

изглежда подкрепя факта, че

теоремата за делене на полином с остатък работи.

Но приложението ѝ е, например ако някой каже:

"Какъв е остатъкът, ако разделя

3х^2 - 4х + 7

на (х - 1), ако ме интересува остатъка?"

Не ги интересува частното.

Интересува ги само остатъка и можеш

да кажеш, че в този случай а е 1.

Мога да въведа това.

Мога да изчисля f(1) и ще получа 6.

Не трябва да правя всичко това.

Просто трябва да направя това,

за да намеря колко е остатъкът на

3х^2 - 4х + 7, делено

на (х - 1).