WEBVTT

00:00:00.371 --> 00:00:02.145
Нека се запознаем с

00:00:02.145 --> 00:00:06.277
теоремата за делене на полиноми с остатък (Теорема на Безу).

00:00:06.280 --> 00:00:07.640
И, както ще видим след малко,

00:00:07.640 --> 00:00:09.315
отначало ще я помислиш за магия.

00:00:09.315 --> 00:00:11.415
Но в бъдещи видеа ще я докажем и ще видим...

00:00:11.415 --> 00:00:13.063
както много неща в математиката,

00:00:13.063 --> 00:00:14.445
когато премислиш добре,

00:00:14.445 --> 00:00:16.923
може би всъщност не е магия.

00:00:16.923 --> 00:00:19.469
Каквa е теоремата за делене на полиноми с остатък?

00:00:19.469 --> 00:00:21.569
Тя ни казва, че ако започнем

00:00:21.569 --> 00:00:24.313
с някакъв полином, f(х)...

00:00:24.313 --> 00:00:27.793
Това тук е един полином.

00:00:27.793 --> 00:00:29.557
Полином.

00:00:29.560 --> 00:00:34.560
И го делим

00:00:34.660 --> 00:00:39.332
на (х - а).

00:00:39.340 --> 00:00:43.740
Тогава остатъкът

00:00:43.740 --> 00:00:46.380
от това дълго деление

00:00:46.380 --> 00:00:49.916
на полином ще е f(а).

00:00:49.916 --> 00:00:53.040
Той ще е

00:00:53.040 --> 00:00:56.887
f(а).

00:00:56.887 --> 00:00:59.330
Знам, че в момента това може да изглежда малко абстрактно.

00:00:59.330 --> 00:01:02.727
Говоря за f(х) и (х - а).

00:01:02.727 --> 00:01:05.409
Нека го направим малко по-конкретно.

00:01:05.409 --> 00:01:10.320
Да кажем, че f(х) е равно на –

00:01:10.320 --> 00:01:11.820
ще си измисля нещо –

00:01:11.820 --> 00:01:13.420
да кажем, полином от втора степен.

00:01:13.420 --> 00:01:15.176
Но това ще е вярно за всеки полином.

00:01:15.176 --> 00:01:21.100
3х^2 - 4х + 7.

00:01:21.139 --> 00:01:25.833
Да кажем, че а е 1.

00:01:25.833 --> 00:01:30.607
Ще разделим това на...

00:01:30.607 --> 00:01:33.886
ще го разделим на

00:01:33.886 --> 00:01:38.886
(х - 1).

00:01:39.000 --> 00:01:43.740
В този случай а = 1.

00:01:43.740 --> 00:01:46.020
Нека извършим дългото делене на полинома.

00:01:46.020 --> 00:01:47.660
Окуражавам те да спреш видеото на пауза.

00:01:47.665 --> 00:01:49.635
Ако не ти е познато дългото деление на полиноми,

00:01:49.635 --> 00:01:51.815
те съветвам да гледаш видеото за него това видео,

00:01:51.820 --> 00:01:53.520
понеже ще приема, че знаеш

00:01:53.520 --> 00:01:55.220
как се извършва дълго деление на полиноми.

00:01:55.223 --> 00:01:57.983
Раздели 3х^2 - 4х + 4

00:01:57.983 --> 00:01:59.477
на (х - 1).

00:01:59.480 --> 00:02:01.300
Виж колко ще получиш като остатък

00:02:01.300 --> 00:02:04.660
и дали този остатък наистина е f(1).

00:02:04.660 --> 00:02:06.420
Приемам, че се опита.

00:02:06.422 --> 00:02:07.978
Нека работим заедно.

00:02:07.980 --> 00:02:17.660
Нека разделим 3х^2 - 4х + 7

00:02:17.660 --> 00:02:22.240
на (х - 1).

00:02:22.360 --> 00:02:24.780
Добре, малко дълго делене на полиноми

00:02:24.780 --> 00:02:26.640
никога не е лошо начало на сутринта.

00:02:26.640 --> 00:02:27.456
За мен е сутрин.

00:02:27.456 --> 00:02:29.172
Не знам за теб.

00:02:29.180 --> 00:02:32.920
Добре, гледам х члена тук –

00:02:32.920 --> 00:02:34.600
члена от най-висока степен.

00:02:34.600 --> 00:02:36.580
И после ще започна с члена 
от най-висока степен тук.

00:02:36.580 --> 00:02:39.360
Колко пъти х влиза в 3х^2?

00:02:39.360 --> 00:02:40.951
Влиза 3х пъти.

00:02:40.951 --> 00:02:42.573
3х по х е 3х^2.

00:02:42.580 --> 00:02:46.180
Ще запиша 3х ето тук.

00:02:46.180 --> 00:02:47.920
Ще го запиша над

00:02:47.920 --> 00:02:49.700
мястото за първа степен.

00:02:49.700 --> 00:02:53.750
3х по х е 3х^2.

00:02:53.750 --> 00:02:57.440
3х по -1 е -3х.

00:02:57.440 --> 00:03:01.280
И сега искаме да извадим това.

00:03:01.280 --> 00:03:04.380
Така се прави при традиционното дълго деление.

00:03:04.380 --> 00:03:06.380
Колко получаваме?

00:03:06.380 --> 00:03:09.180
3х^2 минус 3х^2,

00:03:09.180 --> 00:03:13.840
това ще е просто 0.

00:03:13.840 --> 00:03:16.420
И към това -4х

00:03:16.420 --> 00:03:18.332
ще имаме плюс 3х.

00:03:18.340 --> 00:03:20.080
Отрицателна стойност на отрицателно число...

00:03:20.080 --> 00:03:22.012
-4х + 3х

00:03:22.020 --> 00:03:25.200
ще е -х.

00:03:25.200 --> 00:03:27.260
Ще направя това в нов цвят.

00:03:27.260 --> 00:03:31.240
Това ще е -х.

00:03:31.240 --> 00:03:35.560
И после можем да свалим това 7.

00:03:35.560 --> 00:03:38.340
Пълна аналогия с когато за пръв път научи за дългото деление

00:03:38.346 --> 00:03:40.713
в може би, не знам, трети или четвърти клас.

00:03:40.720 --> 00:03:42.740
Всичко, което направих, е да умножа 3х по това.

00:03:42.740 --> 00:03:44.800
Получаваш (3х^2 - 3х)

00:03:44.900 --> 00:03:47.520
и после извадих това от (3х^2 - 4х),

00:03:47.520 --> 00:03:49.255
за да получа това тук.

00:03:49.255 --> 00:03:52.518
Или можеш да кажеш, че го извадих от целия този полином

00:03:52.518 --> 00:03:55.856
и после получих (-х + 7).

00:03:55.860 --> 00:03:58.480
Колко пъти (х - 1)

00:03:58.480 --> 00:04:00.580
се съдържа в (-х + 7)?

00:04:00.600 --> 00:04:02.440
х се съдържа в -х...

00:04:02.440 --> 00:04:04.800
-1 пъти.

00:04:04.800 --> 00:04:08.600
-1 по х е -х.

00:04:08.600 --> 00:04:12.400
-1 по -1 е +1.

00:04:12.400 --> 00:04:16.080
Но после ще искаме да извадим това

00:04:16.080 --> 00:04:18.500
и това ще ни даде остатъка.

00:04:18.500 --> 00:04:21.616
Тоест -х - (-х).

00:04:21.616 --> 00:04:24.713
Това е същото като -х + х.

00:04:24.720 --> 00:04:26.700
Тези ще дадат сбор от 0.

00:04:26.700 --> 00:04:27.939
И после имаш 7.

00:04:27.939 --> 00:04:29.104
Това няма да е 7 + 1.

00:04:29.104 --> 00:04:30.280
Помни, имаш отрицателен знак,

00:04:30.280 --> 00:04:31.600
така че като разкриеш скобите,

00:04:31.600 --> 00:04:33.020
това ще е -1.

00:04:33.020 --> 00:04:35.780
7 - 1 е 6.

00:04:35.780 --> 00:04:39.460
Остатъкът ти тук е 6.

00:04:39.460 --> 00:04:41.180
Един начин да мислиш за това

00:04:41.180 --> 00:04:45.200
е да кажеш, че...

00:04:45.200 --> 00:04:46.797
Всъщност ще запазя това за бъдещо видео.

00:04:46.800 --> 00:04:50.400
Това тук е остатъкът ни.

00:04:50.400 --> 00:04:53.740
И понеже това е преговор
на дългото полиномно деление,

00:04:53.740 --> 00:04:55.440
знаеш, че остатъкът е когато

00:04:55.440 --> 00:04:57.300
получиш нещо, което е от по-ниска степен.

00:04:57.300 --> 00:04:59.200
Това е, предполагам можеш да го наречеш

00:04:59.200 --> 00:05:00.980
полином от степен 0.

00:05:00.980 --> 00:05:03.820
Това е от по-ниска степен от това,

00:05:03.820 --> 00:05:09.360
на което делиш, 
или от (х - 1), от делителя .

00:05:09.360 --> 00:05:11.852
Това е от по-ниска степен;
това е остатъкът.

00:05:11.860 --> 00:05:15.780
Това повече не може да влезе в това.

00:05:15.780 --> 00:05:20.100
Според теоремата за делене на полином с остатък,

00:05:20.100 --> 00:05:23.538
ако това е вярно – и тук просто избрах случаен пример.

00:05:23.538 --> 00:05:26.108
Това не е доказателство, а просто

00:05:26.108 --> 00:05:28.740
начин да конкретизираме това, което

00:05:28.740 --> 00:05:32.000
теоремата за делене 
на полином с остатък ни казва.

00:05:32.009 --> 00:05:34.566
Ако теоремата за делене 
на полином с остатък е вярна,

00:05:34.566 --> 00:05:38.968
тя ни казва, че f(а), в този случай, 1,

00:05:38.968 --> 00:05:42.420
f(1) трябва да е равно на 6.

00:05:42.420 --> 00:05:44.460
Трябва да е равно на този остатък.

00:05:44.460 --> 00:05:45.560
Нека се уверим в това.

00:05:45.560 --> 00:05:48.838
Това ще е равно на 3 по 1^2,

00:05:48.838 --> 00:05:51.860
което ще е 3, минус 4 по 1,

00:05:51.860 --> 00:05:55.717
така че това ще е - 4, плюс 7.

00:05:55.720 --> 00:05:59.800
3 - 4 е -1, плюс 7 –

00:05:59.800 --> 00:06:01.635
заслужаваме аплодисменти –

00:06:01.640 --> 00:06:04.340
наистина е равно на 6.

00:06:04.340 --> 00:06:07.380
Това, поне за този пример в частност,

00:06:07.380 --> 00:06:09.080
изглежда подкрепя факта, че

00:06:09.080 --> 00:06:10.700
теоремата за делене на полином с остатък работи.

00:06:10.700 --> 00:06:12.365
Но приложението ѝ е, например ако някой каже:

00:06:12.365 --> 00:06:15.111
"Какъв е остатъкът, ако разделя

00:06:15.111 --> 00:06:16.986
3х^2 - 4х + 7

00:06:16.986 --> 00:06:19.714
на (х - 1), ако ме интересува остатъка?"

00:06:19.720 --> 00:06:21.760
Не ги интересува частното.

00:06:21.760 --> 00:06:23.900
Интересува ги само остатъка и можеш

00:06:23.903 --> 00:06:27.299
да кажеш, че в този случай а е 1.

00:06:27.300 --> 00:06:28.560
Мога да въведа това.

00:06:28.560 --> 00:06:30.760
Мога да изчисля f(1) и ще получа 6.

00:06:30.764 --> 00:06:32.068
Не трябва да правя всичко това.

00:06:32.068 --> 00:06:34.104
Просто трябва да направя това,

00:06:34.104 --> 00:06:36.680
за да намеря колко е остатъкът на

00:06:36.680 --> 00:06:39.280
3х^2 - 4х + 7, делено

00:06:39.280 --> 00:06:41.860
на (х - 1).