Нека се запознаем с
теоремата за делене на полиноми с остатък (Теорема на Безу).
И, както ще видим след малко,
отначало ще я помислиш за магия.
Но в бъдещи видеа ще я докажем и ще видим...
както много неща в математиката,
когато премислиш добре,
може би всъщност не е магия.
Каквa е теоремата за делене на полиноми с остатък?
Тя ни казва, че ако започнем
с някакъв полином, f(х)...
Това тук е един полином.
Полином.
И го делим
на (х - а).
Тогава остатъкът
от това дълго деление
на полином ще е f(а).
Той ще е
f(а).
Знам, че в момента това може да изглежда малко абстрактно.
Говоря за f(х) и (х - а).
Нека го направим малко по-конкретно.
Да кажем, че f(х) е равно на –
ще си измисля нещо –
да кажем, полином от втора степен.
Но това ще е вярно за всеки полином.
3х^2 - 4х + 7.
Да кажем, че а е 1.
Ще разделим това на...
ще го разделим на
(х - 1).
В този случай а = 1.
Нека извършим дългото делене на полинома.
Окуражавам те да спреш видеото на пауза.
Ако не ти е познато дългото деление на полиноми,
те съветвам да гледаш видеото за него това видео,
понеже ще приема, че знаеш
как се извършва дълго деление на полиноми.
Раздели 3х^2 - 4х + 4
на (х - 1).
Виж колко ще получиш като остатък
и дали този остатък наистина е f(1).
Приемам, че се опита.
Нека работим заедно.
Нека разделим 3х^2 - 4х + 7
на (х - 1).
Добре, малко дълго делене на полиноми
никога не е лошо начало на сутринта.
За мен е сутрин.
Не знам за теб.
Добре, гледам х члена тук –
члена от най-висока степен.
И после ще започна с члена
от най-висока степен тук.
Колко пъти х влиза в 3х^2?
Влиза 3х пъти.
3х по х е 3х^2.
Ще запиша 3х ето тук.
Ще го запиша над
мястото за първа степен.
3х по х е 3х^2.
3х по -1 е -3х.
И сега искаме да извадим това.
Така се прави при традиционното дълго деление.
Колко получаваме?
3х^2 минус 3х^2,
това ще е просто 0.
И към това -4х
ще имаме плюс 3х.
Отрицателна стойност на отрицателно число...
-4х + 3х
ще е -х.
Ще направя това в нов цвят.
Това ще е -х.
И после можем да свалим това 7.
Пълна аналогия с когато за пръв път научи за дългото деление
в може би, не знам, трети или четвърти клас.
Всичко, което направих, е да умножа 3х по това.
Получаваш (3х^2 - 3х)
и после извадих това от (3х^2 - 4х),
за да получа това тук.
Или можеш да кажеш, че го извадих от целия този полином
и после получих (-х + 7).
Колко пъти (х - 1)
се съдържа в (-х + 7)?
х се съдържа в -х...
-1 пъти.
-1 по х е -х.
-1 по -1 е +1.
Но после ще искаме да извадим това
и това ще ни даде остатъка.
Тоест -х - (-х).
Това е същото като -х + х.
Тези ще дадат сбор от 0.
И после имаш 7.
Това няма да е 7 + 1.
Помни, имаш отрицателен знак,
така че като разкриеш скобите,
това ще е -1.
7 - 1 е 6.
Остатъкът ти тук е 6.
Един начин да мислиш за това
е да кажеш, че...
Всъщност ще запазя това за бъдещо видео.
Това тук е остатъкът ни.
И понеже това е преговор
на дългото полиномно деление,
знаеш, че остатъкът е когато
получиш нещо, което е от по-ниска степен.
Това е, предполагам можеш да го наречеш
полином от степен 0.
Това е от по-ниска степен от това,
на което делиш,
или от (х - 1), от делителя .
Това е от по-ниска степен;
това е остатъкът.
Това повече не може да влезе в това.
Според теоремата за делене на полином с остатък,
ако това е вярно – и тук просто избрах случаен пример.
Това не е доказателство, а просто
начин да конкретизираме това, което
теоремата за делене
на полином с остатък ни казва.
Ако теоремата за делене
на полином с остатък е вярна,
тя ни казва, че f(а), в този случай, 1,
f(1) трябва да е равно на 6.
Трябва да е равно на този остатък.
Нека се уверим в това.
Това ще е равно на 3 по 1^2,
което ще е 3, минус 4 по 1,
така че това ще е - 4, плюс 7.
3 - 4 е -1, плюс 7 –
заслужаваме аплодисменти –
наистина е равно на 6.
Това, поне за този пример в частност,
изглежда подкрепя факта, че
теоремата за делене на полином с остатък работи.
Но приложението ѝ е, например ако някой каже:
"Какъв е остатъкът, ако разделя
3х^2 - 4х + 7
на (х - 1), ако ме интересува остатъка?"
Не ги интересува частното.
Интересува ги само остатъка и можеш
да кажеш, че в този случай а е 1.
Мога да въведа това.
Мога да изчисля f(1) и ще получа 6.
Не трябва да правя всичко това.
Просто трябва да направя това,
за да намеря колко е остатъкът на
3х^2 - 4х + 7, делено
на (х - 1).